二项式定理(通项公式)(6页).doc

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1、-二项式定理(通项公式)-第 - 5 - 页六、二项式定理一、指数函数运算知识点:1整数指数幂的概念2运算性质: ,3注意 可看作 = 可看作 =4、 (a0,m,nN*,且n1) 例题:例1求值:.例2用分数指数幂的形式表示下列各式:1) (式中a0) 2) 3) 例3计算下列各式(式中字母都是正数) 例4计算下列各式: 例5化简:例6 已知x+x-1=3,求下列各式的值:二、二项式知识回顾1. 二项式定理以上展开式共n+1项,其中叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项.(请同学完成下列二项展开式) 式中分别令x=1和x=-1,则可以得到 ,即二项式系数和等于;偶数项二项式系数和等于奇数项二项

2、式系数和,即 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即.(2)二项式系数增减性与最大值:当时,二项式系数是递增的;当时,二项式系数是递减的.当n是偶数时,中间一项取得最大值.当n是奇数时,中间两项和相等,且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,an 的性质:f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn a0+a1+a2+a3+an=f(1) a0-a1+a2-a3+(-1)nan=f(-1) a0+a2+a4+a6= a1+a3+a5+a7= 三、经典例题1、“展开式例1求的展开式

3、;解:原式=【练习1】求的展开式2.求展开式中的项例2.已知在的展开式中,第6项为常数项.(1) 求n; (2)求含的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.解:(1)通项为因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得所以所求的系数为.(3)根据通项公式,由题意令,则,故可以取,即r可以取2,5,8.所以第3项,第6项,第9项为有理项,它们分别为.【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列.求:(1)展开式中含的一次幂的项;(2)展开式中所有的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992,求的展开式中:(1)二项式系数最

4、大的项;(2)系数的绝对值最大的项(先看例9).解:由题意知,所以,解得n=5.(1) (1)由二项式系数性质,的展开式中第6项的二项式系数最大.(2) 设第项的系数的绝对值最大,得,即,解得.,故系数的绝对值最大的项是第4项,.练习3已知的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:1.(1)求展开式中含的项;(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数 例4的展开式中,项的系数是 ; 解:在展开式中,的来源有: 第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为; 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为的系数应为:填。5、求可化为二项式

5、的三项展开式中指定幂的系数例5(04安徽改编)的展开式中,常数项是 ;解:,该式展开后常数项只有一项,即 6、求中间项例6求(的展开式的中间项;解:展开式的中间项为 即:。 当为奇数时,的展开式的中间项是和;当为偶数时,的展开式的中间项是。7、 有理项例7 的展开式中有理项共有 项;解:当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式; 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项(1) 特殊的系数最大或最小问题例8(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是

6、 ;解:要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为(2) 一般的系数最大或最小问题 例9求展开式中系数最大的项; 解:记第项系数为,设第项系数最大,则有 又,那么有 即 解得,系数最大的项为第3项和第4项。(3) 系数绝对值最大的项例10在(的展开式中,系数绝对值最大项是 ;解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理,故此答案为第4项,和第5项。9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和 例11若, 则的值为 ; 解: 令,有, 令,有 故原式=【练习1】若, 则 ;解:,令,有 令,有 故原式=【练习2】设, 则 ; 解: = =110利用二项式定理求近似值 例15求的近似值,使误差小于; 分析:因为=,故可以用二项式定理展开计算。 解:= 且第3项以后的绝对值都小于, 从第3项起,以后的项都可以忽略不计。 小结:由,当的绝对值与1相比很小且很大时,等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:。 四、课下训练1、展开式中的系数是 ; 答案

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