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1、-小学五年级奥数讲义(教师版)30讲全-第 - 52 - 页小学奥数基础教程(五年级) 第25讲 行程问题（二 27讲 逻辑问题（一）第1讲 数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5137）（179）=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“”的位
2、置。 当“”在第一个内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。（513-7）（17+9）。 当“”在第二或第四个内时，运算结果不可能是整数。 当“”在第三个内时，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例2 将19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：将5568质因数分解为5568=26329。由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：5896和6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464， 16348， 24232，29192， 32174， 48116。显然，符合题意的只有
3、下面一种填法：17432=5896=5568。例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371 推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。例4 已知六位数3344是89的倍数，求这个六位数。 分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然8996=8544，但不能认为六位数中间的两个内是85，因
4、为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。 由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。由379689=337844， 389689=346744知，商是3796，所求六位数是337844。例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E
5、=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以I0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且X0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，则R=8，X=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的数，矛盾。若T=8，则R只能取6或7。R=6时，X=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，X=4，剩下数字2，3，6，可取F=2
6、，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧极了！例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比较难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，
7、与E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。解：621819（100-1）= 6281。2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：
8、 （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C（1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法A+ C=B+10，推知C=9，进而得到A=5，B=4（见上右式）。（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=9。因为十位减法向百位借1，百位减法向千位借1，所以百位减法是（10+B-1）-A=A，化简为9+B=2A，将B=A-1代入，得A=8， B=7（ 见右上式）。3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。解：1（23456789）=90720。4.在下面的算式中填上若干个（ ），使得等式成立：123456789=2.
9、8。解：1（23）4（5678）9=2.8。5.将19分别填入下式的中，使等式成立：=3634。提示：3634=22379。4679= 23158= 3634。6.六位数391是789的倍数，求这个六位数。 提示：仿照例3。391344。7.已知六位数7888是83的倍数，求这个六位数。提示：仿例4，商的后3位是336，商的第一位是8或9。774888。第2讲 数字谜（二） 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求abcde.1abcde3=abcde1分析与解：这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确
10、定各个字母所代表的数码。现在，我们从另一个角度来解。1abcde与abcde1只是1所在的位置不同，设x=abcde则算式变为 （100000+x）3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例2 在内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。 1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4 4 求竖式。例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在内填入适当的数字，使除法竖式成立。 例4 解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以x=112，被除数为98
11、9112=110768。右上式为所求竖式。 代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例4 在内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。 因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的
12、后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.37516=102。上页右式即为所求竖式。 求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5），另一个含有因子5n（不含因子2），以此为突破口即可求解。例5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式（2），求这个五位数。分析与解：由竖式（1）可以看出被除数为10*0（见竖式（1），竖式（1）的除数为3或9。在竖式（2）中，被除数的前两位
13、数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。当竖式（1）的除数为3时，由竖式（1）知， a=1或2，所以被除数为100*0或101*0，再由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式（2）的除数为4，被除数为10020； 当竖式（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式（2）的除数只能是4，6，8，由竖式（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被
14、除数整除，可得竖式（2）的除数为8，被除数为10440。所以这个五位数是10020或10440。练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的答案（1）4285；（2）461538。7(1000A+ B)= 6(1000BA)， 化简后得538A=461B，由于538与461互质，且A，B均为三位数，所以A=461，B= 538。所求六位数是461538。 2.用代数方法求解下列竖式： 3.在内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 8 7 . 8 0 0 0答案（1）12481=10044；（2）11768412= 9807。提示：（1）设被乘数为a，由8a999，
15、81a10000，推知所以a=124。（2）根据竖式特点知，商是9807。设除数是a，根据竖式特点由8a100，9a100，推知 所以a=12。3.答案（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式： 易知f=2，g=0；由g=0知b，d中有一个是5，另一个是偶数而f= 2，所以b= 5，进而推知d= 6；再由d= 6，f= 2知a= 2或7，而e=3或4，所以a=7；最后求出c=5。见上页右下式。（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：由竖式特点知b=c=0；因为除数与d的乘积是1000的倍数，d与e都不为0，所以d与除数中必分别含有因子23和52，故d=8，除数是125的奇数倍，因此e=5；又
16、f0，e= 5，所以f=g=5；由g=5，d=8得到除数为50008=625，再由625a是三位数知a=1，所以被除数为6251008=630000，所求竖式见右上式。第3讲 定义新运算（一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析与解：根据题目定义的运算要求
17、，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求106的值。 3，x=2，求x的值。分析与解：按照定义的运算， =2，x=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=ab-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解：按新运算的定义，符号“”表示求两个数的平均数。四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面
18、的运算。按通常的规则从左至右进行运算。分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。例6 对于任意自然数，定义：n！=12 n。例如 4！=1234。那么1！+2！+3！+100！的个位数字是几？分析与解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=
19、720，由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，100！的末位数字都是0。 所以，要求1！+2！+3！+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。例7 如果m，n表示两个数，那么规定：mn=4n-（m+n）2。求3（46）12的值。 解：3（46）12=346-（4+6）212=31912 =419-（3+19）212=6512=412-（65+12）2=9.5练习31.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3a-b3。求8*9的值。（值为2）2.已知ab表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。（值为4）3.已知ab表示（a-b
20、）（a+b），试计算：（53）（106）。（值为0）4.规定ab表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求82的值。答案 5.假定mn表示m的3倍减去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。答案提示：（2）x（41）= 7，x（43-12）= 7，x10=7， 3x-102=7，x=9。（2）相当于由123 x=40320，求x。 40320220160，201603= 6720，67204=1680，16805=336，88=1， 即1/40320=11/21/31/41/51/61/71/8。所以x=8。7.对于任意的两个数P， Q，规定 PQ=（PQ）4。例如：2
21、8=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。解：x（85）= x（854）= x10= x104，由x104=10，求得x=4。8.定义： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（43）（2b）。解： （43）（26）= (43-33)(42-6/2) = 35=35-35=0。9.已知： 23=234，45=45678，求（44）（33）的值。提示：新运算“”是：从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是第二个数字。（44）（33）= （4567）（345）=14。第4讲 定义新运算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。分析与解：这是一道很简单
22、的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“”化简，再求结果。 ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。 由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。例2 定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。问：85与58的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：
23、（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为52=35+552+k2=65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244， 58=35+558+48=247。因为244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0， 3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。 当新运算是ab=3a+5ab+3b时，具有交换律，即ab=ba。例3
24、 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析与解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81； （2）因为定义的新运算“”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。 因为6x=6，x-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数6，x只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x
25、的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为ab=a，b（a，b），所以6x=303，由此求得x=15。例4 a表示顺时针旋转90，b表示顺时针旋转180，c表示逆时针旋转90，d表示不转。定义运算“”表示“接着做”。求：ab；bc；ca。分析与解： ab表示先顺时针转90，再顺时针转180，等于顺时针转270，也等于逆时针转90，所以ab=c。bc表示先顺时针转180，再逆时针转90，等于顺时针转90，所以bc=a。ca表示先逆时针转90，再顺时针转90，等于没转动，所以ca=d。对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“”的运算表（见下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就
26、是cb的结果。因为运算符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f（2）=f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。练习4 答案 2.定义两种运算“”和“”如下：ab表示a，b两数
27、中较小的数的3倍，ab表示a，b两数中较大的数的2.5倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)解：原式=（0.53+0.82.5）(0.73-0.642.5)=7。提示：从已知的四式发现，第一个数的4倍加上第二个数等于结果，所4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。试确定常数A，并计算：（57）（22）（32）提示：由 23= （A2-3）4=0.75，推知A=3。定义的运算是： mn=（3m-n）4。（57）（22）（32）=（35-7）4(32- 2)4
28、（33-2）4=217/4=8/7。5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240，b表示顺时针旋转120，c表示不旋转。运算“”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（199）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。6.（1）2，3，1；（2）7或14。提示：（1）（59）19= 419=3，5（195）= 54= 1。 （2）当x11时，x是7；当x11时，x是14。7
29、.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。解：（1）f（g（6）- g（f（3）= f(62+1)- g（33-1）= f( 4)- g（8）= （44-1）-（82+1）= 10；。 （2）由f( g（x）)= 8=33-1，推知g（x）= 3；再由x2+1=3，得x=4。第5讲 数的整除性（一）三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有：（1）如
30、果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。例1 在里填上适当的数字，使得七位数7358能分别被9，25和8整除。分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，
31、8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9258=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。例2 由2000个1组成的数11111能否被41和271这两个质数整除？分析与解：因为41271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 20005=400，就有400节， 因为2000个1组成的数1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数11111能被41和271整除。例3 有四
32、个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=121=62=34。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。 对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而
33、76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。 对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。 综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：各数位上的数字之和等于43；能被11整除。 因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字
34、之和等于43的五位数较少，所以应选择为突破口。有两种情况：（1）五位数由一个7和四个9组成；（2）五位数由两个8和三个9组成。 上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。 假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整
35、除，推知110的和也应能被3整除。实际上，110的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。练习51.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？（1）提示：.是。7018和1392分别是4205与2813的和与差。2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？（14）。提示：已知这两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的因数。4875= 355513，用这些因子凑成两个数，使它们的和是64，显然这两个数是313=39和55=25。它们的差是39-25=14。3.173是个四位数。数学
36、老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？（19）提示：先后填入的三个数依次是7，8，4。6，进而知f=4，所求数为123654和321654。答案：123654和321654。提示：由题意知，b，d，f是偶数，e= 5，所以a，c只能是1和3。班有多少名学生？提示：总分等于平均分乘以学生人数，因为平均分90=910，所以总（人）。6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？答案：不能。提示：假设能。因为前两个数的和能被3整除，第2、第3个数的和也能被3整除，所以第1、第3两
37、个数除以3的余数相同。类似可知，排在第1，3，5，7，9位的数除以3的余数都相同。 在19中，除以3的余数相同的数只有3个，不可能有5个。这个矛盾说明假设不成立。第6讲 数的整除性（二） 我们先看一个特殊的数1001。因为1001=71113，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。能被7，11和13整除的数的特征： 如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或11或13整除。例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？解：因为371-306=65，65是13的
38、倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3 已知108971能被13整除，求中的数。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由139-37=80，推知中的数是8。2位数进行改写。根据十进制数的意义，有因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要
39、么都不能被7（或13）整除。因为91=713，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知5599能被7整除。根据能被7整除的数的特征，99-55=44也应能被7整除。由44能被7整除，易知内应是6。下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一
40、定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。例6 判断下列各数能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。 因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。 2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。 因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615
41、496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。连续进行这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。例7 （1）判断18937能否被29整除；（2）判断296416与37289能否被59整除。解：（1）上述变换可以表示为：由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除一般地，每进行一次变换，被判断的
42、数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。练习61.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。答案能被7整除的有250894，675696，805532；能被13整除的有88205，167128，805532，757788852.六位数17562是13的倍数。中的数字是几？答案1。提示：175-62=113，只要内填1，就有175-162=134.能从而ababab能被7和13整除。5.能。提示：仿例5。6.4。提示：仿例6。
43、7.九位数87654321能被21整除，求中间中的数。7.0。解：因为87654321能被21整除，所以能被7和3整除。由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：87654-321=876504+0-321=876183+0，876-（183+0）=693+0。由（693+0）能被7整除，可求出=0或7。再由能被3整除的数的特征，内的数只能是0。8.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。解.能被27整除的数有：1884924，2560437，131313555，266117778。