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1、-初中数学论文：中考“面积问题”的教学实践与思考-第 7 页初中数学论文中考“面积问题”的教学实践与思考【摘 要】近年来，浙江省各地中考中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学中的一个必考的知识点，“面积问题”题型较多，知识综合，方法灵活。以近几年浙江省各地区中考数学试题中涉及的面积问题为载体，针对面积问题的类型、解决问题的策略，思考面积问题在教学实践中的意义。【关键词】面积；中考；教学问题是数学的心脏，学习数学的主要目的在于问题解决。好的数学问题应当具有较强的探索性，具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和知识性。面积问题是数学知识的结构中的“连结点”，常结合一次函数、反
2、比例函数、二次函数、三角形全等和相似、四边形、圆等初中数学的核心内容。1认识：面积问题的类型面积问题为学生提供了一个观察、分析、猜想并进行说理验证的探究模型，以图形的运动变化为策略，让学生能在一个动态的数学情景中感悟知识的发生、发展过程，探索问题的结论和规律的变与不变，真正理解图形的性质。与此同时发展学生的空间观念，培养学生探索、猜想能力和创新思维能力。1.1公式法课程标准指出，课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验、思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化、情境化与知识系统性的关系。【例1】（2013衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角
3、板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（AOB）为120，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为。分析：在RtOBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及OBC的面积即可得出答案。本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式。把握数学问题的本质，体现数形结合。试题的巧妙之处在于问题中的三角板为求解问题提供的数量依据。面积问题，有的是直接计算面积，有的是以面积为条件求其它，更多的情况是由图形的运动引起图形的变化，从而建立面积函数关系。中考命题中如何从具体情境中抽象出数学材料，并将获得的材料符号化，体现基础性、应用性、
4、实践性、开放性、探究性，是中考数学试题的重要特征。1.2割补法数学教育家傅种孙曾说过：“论述等积问题，以割补为上策，割补办法行不通了，则继而加减并用，加减还是不行，便继之以极值法。”【例2】（2013宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 。分析：根据弦AB=BC，CD=DE，可得BOD=90，过点O作OFBC于点F，OGCD于点G，在四边形OFCG中可得FCD=135，过点C作CNOF，交OG于点N，判断CNG、OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在RtOGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面
5、积公式求解即可。本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出O的半径。学习数学知识是学生主动的构建过程，学生学习数学只有通过自身的操作活动和主动参与才可能是有效的。在学生动手操作、探究的过程中，逐步形成分析、判断、推理、归纳、表达等能力。在平面图形的面积计算教学中，学生个体的探究、小组合作的探究都是学生理解面积、寻求数学方法、发展数学思维最好的方式。“眼睛看”和“动手做”完全是不同的体验和感知过程，而带着问题的主动探究更是学生重要的学习体验。1.3变换法课程标准指出，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形
6、与几何的基础知识和基本技能。有些不规则几何图形的面积，可以通过几何图形的变换相似、平移、旋转、翻折、等积变换等，化不规则为规则，求解起来较为方便。【例3】（2013台州）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则SADE：S四边形BCED的值为（）A1： B1：2 C1：3 D1：4分析：首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得ADEACB，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案。本题是书本习题的变式。研究各地每年的中考试题都会发现书本习题的影子，这启发我们的教学活动中，要加强对课程的研究，重视书本习题的作用，对教材里的习题作适当的补充挖掘，把课本习题用足、
7、用好、用到位，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识，达到事半功倍的效果。1.4整体法ABCDOO1O2M陶行知先生曾说过：“教育必须做到解放学生的眼睛，让他们亲自看一看；解放学生的大脑，让他们亲自想一想；解放学生的嘴巴，让他们亲自说一说；解放学生的双手，让他们亲自做一做。”【例4】（2011台州）如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点M，AB20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的O1和O2，则图中阴影部分的面积为 (结果保留)。分析：因为题目中没有告诉O1和O2的半径大小，说明所求阴影部分的面积与其大小是
8、没有关系的，这是一道选择题，在考试的时候，直接计算显然是不可取的，计算量大，费时且容易出错，可用特殊值法整体考虑求解。不同的方法代表了不同的数学思想，不同的思想其繁简程度的不同是显而易见的。近几年不仅注重对学生数学学习结果的评价，更注重对学生数学活动过程的评价；不仅注重数学思想方法的考查，还注重对学生在一般性思维方法与创新思维能力发展等方面的评价，尤其注重对学生探索性思维能力和创新思维能力的考查；不仅关注学生知识水平的提高，更多的则是关注对学生的数学思维潜力的开发与提高。2实践：面积问题的解题策略数学来源于生活，同时也必将应用于生活，学数学就是为了解决生活中所碰到的实际问题。近几年的中考题相当
9、注重运用数学知识解决实际问题的考查，考查层次非常丰富，不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，以及综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力。2.1函数型问题课程标准指出，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法、数学活动经验，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。【例5】（2013义乌）如图，直线l1x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点。直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O，B的直线l4交l 2于点E当直线l1，l2，l3能围成三角形时
10、，设该三角形面积为S1，当直线l2，l3，l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2。（1）若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为 ；（2）若点B在直线l1上，且S2=S1，则BOA的度数为 。分析：（1）设B的坐标是（2，m），则BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直线l1的解析式，解方程组即可求得E的坐标，则S2的值即可求得，根据S1=S2，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值；（2）根据S2=S1，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值，得到AB的长，从而求得BOA的正切值，求得角的度数。本题考查了一次函数与三角函数，三角形的面积，正确表示出S2是关键。在知识点上主要考查
11、了二元一次方程组、一元二次方程、一次函数、直角三角形、三角形的面积、解直角三角形等初中数学的核心内容；在能力上考查学生在动态背景下处理几何关系的认识能力与函数知识的应用能力；在思想方法上考查了待定系数法、配方法、方程思想、函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等；试题的呈现自然、简洁、和谐，提升了学生对数学本质的思考。体现了试题考查功能数学化。立足核心内容，寻求试题考查功能数学化，是近年来各地中考试题的一大特色。2.2动态型问题学生在动态问题上的得分率相对较低，动态问题往往使得试题的区分度加大。学生对动态几何问题有畏惧心理，思考问题时，缺乏整体考虑。局部又无法联想，总无法理清运动的全过程，普遍存
12、在一动就晕的情况。【例6】（2008台州）如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为。（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？分析：第3题题当点在矩形的内部或边上时（如图1），当时， 当在矩形的外部时（如图2），在，又，在中，当时，。综上所述，与之间的函数解析式是：第题矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方
13、程，得，因为，所以不合题意，舍去。所以。综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的。解决几何动态问题的基本策略是“以静制动”，需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，需要特别关注运动过程中的变量和变量之间的关系，并分析其中的不变量、不变关系或特殊关系，综合运用函数、转化、分类讨论、方程、数形结合等数学思想综合解决问题。数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”，而是人们学习的一种思维模式。在解决以上试题的过程中，学生要通过观察、实验、归纳、类比等获得猜想，并在解决问题的过程中进行合情推理，有条理地表达自己的思考过程。强调了数学素养，以能力立意，以考查学生的思维品质为
14、出发点和归宿。3思考：面积问题的教学意义掌握数学思想方法，是培养学生创新意识提升数学素质的必要条件。数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程的思想、函数的思想等。教学中，突出这些基本的思想方法，就相当于抓住了数学知识的精髓。因此，平时一定要遵循数学教学理念，有意识地在教学中创设发现问题的情境，这是发展学生思维能力的关键一环，也是培养学生创新能力的好途径，同时又可有效地克服学生的思维定势。【例7】（2009台州）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为。（1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）
15、若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止。设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积备用图。图1分析：第3题当点A运动到点F时，当时，如图1， ， 当点运动到轴上时，当时，如图2， 当点运动到轴上时，当时，如图3，（4）,=数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是头脑中构建数学认知结构的过程。而基本知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验是培养和提高学生数学素养、发展实践能力和创新精神的基础，是学生进一步学习和发展的必
16、备条件。因此，我们教师应改变学生单纯接受的学习方式，使学生会采用探究学习、合作学习、体验学习等多样化的学习方式，逐步学会“提出问题实验探究开展讨论形成新知应用反思”的学习方法。这样不仅能使学生学习的自主性、探究性、合作性得到加强，而且又能使学生体验到学习的乐趣。“能使学生获得受用终生的东西的那种教育，才是最高尚最好的教育”。数学思想方法的教学，正是这样一件富有意义的工作。对于学生来说，不管将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地会发生作用，使他们受益终生。参考文献：1教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（修改稿）S.2011. 2羌建中.一种计算三角形面积的新方法 J.北京：中小学数学，2011（12）：43-45.3黄作玲，李德忠. 活用“等底等高等面积”破解中考压轴题J.北京：中小学数学，2011（4）：24-27.