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1、-初三复习班-第3讲-二次根式-第 13 页二次根式3二次根式1. 二次根式定义一般地，我们把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的a叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a0时，才有意义，当a0时，没有意义；2. 二次根式的性质(1)二次根式的双重非负性： 是非负数；的被开方数a是非负数.(2)（a0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；(3)，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值(4)=（a0，b0）；(5) （b0，a0）；3. 最简二次根式同时满足：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这
2、样的二次根式叫做最简二次根式4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式5. 分母有理化&有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式6. 二次根式的运算1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面2) 二次根式的乘法：（a0，b0）3) 二次根式的除法法则：（a0，b0）。
3、4) 二次根式加减的加减运算，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式.加减法法则：5) 二次根式的四则混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算. 在运算时注意：a) 运算顺序与有理式的运算顺序相同；b) 运算律仍然适用；c) 与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式和因式分解类似的方法来简化二次根式的有关运算.【备考兵法】来源:学*科*网Z*X*X*（本知识点涉及到的常用解题方法）1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中. 2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题
4、在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多.知识点：二次根式概念梳理例1. 1二次根式的有关概念 式子 叫做二次根式注意被开方数只能是 最简二次根式 被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式 同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式2二次根式的性质 0； （0） ； （）； （）.来源:学|科|网例2. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0）例3. 在函数中，自变量x的取值范围是例4. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A xBxCxDx例5. 若，则(xy)y 例6.
5、 已知，则 例7. （1）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2（2）在式子，中，x可以取2和3的是（）ABCD（3）要使式子有意义，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1且m1Dm1且m1（4）若实数满足,则 例8. 若式子，则x的取值范围为_。知识点：二次根式的性质例9. 根据算术平方根的意义填空： ； ； 例10. 计算1.； 2（）2（x0）2 3（）2 45 例11. 已知+=0，求xy的值例12. 化简（1） （2） （3） （4）例13. 当a0时，=_；当aa，则a可以是什么数？例14. 当x2，化简-例15. 把二次根式a化简后，结果正确的是(
6、)A B C D例16. 如果，则（ ） A B C D例17. 实数a在数轴上的位置如图，化简 例18. 如果ab0，a+b0，那么下面各式：=， =1， =b，其中正确的是（）ABCD例19. 若y=2，则（x+y）y= 【随堂练习】1. 使式子有意义的条件是 。2. 当时，有意义。3. 若有意义，则的取值范围是 。4. 当时，是二次根式。5. 在实数范围内分解因式：。6. 若，则的取值范围是 。7. 已知，则的取值范围是 。8. 化简：的结果是 。9. 当时，。10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。11. 使等式成立的条件是 。12. 若与互为相反数，则。13. 在式子中，二次根式有
7、（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 15. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 16. 若，则（ ）A. B. C. D. 17. 若，则化简后为（ ）A. B. C. D. 18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 19. 计算：的值是（ ）A. 0 B. C. D. 或21. 若，求的值。22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。24. 已知，求的值。25. 已知为实数，且，求的值。知识点：最简根式与同类二次根式例20. 下列二次根式：，其中最简二次根式是 例21. 下列
8、二次根式： 中，与是同类二次根式的是 （填序号）例22. 下列二次根式中，最简二次根式是()A B C D例23. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是()A B C D例24. 若最简二次根式是同类二次根式，则ab_例25. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）ABCD知识点：二次根式的运算例26. 已知x1=+，x2=，则x12+x22= 例27. 计算：4例28. 计算：= 例29. 下列计算正确的是（ ）A23=6B+=C52=3 D=例30. 先化简，再求值：（+），其中a，b满足+|b|=0例31. 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，
9、其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：(1)请用不同的方法化简参照()式得_；参照()式得_(2)化简：例32. 读取表格中的信息，解决问题.n=1n=2a2=b1+2c1b2=c1+2a1c2=a1+2b1n=3a3=b2+2c2b3=c2+2a2c=a2+2b2满足的n可以取得的最小整数是 【随堂练习】二次根式的乘除1. 当，时，。2. 若和都是最简二次根式，则。3. 计算：。4. 计算：。5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，化简二次根式
10、的正确结果为（ ） A. B. C. D. 8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为311. 计算：12. 化简：【随堂练习】二次根式的加减1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式3
11、. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -36. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 38. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，与是同类二次根式的是 。10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。13. 已知，则。14. 已知，则。15. 。16. 计算：17. 计算及化简：18. 已知：，求的值。19. 已知：，求的值。20. 已知的值。