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1、-习题一参考答案23426-第 15 页习题一参考答案1、 写出下列试验的样本空间：（1） 从A、B、C、D四位学生中推选代表参加数学竞赛，（a） 推选其中三位,参加学校组织的竞赛;（b） 推选其中二位,一位参加省级竞赛,另一位参加全国竞赛; (2) 从盛有三个白球,两个红球的口袋中,任取两球. (3) 实测某种型号灯泡的寿命.解(1)(a)=ABC、 ABD、 ACD 、BCD(b) =AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC(2)假定白球间、红球间均可识别,不妨设白球标号为1,2,3;红球标号为4,5.则 =(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2
2、,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5) 、 (3,5)(3) =2、在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1) 叙述的意义。(2)在什么条件下成立？(3)什么时候关系式是正确的？(4) 什么时候成立？解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) 等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。3、设为任意个事件,试用表示下列事件: (1)只有发生 (2)只有不发生 (3)至少有一个发生 (4)恰有一个发生
3、 (5)没有一个发生 (6)至少有两个不发生 (7)至多有两个发生 -()4、设表示”第个电器元件工作正常”事件,试用表示下列系统的工作正常事件:(1) (2) 5、证明下列各式：(1);(2)(3) (4) (5)(6) 证明略6、有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解：样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。7、一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHE
4、MATICIAN”一词的概率为多大？解： 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以8、一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解： 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。9、某地以英文字母及阿拉伯数字组成自行车的七位牌照. 试求下列事件的概率:(1) 牌照的前2位是
5、英文字母,后5位是阿拉伯数字;(2) 牌照中有2位英文字母, 5位阿拉伯数字.解: (1)令表示”牌照的前2位是英文字母,后5位是阿拉伯数字”事件 的样本点总数,有利样本点数= (2)令表示”牌照中有2位英文字母,5位阿拉伯数字” 事件 的样本点总数,有利样本点数=10、有20个人,设每人的生日在一年得365天中的任何一天都是等可能的.试求:(1)每个人的生日全不同的概率;(2)没有人的生日在元月份的概率;(3)20个人中有5个人的生日在元月份, 5个人的生日在二月份, 6个人的生日在十一月份,4个人的生日在十二月份的概率.解: 样本点总数(1) 令表示” 20个人的生日全不同” 事件,则=(
6、2) 令表示” 20个人中没有人的生日在元月份” 事件,则=(3) 令表示” 20个人中没有人的生日在元月份” 事件,则=11、一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。解: 6根草的情形:取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”事件，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的
7、另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是 根草的情形和(1)类似得.12、两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解: 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为13、在线段上任取三点，求：(1) 位于之间的概率。(2) 能构成一个三角形的概率。解： (1)令事件表示“位于和在之间” 令事件表示“位于和在之间” 令事件表示“位于和在之间” 由对称性
8、可知： 且 所以 (2) 令表示“能构成一个三角形”，设线段的长为1 能构成一个三角形，当且仅当 而此充要条件在几何上等价于向边长为1的正立方体中随机投点，随机点落入由平面、，所围成的六面体内。所以14、在正方形中任取一点，求使方程（1） =“有两个实根”的概率； （2）“有两个正根”的概率。解：（1）， 则， = 所以 （2） 所以15、甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解：用表示“白”，表示“黑白”，表示“黑黑白”，则样本空间，并且，甲取胜的概率为
9、=+乙取胜的概率为=+当为奇数时，=当为偶数时,略16、设事件及的概率分别为、及，求，解: 由得17、设、为两个随机事件，证明：(1) ;(2) .证明： (1) =(2) 由(1)和得第一个不等式 第二个不等式成立 由及得第三个不等式成立。18、 对于任意的随机事件、，证明：证明： 19、在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两
10、种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解： 令事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。(1) = =30%(2) (3) =+=73%(4) (5) (6) 20、设为个随机事件,证明:(1) (2) 证明: (1)用数学归纳法:当时,且与互不相容,所以即当时原式成立;设对原式成立,现证对原式成立:对前后两项分别应用归纳法假设得:(2) 由(1)得:=1- =1- =1-+其中1-=0,证毕.21、某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解： 用表示事件“至少有一张考没有被抽到”，则1） 当时，2
11、） 当时， 用表示“第张考签没有被抽到”， ，则。 所以综上：22、甲、乙两公司统计本公司员工订阅三种报纸的百分比如下：甲公司乙公司订A报52.5%81.1%订B报31.2%75.2%订C报47.0%41.5%订A,B两种报4.2%57.0%订A,C两种报14.7%35.6%订B,C两种报8.6%34.8%订三种报2.6%21.7%从这张统计表上就可以查出两厂的错误统计都是错误的，这是什么道理？解： =52.5%+31.2%+47.0%-4.2%-14.7%-8.6%+2.6% =105.8%1 不可能 =41.5%-(35.6%+34.8%-21.7%)=-7.2%又因为=1 (这是因为当增
12、加时是减少的)所以 所以显然=因为 所以24、已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解: 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，则25、某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率是0.94, 使用到3000小时还能正常工作的概率是0.87.试问已经工作了2000小时的集成电路能继续工作到3000小时的概率是多少?解: 令A=” 使用到2000小时还能正常工作”; B=” 使用到3000小时还能正常工作”则26、已知 5%的男人和0.25%的女人是色盲,假定
13、男人总数和女人总数相等.现在随机的选出一个人,发现是个色盲,问此人是男人的概率是多少?如果在居民中男人总数是女人总数的两倍,这个概率又是多少?解: 设=”选出的是男人” =”选出的是女人” =”选出的是色盲”(1) , , 则(2) , ; 同(1)可求得27、个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；(2)第个人摸到的概率。解：设表示“第个人摸到”， 。(1) (2) 28、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、
14、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解： 用表示“任选一名射手为级”， ，表示“任选一名射手能进入决赛”，则29、某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解： 设=”任取一台机床是车床” =”任取一台机床是钻床” =”任取一台机床是磨床” =”任取一台机床是刨床”则 ， ， ，(是比例常数)由贝叶斯公式得 30、有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分
15、别是、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解：设=“朋友乘火车来”，=“朋友乘轮船来” =“朋友乘汽车来”，=“朋友乘飞机来”，=“朋友迟到了” 则 由贝叶斯公式得: 31、证明：若三个事件、独立，则、及都与独立。证明：（1） （2） （3）=32、试举例说明由不能推出一定成立。解：设， ， 则 ，但是33、设事件相互独立,=,试求.解: =34、设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 个事件全不发生；(2) 个事件中至少发生一件；(3) 个事件中恰好发生一件。解：(1) (2) (3) 35、一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0
16、.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为型，两个人为型；(3)没有一人为。解： (1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为： (2) (3) 36、设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解： 用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ，表示 “击中飞机”。则，。(1) (2) , 故取37、在上
17、面习题四中,设, ,求各系统能正常工作的概率.解：由概率的加法公式及各电器元件间的独立性能够得： （1） （2） -+438、做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为,求第次试验时得到第次成功的概率.解: 令=”第次试验时得到第次成功”, 这说明”前次试验中恰有成功,且第次试验成功”,所以39、某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。解： 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 由对称性知，所求概率为：40、甲、乙两人进行一场比赛，已知甲在一局获胜的概率为0.6,比赛有三种方案: (1)3局2胜; (2)5局3胜; (3)7局4胜. 试问哪种方案对乙最有利?解: 方案(1):=0.352方案(2): =0.31744方案(3): =0.290所以方案(1)对乙最有利。