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1、-椭圆中两个最大张角-第 5 页椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：一两个重要结论XYOP命题1如图：已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大。分析：，而在为减函数，只要求的最小值，又知，利用余弦定理可得。证明：如图，由已知：，所以，（当时取等号）由余弦定理得：（当时取等号），所以当时，的值最小，因为，所以此时最大。即点为椭圆短轴的端点时最大。 命题
2、2如图：已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点,则当点为椭圆短轴的端点时,最大。XYOQABP分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值。证明：如图，不妨设，则 ，所以， 则，又，所以，因为，所以当时，取得最大值，此时最大，所以当点为椭圆短轴的端点时,最大。二两个结论的应用 利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例1已知为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得，求椭圆离心率的取值范围。分析：因为存在，所以只要最大角，即，即，也就是，从而求出的范围。解析：由结论1知：当点为椭圆短轴的端点时,最大，因此要最大角，即，即，也就是，解不等式，得，故椭圆的
3、离心率。例2设为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。分析：由结论1知：当点为椭圆短轴的端点时,最大，且最大角为钝角，所以本题有两种情况：或。解析：由已知可得，当点为椭圆短轴的端点时,最大且为钝角，由结论1知，椭圆上存在一点，使为直角，又也可为直角，所以本题有两解；由已知有（1）若为直角，则，所以，得，故；（2）若为直角，则，所以，得，故。评注：利用最大角知道，可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况。例3已知椭圆,长轴两端点为，如果椭圆上求这个椭圆的离心率的取值范围。分析：由结论2知：当点为椭圆短轴的端点时,最大，因此只要最大角不小于即可。解析：由结论2知：当点为椭圆短轴的端点时,最大，因此只要，则一定存在点，使，即所以,得，故椭圆的离心率的取值范围是。三巩固练习：1已知焦点在轴上的椭圆，是它的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，求的取值范围。2已知椭圆，是它的两个焦点，点为其上的动点，当为钝角时，求点横坐标的取值范围。答案：1解：由结论1知，当点为椭圆短轴的端点时,最大，若此时，则有：，又，所以，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以的取值范围为： 。2解：由结论1知，当点越接近短轴的端点时，越大，所以只要求为直角时点的横坐标的值，因为，所以当为直角时，点在圆上，解方程组：，得：，所以点横坐标的取值范围是：。