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1、-复变函数习题答案第2章习题详解-第 9 页第二章习题详解1 利用导数定义推出：1) （为正整数）解： 解： 2 下列函数何处可导？何处解析？解：设，则， ，都是连续函数。只有，即时才满足柯西黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。解：设，则， ，都是连续函数。只有，即时才满足柯西黎曼方程。在直线上可导，在复平面内处处不解析。解：设，则， ，都是连续函数。只有且，即时才满足柯西黎曼方程。在点处可导，在复平面内处处不解析。解：设，则， ，都是连续函数。完全满足柯西黎曼方程。在复平面内处处可导，在复平面内处处解析。3 指出下列函数的解析性区域，并求出其导数。解：，在复平面内处处解析。解：，在
2、复平面内处处解析。解：，在复平面内除点外处处解析。1) （，中至少有一个不为）解： 当，则当时，在复平面内除点外处处解析。当时，则，在复平面内处处解析。 4 求下列函数的奇点：解：令，解得，。故有、三个奇点。解：令，解得，。故有、三个奇点。5 复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有哪些方法？解：复变函数的可导性是函数在某一点的局部性质，而解析性是函数在一个区域内的整体性质。判断函数的解析性有两种法。一是用定义，利用函数的可导性判断解析性；二是用定理：函数在其定义域内解析和在内点可微，并且满足柯西黎曼方程。6 判断下列命题的真假，若真，请给以证明；若假，请举例说明。1) 如果在连
3、续，那末存在；解：假命题。例如，在复平面内任意一点都连续，但不满足柯西黎曼方程，故不存在。2) 如果存在，那末在解析；解：假命题。例如，在点可导，但在点不解析。3) 如果是的奇点，那末在不可导；解：假命题。例如，在复平面内处处不解析，因此处处是奇点，但在上的点均可导。4) 如果是和的一个奇点，那末也是和的奇点；解：假命题。例如，与在复平面内处处不解析，即复平面内任意一点都是与的奇点。但在复平面内处处解析，即在复平面内没有奇点。5) 如果和可导（指偏导数存在），那末亦可导；解：假命题。例如，设，则，均可导，但不满足柯西黎曼方程，因此不可导。6) 设在区域内是解析的。如果是实常数，那末在整个内是常
4、数；如果是实常数，那末在内也是常数。解：真命题。下面证明： 因为在区域内解析，即满足柯西黎曼方程： ， 如果是实常数，则，即为实常数，故在内为常数。 如果是实常数，则，即为实常数，故在内为常数。7 如果是的解析函数，证明：。证明： 在点处解析，8 设为解析函数，试确定、的值。解：设，则，为解析函数9 证明柯西黎曼方程的极坐标形式是：，证明：直角坐标与极坐标的转换公式为，于是由复合函数求导得：即：，10 证明：如果函数在区域内解析，并满足下列条件之一，那末是常数。1) 恒取实值；证明：恒取实值，即。是解析函数，所以 ， 即为常数，故是常数。2) 在内解析；证明：因为在区域内解析，所以， 又为在区
5、域内解析，所以， ，故是常数。3) 在内是一个常数；证明：设 同时 ， 成立。所以 即，均为常数，故是常数。4) 在内是一个常数；证明：设，则。 如果，则，从而，又在内解析，所以为常数，故是常数。 如果，则，于是有 同时 ， 成立。所以 即，均为常数，故是常数。 如果，则；如果，则，与的讨论一样，可得到是常数。5) ，其中，与为不全为零的实常数。证明：因为，且与为不全为零，所以和不能同时为零。假设，则有，于是，在区域内解析，所以为常数，故是常数。11 下列关系是否正确？解：设，则解：解：12 找出下列方程的全部解：解：， ，即解：， ，即解：，即解：， ，即13 证明：证明：证明：证明： 令，
6、则证明：， 令，则，证明：证明： 令，则同理可证：14 说明：1) 当时，和趋于无穷大；解：，而， 同理：2) 当为复数时，和不成立。解：由于为复数，可设，则 故当为复数时，和不成立。15 求，和它们的主值。解： 主值为 主值为16 证明对数的下列性质：证明： 所以：证明： 所以：17 说明下列等式是否正确：解：设 所以 和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。解：设所以 和的实部相同，但虚部不尽相同，故不正确。18 求，和的值。解：19 证明，其中为实数。证明：如果是整数，则 如果不是整数，则20 证明：证明：证明：证明：21 解下列方程：解： 即 解： 即 解： 即 22 证明与证明：证明：23 证明：的反函数。证明：设，则。 即24 已知平面流速的复势为：求流动的速度以及流线和等势线的方程。