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1、-因式分解的9种方法-第 4 页因式分解的多种方法-知识延伸,向竞赛过度 1. 提取公因式:这种方法比较常规、简单,必须掌握。常用的公式:完全平方公式、平方差公式例一:解:x(2x-3)=0, x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结:要发现一个规律:当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。2. 公式法常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。例二:分解因式分析:此题较为简单,可以看出4=2 2,适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解:原式=(x+2)(x-2)3. 十字相
2、乘法是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果例三: 把分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 21221; 分解常数项: 3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察,第四种情况是
3、正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结:对于二次三项式ax2+bx+c(a0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下: a1 c1 a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 这种方法要多实验,多做,
4、多练。它可以包括前两者方法。4. 分组分解法 也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来,需要可持续性!例四:可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可以用平方差公式解:原式=(x+2)2-y2=(x+2+y)(x+2-y)总结:分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的重要性。5. 换元法整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上例五:分解因式考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y那么原式=a2-2a+1 =(a-1)2,回代原式=(x+y-1)26. 主元法这种方法要难一些,多练即可。即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数例
5、六:因式分解分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。 原式=.主元法 =(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)-【十字相乘法】可见,十字相乘十分重要。7. 双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如的二次六项式 在草稿纸上,如果mqnpb,pkqje,mknjd,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式(mxpyj)(nxqyk)要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0, 例七:abab2分解因式解:原式01a2abb2ab2 (0ab1)(ab2) (b1)(ab2)8. 待定系数法将
6、式子看成方程,将方程的解代入,这时就要用到“1”中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式例八:该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做,x2+x-2=0一眼看出,该方程有一根为x=1,那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)一次项系数必为1(因为与1相乘要为1),所以另一因式为(x+2),分解为(x-1)(x+2)9. 列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上,不足的项要用0补除的时候,一定要让第一项抵消例九:分解因式提示:x=-1可以使该式=0,有因式(x+1)那么该式分解为(x+1)(3x2+2x-2)因式分解有9种方法,这么多?其实是不止的,还有很多很多。不过了解这些,初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。 xy62x3y (x2)(x3)(x2)(x4)29x15 x(y2)xy1 +8mn+ +4n15 +2x-8 +3x-10 . +x-6 +5x-3 +4x-2 -2x-3 5ax+5bx+3ay+3by