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1、- 1 - 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） “ “华华华华为为为为杯杯杯杯” ”第第第第十十十十三三三三届届届届全全全全国国国国研研研研究究究究生生生生 数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 学学 校校 南京工业大学南京工业大学 参赛队号参赛队号 10291002 队员姓名队员姓名 1.黄纬国黄纬国 2.吴炳延吴炳延 3.王梦杰王梦杰 - 2 - 参赛密码 （由组委会填写）（由组委会填写） “ “华华华华为为为为杯杯杯杯” ”第第第第十十十十三三三三届届届届全全全全国国国国研研研研究究究究生生生生 数数数数学学学学建建建建模模模模竞竞竞竞赛赛赛赛 题 目 军事行动避空侦
2、察的时机和路线选择 摘 要： 本文以卫星侦察的预测和避让为背景，以保证安全的情况下最小化到达目 的地的时间为目标，研究了卫星的观测和侦察的预测方法，并根据对卫星侦察 的预测，优化了到达目的地的道路选择和行动方式。 针对问题一，第一小问，本文首先对观测数据进行坐标变换，结合星下点 的经纬度随时间变化的函数给出了星下点的运行轨迹，给出了基于经度和纬度 的 Q 型卫星的观测范围和侦察范围，同时将 Q 型卫星侦察预测转化为 Q 型卫 星星下点轨迹的预测。分别联立星下点轨迹函数和目标区域的边界方程，解出 星下点进入和离开目标区域的经纬度和时间，从而实现对 Q 星被观测到的情况 和过顶情况的预测。对于确保
3、安全施工情况的预测，本文通过计算卫星的侦察 时段来给出确保安全施工的方案。第二小问，对 L-1、L-2 型卫星的预测方法和 第一小问对 Q 星的预测方法相同，通过对两颗星被观测情况和过顶情况取并集 和对确保安全施工时段取交集来考虑两颗星的共同作用，分析两颗卫星的相对 位置变化，由于存在一定的周期差，两颗卫星的相对位置改变导致在侦察的协 作工作方面有所削弱。第三小问，通过对观测数据的分析，求出 K 型卫星的轨 - 3 - 道高度、运行周期和特定时候的初始位置，采用对观测点的最小二乘拟合求出 轨道平面的倾角， 采用与 Q 型卫星相同的预测方法对 K 卫星后面三次被观测到 情况的预测，对不同数量的观
4、测数据拟合计算出的轨道倾角进行对比分析，总 整体趋势上，随着拟合数据的增多，倾角趋于稳定，可视其为误差随着观测数 据的增多逐渐减小。 针对问题二，本文从时间和安全的角度入手，对本问进行建模求解。提出 在卫星监视下躲避，在无卫星监视下机动的设想，重点研究了车辆遭遇卫星的 几种情况，将问题转化成单一求时间问题，并构造了求耗时最短的目标函数。 求得阿勒泰-喀什-和田的最短行军时间为 54.46 小时。 针对问题三，采用建立在 Dijkstra 算法基础上的启发式搜索算法，即 A*算 法，以被发现的概率作为优化目标，从分析影响运动路线的条件影响因素出发， 引入影响因素存在影响因子的概念，即各影响因素存
5、在一定权重，给出选择导 弹发射装置规避卫星最佳可行性的数学模型。 - 4 - 一、一、 问题问题背景与重述背景与重述 1.1 问题背景问题背景 大型国防工程施工、武器装备实验或部队大规模移动的隐蔽性关系到国家 安全以及战争胜败，通常采用“避、变、骗、反”四种手段对付卫星侦察。“避”， 就是掌握卫星运行规律，避开卫星过顶的时间段组织行动；“变”，就是针对侦 察卫星的特点，相应地改变地面部队的活动规律，减弱卫星侦察的效果；“骗”， 就是将军事目标伪装成非军事目标；“反”，就是利用各种武器摧毁卫星上的设 备或卫星载体。无论哪种方式，都必须准确掌握卫星的运行规律。 1.2 问题重述问题重述 问题一：某
6、地域（地图坐标：北纬 31.9032.25 度；东经 118.02118.91 度）内拟建设一大型国防工程，计划利用境外卫星过顶的间隙组织施工。该地 域长期受 Q 型、L 型卫星（有关数据见附件 1）监视。 问题二：某部需要从新疆的阿勒泰隐蔽地经喀什运动到和田并在和田执行 某任务，24 小时后再隐蔽地返回阿勒泰（不必经喀什） ，部队可以按需要选择 在高速公路（最大速度 100 公里/小时）或普速公路（除高速之外的其他公路， 最大速度 50 公里）上行进，假设部队出发时（2016 年 11 月 1 日凌晨 5 时整） Q 型卫星、L-1 卫星（它们的轨道要素见附件 1，其他 L 型卫星都不考虑）
7、均位 于各自轨道的近地点。行车时车队最大长度 2 千米，部队每开进 1012 小时可 选择途经的县级以上（含县级）城市休息 10 小时以上（即连续开进时间不少于 10 小时，不多于 12 小时） ，请你们根据附件 3 给出的地图（必要时可借助因特 网获取有关地理信息） ，设计合理的行军时机、路线和宿营地，避开 L-1 卫星侦 察，并预测 Q 型卫星的过顶时刻，以便及时做好隐蔽工作，尽可能快地安全到 达目的地。 问题三：研究导弹发射装置的战时隐蔽问题。有专家提出，运动方式可能 是移动发射装置规避卫星侦察的有效方案。请你们研究以下问题：假设某移动 发射装置可在某一指定区域内自由运动，分别研究针对
8、Q 型、L 型（包括 L-1、 L-2） 、K 型卫星的侦察能够规避的可行性、条件（区域大小、形状、路网状况 及其他你们认为需要的条件）和方式。欢迎进一步针对两种或三种卫星的组合 - 5 - 侦察能够规避的可行性、条件和方式。并考虑卫星参数变化对方案的影响。 - 6 - 二、二、 问题假设及符号说明问题假设及符号说明 2.1 问题假设问题假设 假设一：地球卫星绕地球运行的轨道遵循开普勒行星运动三大定律。 假设二：本题所涉及的卫星轨道均为低轨道、太阳同步轨道。 假设三：题干中卫星轨道偏心率极小，假定卫星轨道为圆形。 假设四：部队行军路径途径过个节点，各节点之间是无向互通的且只能通 过一次。 假设
9、五：各节点将路径划分为多个路段，各路段距离是已知的。 假设六：车辆行驶速度可通过道路等级确定。 假设七：车辆在每段路段的速度是给定已知的。 2.2 符号说明符号说明 符号 符号说明 a 轨道长半轴 近地点角距 升交点赤经 i 轨道倾角 e 偏心率 0 t 过近地点时刻 纬度 经度 注：其他符号在正文中详细标注。 - 7 - 三、三、 问题分析问题分析 3.1 针对问题一针对问题一 第一小问要求预测 Q 型卫星后两天被观测到的情况及过顶情况，并结合 Q 型卫星的侦察范围给出 D3、D5 两天内确保安全施工的时段。本文从已知条件 入手，由目标卫星初始的轨道参数进行轨道计算，获得精度较高的卫星位置坐
10、 标。同时，通过地面站对过顶卫星的预报确定地球与卫星的相对运动状态，并 且通过观测数据确定卫星的初始位置以及和地球的相对位置，而相对运动的描 述必须建立在坐标系中，本文在其他学者研究此问题的基础上， 给出地面站观 测坐标系与以地球球心为原点的直角坐标系，通过坐标之间的转换关系将卫星 在观测站坐标系中的坐标转换到地球圆心为原点的坐标系，从而求出卫星星下 点经度和纬度。根据观测站的仰角、观测站的经纬度和观测深度以及卫星的轨 道高度，计算出观测范围的经纬度范围，结合卫星经纬度随时间变化规律，从 而给出此后一天和此后三天卫星被观测到的过顶情况，并更具卫星星下点经纬 度随时间的变化规律和Q星的侦察范围以
11、及施工范围的经纬度， 给出卫星在D3、 D5 天对该区域的侦察情况，给出 D3、D5 两天内安全施工的时段。 第二小问要求给出 8 月 23 日 L-1、L-2 卫星的相对位置、被观测到的情况 以及过顶情况和确保安全施工的时段，并进一步找出它们在侦察方面的薄弱环 节。卫星的相对位置求解可以直接根据所给的参数和实测值进行轨道计算，确 定相位差之后即可确定两者的位置关系，或者直接将两者位置关系的求解转化 为卫星投影点位置关系的求解，给出同一时刻以及运行之后两星的位置关系。 第二小问虽为双星共同工作，但是实际情况可将双星分开单独考虑，根据第一 问的解题思路和解题模型，对双星单独分析，分别求出对 L-
12、1、L-2 观测情况及 过顶情况和确保安全施工的时段，然后对双星的观测结果和过顶情况取并集， 对双星分别单独工作的情况下确保安全施工的时段取交集，对计算结果进行分 析，找出侦察漏洞或不足给出它们在侦察方面的薄弱环节。 第三小问要求预测未来三次被观测到的情况，并说明该卫星已经被连续观 察最少 n 次才能够确定下次被观测到的情况所需要的 n，以及观察次数对预报 精度的影响。首先，根据观测数据并结合地球半径，可以求出 K 型卫星的轨道 高度，再根据圆周运动和万有引力规律，求出卫星运行的周期和角速度。将观 - 8 - 测数据转化为直角坐标系中的坐标，坐标理论上应满足卫星轨道方程所在的平 面，采用最小二
13、乘法求出能够满足所有观测点的最优平面方程，按卫星运动方 向采用右手定则求出卫星轨道平面的法向量，轨道倾角的求解可转化为求该向 量和坐标系 Z 轴正方向的夹角。一般认为，在观测比较合理准确的情况下，观 测的次数越多对轨道的描述越准确，在本文中，将研究不同观测次数对预测精 度的影响转化为不同观测次数对轨倾角求解精度的影响，本题中，预测模型的 准确性直接取决于轨道倾角求解的准确性，因此该分析方法合理。 3.2 针针对问题二对问题二 问题二要求设计部队行军合理的行军时间、路线和宿营地，并避开 L-1 卫 星侦察，预测 Q 型卫星的过顶时间，尽快安全的到达目的地。分析上述描述， 可以判断该问题其实是一个
14、多目标的组合优化问题，可以转化为求时间的单目 标问题。目标函数约束是耗时最短，最优解是一条耗时最短路径。 在转化中，时间和安全是它的两个关键点。安全是一个复杂问题，影响它 的因素很多，为方便分析，可对其进行理想化处理。针对部队行军的时间问题， 有两点应当明确：一是必须知道卫星的过顶时间，包括卫星过顶的开始时间和 结束时间。二是车辆行驶所需时间与路段长度、行驶速度有关，而车辆的行驶 速度受道路、安全等情况的影响。由于在卫星监视下车辆需要在节点等待，因 此，整条路径的耗时就包括两部分，一部分是没有卫星监视的情况下车辆运输 所需的时间，称为正常耗时。另一部分是在途中各节点规避卫星的等待时间之 和，称
15、为等待耗时。最终以总时间最短为优化目标，考虑安全性的前提下，寻 求部队行军路线的最优解。 3.3 针对问题三针对问题三 问题三要求假定某移动发射装置可在某一指定区域内自由运动，分别研究 针对 Q 型、L 型（包括 L-1、L-2） 、K 型卫星的侦察能够规避的可行性、条件 （区域大小、形状、路网状况及其他你们认为需要的条件）和方式。根据问题 描述，采用建立在 Dijkstra 算法基础上的启发式搜索算法上的 A*算法解决是合 理可行的。其主要特点在于选择下一个路径节点时引入了已知的路网信息，特 别是目标点信息， 计算所有候选节点到目标点之间的某种目标函数(比如最短距 离、最小时间等等)，以此作
16、为评价候选节点是否属于最优路径节点的指标，优 - 9 - 先选择具有最优目标函数的候选节点作为下一个路径节点。考虑到各种规避条 件的存在，对 A*算法做出适当改进。 - 10 - 四、四、 问题一问题一解答解答 4.1问题一问题一计算计算过程过程 第一题主要是根据已知观测数据和卫星相关参数对卫星观测、卫星侦测和 卫星过顶等情况的预测问题，本文从研究卫星星下点的运行规律入手，将观测 范围转化为地球表面的经纬度范围，预测卫星星下点进入观测区域情况。对于 侦测问题，将卫星的辐照宽度结合施工区域的范围，转化为卫星可侦测范围， 当卫星星下点进入可侦测范围时，即为该区域被卫星侦测，通过该手段将卫星 侦测情
17、况预测问题转变为卫星观测情况预测问题。特定时间段内确保安全施工 的时段分析实质上也是卫星侦测问题的研究，确保安全施工的时段可通过该时 段去除卫星可侦测的时间段求解。 4.1.1 卫星与地球相对运动关系 由附件 2 可知，Q 型卫星的周期为 93.47 分（5662.2 秒） ，通过附件 2-1Q 型卫星连续三天的过顶情况观测数据中的 D0 天的第二次和第二次最近点的计 算经度可知， 卫星飞过的角度为 337.3479 度， 假设地球处于静止状态 （不自转） ， 则可近似计算卫星在此状态下的飞行时间为： 337.3479 360 5662.25305.92秒 实际的监测时间间隔为 5603 秒，
18、大于地球静止时候卫星所需的飞行时间， 所以，可以得出地球的自转方向和卫星绕地球转动方向相同。 4.1.2 建立坐标系 以地球圆心为原点，X-Y 平面在赤道平面上，X 轴指向本初子午线（经度 为 0） ，Z 轴指向北极点（纬度为 N90o） ，Y 轴指向东经 90 度方向，建立坐标系， 记为坐标系 1。以观测站为原点，建立三维直角坐标系，记为坐标系 2，由地球 球心指向观测站的方向为 x 轴正方向，地面正北方向为 z 轴方向，y 轴与纬线 相切正方向向东。 4.1.3 确定卫星在坐标系 1、2 中的位置 首先，根据观测站的经纬度和地球半径确定坐标系 2 原点在坐标系 1 中的 坐标： - 11
19、- cos()sin() cos()cos() sin() ggg ggg gg g g XR YR ZR R 观测站纬度 观测站经度 地球半径 根据观测数据，确定卫星在坐标系 2 中的位置： sin() cos()cos() cos()sin() w w w XRElv YRElvAzm ZRElvAzm Elv Azm R 观测站纬度 观测站经度 地球半径 再经过坐标转换，确定卫星在坐标系 1 中的位置： 平移变换： , ,2 , ,1 , ,1 x y 2 x y z X Xg Yh z Y Z g h k Zk 为在坐标系 中的坐标 为在坐标系中的坐标 为坐标系 原点在坐标系 中的坐标
20、 旋转变换： 111 222 333 1 lOXmn OYlmn OZlmn 坐标系 123 123 123 xl Xl Yl Z ym Xm Ym Z zn Xn Yn Z 4.1.4 确定卫星星下点的经纬度 根据上述方法求得卫星在坐标系 1 中的坐标，根据其位置关系以及三角函 数给出卫星星下点的额经纬度与卫星在坐标系 1 中坐标的关系： 方向余弦 - 12 - w w w arctan(/)(0) arctan(/)90 (0,0) arctan(/)90 (0,0) arcsin(/) www www www ww w w XYX XYXY XYXY ZR 星下点纬度 星下点经度 4.1
21、.5 观测范围计算 卫星观测站的观测方式主要是通过调整天线的方位角和仰角进行信号发射 和接受进行，天线的方位角可在 0o360o的范围内变化，天线的仰角存在最小 仰角，仰角的变化范围为“最小仰角”90o,由此可知，天线的观测范围为一个锥 体，顶角为 160o，中线在地球球心与观测站连线的延长线上。最大观测范围为 天线达到最大仰角时方位角变化 360o。根据卫星轨道半径确定卫星运行轨迹所 在的球面，天线的观测视角与球面的交面即为观测站的观测范围，同样，本文 还是将观测范围投影到地球表面，当星下点进入该范围是，则可判断该卫星被 观测到，具体形状如图 1。 图 1 观测范围投影图 4.1.6 确定卫
22、星星下点的运行轨迹 根据附件 1 中所给的卫星资料斜交角和卫星周期可以计算出卫星绕地球运 - 13 - 行的轨道，再根据观测值换算的某一时刻的经纬度和地球的自传速度，本文推 算出卫星星下点的经纬度变化规律为： 0 0 0 180 ( 18090 ) ( )arctan(costan )0 ( 9090 ) 180 (90180 ) ( )arcsin(sinsi 0 n se s tit ti - 时刻的升交点经度 -地球的自转角速度 对应于顺行轨道， 对 经 应 度： 纬度：） 于逆行轨道 用 MATLAB 模拟出来的轨迹曲线示意图如图 2。 图 2 星下点轨迹示意图 4.1.7 误差分析和
23、校正 未验证该计算方法的精确度，本文采用附件中的观测数据对卫星星下点运 行的计算方法进行校验，发现存在系统误差，并且误差呈一定的规律变化。对 误差进行统计分析发现， 模型计算的误差相对于观测值总是存在一个提前量 （公 式计算的星下点运行轨迹与观测值相同，但是计算星下点运行速度偏快） ，而且 随着预测运行总步长的增加，误差呈现出累积上升的变化趋势，基于这一误差 变化规律，本文分别对经纬度基于每一步的时间步的变化大小进行调整，调整 结果截取了一段数据如表 1，在模拟了三天之后依然能较好的保持精度（Q 的 观测情况只有三天） ，有效地消除了累积误差。 - 14 - 表 1.Q 星模拟误差 时间（秒）
24、 观测经度 观测纬度 预测经度 预测纬度 经度误差 纬度误差 175763 104.5052 26.28476 104.2727 26.23114 -0.23257 -0.05362 175827 103.4555 30.3005 103.3306 30.24482 -0.12491 -0.05569 175891 102.3182 34.31053 102.3298 34.2618 0.011545 -0.04873 217116 123.0363 45.40579 123.2479 45.54878 0.211603 0.142991 217334 119.7066 31.71108 11
25、9.3595 31.88872 -0.34703 0.177641 217550 116.8656 18.11212 116.2737 18.29734 -0.59188 0.185214 255094 133.8592 27.04081 133.6512 26.94418 -0.20804 -0.09663 255223 131.4645 35.1168 131.6679 35.06127 0.203337 -0.05554 255353 128.4339 43.21484 129.3514 43.21484 0.917426 -4.6E-06 4.1.8 卫星被观测到的情况预测 根据卫星星
26、下点的运行轨迹以及观测范围在地面上的投影，对卫星的观测 情况进行预测，当卫星的轨迹进入观测范围之后，即为卫星被观测站观测到， 知道卫星星下点运动到观测范围之外，则观测结束。本文中，采用卫星星下点 在进/出观测范围的时间和经纬度来描述观测情况预报，有上述情况可知，卫星 星下点的经纬度可表示为时间的函数及t（ ）和t（ ），当相邻两步的点分别处于 范围内和范围外时，怎卫星行下点进/出观测区域，具体进出可根据在范围内外 两点的时间先后来确定，取用这两点的平均经纬度和平局时刻来近似的描述卫 星星下点的被观测到的情况，具体过程通过 MATLAB 编程实现。 4.1.9 过顶及施工区域被侦察情况预测 根据
27、卫星星下点的运行轨迹，当卫星星下点的经纬度同时满足经度在 E118.02oE118.91o之间和纬度在 N31.90oN32.25o度之间时，即为卫星过顶， 但是在本题中，由于给定范围较小，严格的过顶情况非常少，所以本文将过顶 情况和卫星能够侦测该区域情况共同考虑，即将严格的过顶情况理解为卫星能 侦察到该区域的一种情况（在编程预测过程中，并没有发现有卫星星下点能过 经过施工区域的情况） 。 4.1.10 确保安全施工时段的预测 确保安全施工时段的预测过程假设在制定的时间段内均可以进行施工，不 考虑夜间施工和不良天气等因素影响，只考虑卫星侦察因素。根据题目要求， 施工区域在施工过程中应该避开卫星
28、的侦察，在卫星过顶过着能够侦察到的时 候应该停止施工，对应的，确保安全施工的时段应该是整个时段去除卫星能够 - 15 - 侦察到的时段。 4.2 第一问第一问解答解答 根据附件给出的观测结果，给出 Q 星被观测到的情况如图 3 所示，其中卫 星能被观测到的区域为红线围城的封闭区域，图中各点的连线和数字用来描述 卫星在此区间出现的顺序和运动的大致路线和方向（折线为轨迹线的近似，非 真实轨迹线） ， 卫星在被观测到的区域内的运动方向总是由没有数字的一段运动 到有数字的一端（以下各图中的数字、连线和红线围成区域的意义与该出处相 同） 。 图 3.Q 星被观测到情况 Q 星被观测到的情况预测如图 4
29、和表 2 所示，其中第 2 条、第 3 条和第 4 条线为 Q 星在 D3 天被观测到的情况， 第 9 条和第 10 条线 Q 星在 D5 天被观测 到的情况。在表三种，采用 1 描述卫星进入能被观测到的范围，-1 代表卫星运 动出能被观测到的范围（以下表格中 1 与-1 的含义与该处相同） 。 - 16 - 图 4.Q 星被观测到情况预测 表 2.Q 星被观测到情况预测结果 天 时间 经度 纬度 进/出（1/-1） D3 0:31:13 111.6595 19.7157538 1 D3 0:37:02 106.2155 41.6324265 -1 D3 12:02:40 128.5057 4
30、3.5333047 1 D3 12:09:17 122.4342 18.5943896 -1 D3 13:38:48 103.0987 37.118725 1 D3 13:39:27 102.4718 34.6707923 -1 D5 12:49:18 117.2868 45.851133 1 D5 12:56:11 111.3648 19.8813812 -1 D5 23:21:00 129.3369 21.8254952 1 D5 23:27:23 121.368 45.7465036 -1 Q 星过顶和能够侦测到施工场地的情况预测如图 5 和表 3 所示，其中第 1 条线和第 2 条线为
31、 D4 天 Q 星对于该施工场地的侦察情况， 第 3 条线为 D6 天 Q 星对于该施工场地的侦测情况， 对于本题要求的此后一天 （D3） 和此后三天 （D5） 卫星的没有过顶，同样，也没有侦察到该施工场地，所以，在 D3、D5 两天内 确保安全施工的时段为这两天的全天时段。 - 17 - 图 5.Q 星过顶和能够侦察到施工现场的预测情况 表 3.施工场地受到 Q 星侦察的时间段 天 时间 经度 纬度 进/出（1/-1） D4 5:57:40 115.2484 30.30914 1 D4 15:25:19 114.6426 32.63081 -1 D4 7:12:06 121.3001 29.
32、89535 1 D4 19:11:15 119.7995 35.15798 -1 D6 14:40:53 120.6117 34.82826 1 D6 8:15:48 119.3443 28.91222 -1 4.3 第二问解答第二问解答 4.3.1 L-1、L-2 相对位置求解 根据 L-1、L-2 轨道参数可知，两星的升交点赤经相差约 180o，当两星同时 经过升交点时，两星的位置关系刚好与地球共线，当两星不处于升交点时，根 据卫星资料可知两星的倾斜角相差 10.978o，二者周期相近，当两颗星运行了半 个周期之后，地球自转角度为 12.21o,由此可知，两星在运行过程中，星下点的 运动轨
33、迹在纬度较低的情况下近似于重合，有 1.2o左右的偏差，纬度升高之后， 两星运行路径偏差较大，在较短时间内，两颗星存在 180 的相位差。在运行一 - 18 - 段时间之后，两星位置逐渐发生改变，大约每运行 362 圈之后（约 25 天） ，L-1 将比 L-2 度绕行一圈，在这个过程中，两颗卫星的位置逐渐从与地球共线变化 到地球的同意侧，然后再达到和地球共线的位置。 4.3.2 L-1 星预测结果 根据附件给出的观测结果，给出 L-1 星被观测到的情况如图 6 所示，由于 对 L-1 星的观测时间较长，所以 L-1 被观测到的次数相对较多。 图 6.L-1 星被观测到的情况 L-1 星在 2
34、3 日被观测到的预测结果如图 7 和表 4 所示，其中第 5 条、第 6 条、第 7 条和第 8 条线为 L-1 星在 23 日别观测到的情况。 - 19 - 图 7.L-1 星被观测到的预测情况 表 4.L-1 星被观测到的情况预测结果 天 时间 经度 纬度 出/进（1/-1） 23 日 3:03:04 121.497 48.51815 1 23 日 3:10:18 135.9829 25.09861 -1 23 日 4:42:41 102.2711 42.23376 1 23 日 4:50:41 115.2816 15.69182 -1 23 日 17:11:56 123.0916 15.
35、87205 1 23 日 17:19:44 135.7049 41.76574 -1 23 日 18:52:02 101.996 24.32489 1 23 日 18:59:31 116.8675 48.57811 -1 L-1 侦测情况以及安确保全施工时段预测 L-1 星过顶和能够侦测到施工场地的情况预测如图 8 所示，在 21 到 23 日 内，有一次能够侦测到施工区域，根据时间数据推算此时为 22 日，故 23 日侦 测不到施工区域。 换言之， 在 23 日内确保安全施工的时段为这当天的全天时段。 - 20 - 图 8.L-1 和能够侦察到施工现场的预测情况 4.3.3 L-2 星预测结
36、果 根据附件给出的观测结果，给出 L-2 星被观测到的情况如图 9 所示. 图 9.L-2 星被观测到的情况 L-2 星在 23 日被观测到的预测结果如图 10 和表 5 所示，其中第 8 条、第 9 条、第 10 条和第 11 条线为 L-2 星在 23 日别观测到的情况 - 21 - 图 10.L-2 星被观测到的预测情况 表 5.L-2 星被观测到的情况预测结果 天 时间 经度 纬度 进/出（1/-1） 23 日 2:34:20 125.8175 16.3414 1 23 日 2:40:12 138.8481 33.52179 -1 23 日 4:13:45 104.4175 20.99
37、607 1 23 日 4:23:05 130.5444 46.35158 -1 23 日 11:09:53 117.7744 48.94196 1 23 日 11:16:04 138.86 33.60008 -1 23 日 12:50:11 102.9203 43.45742 1 23 日 12:59:39 127.1468 16.89062 -1 L-2 星过顶和能够侦测到施工场地的情况预测如图 11 和表 6 所示，在 21 到 23 日内，有四次能够侦测到施工区域，根据时间数据推算第 3 条为 23 日的 运动轨迹，故 23 日 L-2 星侦测能够侦察到施工区域，侦察时间为 12:54:
38、06-12:55:38 ， 所 以 安 全 施 工 的 时 间 段 为00:00:00-12:54:06和 12:55:38-24:00:00。 - 22 - 图 11.L-1 和能够侦察到施工现场的预测情况 表 6.施工场地受到 L-2 星侦察的时间段 天 时间 经度 纬度 进/出（1/-1） 23 日 12:54:06 114.8208 33.14456 1 23 日 12:55:38 118.6196 28.78958 -1 L 型卫星是 L-1 和 L-2 协作工作，理论上，在 L 星卫星的侦察下，确保安 全施工的时段应该有在两颗星分别观测下各自确保安全施工的时段交集确定， 在本题中，
39、由于 L-1 星在 23 日对施工场地的施工没有约束作用，多以，本体能 够确保安全施工的时间段为 00:00:00-12:54:06 和 12:55:38-24:00:00。 4.3.4 L 型星在侦察方面的薄弱环节 L 型星在协作工作的时候确实存在一定的不足之处，首先，两颗星的倾角 相差 10.978o，折也导致了卫星在纬度较高的情况下，侦察的范围不能重合，有 较大的偏差，在低纬度地区的侦察范围存在 1o左右的偏差，这对协作工作效果 有一定的影响，另外，两颗星的周期虽然很接近，但是由于偏差的存在，当两 颗星运行时，大约每运行 362 圈之后（约 25 天） ，L-1 将比 L-2 度绕行一圈
40、， 也就是说，在两颗星运行一段时间之后，星下点的运行轨迹将不再重合，两星 的协作工作效果将由明显的减弱。 4.4 第三问解答第三问解答 - 23 - 4.4.1 K 星轨道求解 根据观测的情况可以确定出卫星的轨道半径 RK 图 12.卫星观测示意图 根据余弦定理得： 222 2cos(90) Kee RRddREl 根据轨道半径求卫星运行周期 与开普勒第三定律可知 23 /TR 定值 则 2323 /=/ QQKK TRTR 33 =/ KQKQ TTRR 采用第一问处理 Q 星的方法将观测的各点转化为在地球表面的经纬度，假 设地球不旋转，将每次测量的经度进行地球自转影响消除修正，建立直角坐标
41、 系（第一小问中的坐标系 1） ，将各投影点修正后的经纬度转化为直角坐标。假 设卫星所在平面的方程为 Ax+By+Cz=0,根据观测的数据采用最小二乘法计算 A、B、C，即向量（A、B、C）为轨道平面的法向量，取卫星运行方向为正方 向采用右手定则取法向量的方向，求出法向量和坐标系 Z 轴正方向的夹角即为 轨道倾角。求出轨道倾角、卫星固定时刻的位置、轨道半径、轨道周期之后， 可以根据 Q 星的预测程序对 K 星的观测进行预测。 4.4.2 K 星预测结果 预测结果如图 14 和表 7，其中第 4 条、第 5 条和 6 条为预测的后面三次 K 星被观测到的情况。 - 24 - 图 13.K 星被观
42、测到的情况 图 14.L-2 星被观测到的预测情况 - 25 - 表 7.施工场地受到 L-2 星侦察的时间段 预测观测情况 时间 经度 纬度 进/出（1/-1） 第一次观测到 7:48:36 121.7945 16.16577 1 第一次观测结束 7:57:12 114.8051 47.88035 -1 第二次观测到 19:38:37 131.8245 44.49683 1 第二次观测结束 19:45:59 126.0073 17.32167 -1 第三次观测到 21:15:07 107.975 45.81693 1 第三次观测结束 21:21:04 103.0109 23.88149 -1
43、 根据本方法，只需要两组观测数据，即只需连续观测 1 次即可对 K 星进行预测 4.4.3 K 星观测次数和精度分析 根据连续两组的观测的数据既可以确定卫星观测预测的基本数据轨道倾 角、卫星固定时刻的位置、轨道半径和轨道周期，从而可以采用 Q 星的预测程 序对卫星的观测情况进行预测，每次的观测数据有三组，也就是说只要进行一 次观测即可对之后的观测情况进行预测 本题主要是根据观测参数求解轨道倾角，根据不同的观测数值采用最小二 乘法拟合，假设观测次数越大，求得的轨道倾角越精确，分别由一次到十次观 测数据求得的轨道倾角如下图，由图 15 可得，求得的轨道倾角比较稳定，将各 次计算结果与十次观测的计算
44、结果作差，如图 16，结果有一定波动，整体趋势 趋于接近。总体而言，观测的次数越多，精度越高。 图 15.不同组观测数据对应的轨道倾角 图 16.不同组观测数据对应的轨道倾角偏差 - 26 - 开始 建立坐标系 三维直角坐标与 经纬度换算 确定卫星轨道 确定星下点经纬度关系模 型，模型检验并调整误差 卫星经过该范围 确定预测关注范围 记录时刻和位置 达到所需预测 的最大时刻 结束 计算下一点 图 17. 确保安全施工时段预测流程图 否 是 - 27 - 五、五、 问题二的解答问题二的解答 问题二为行军路线优化控制问题，本文从时间和安全的角度入手，对问题 二进行建模求解。本节具体研究内容如下：
45、5.1 运输路网图的建立运输路网图的建立 根据题目提供的新疆地区交通图，首先建立新疆地区从阿勒泰到和田的交 通路径图为 () k ANLN、 、 。其中： A表示途中各节点集，表示为 1、2、3 i j n，n 为终点编号； L表示节点路段集， ij L 表示连接节点 i 到节点 j 的路段 k A 表示必经的城市构成的必经点合集； 5.2 运输时间的确定运输时间的确定 根据前文假设，建立通过路段的时间为()BTDW、 、 T表示无卫星监视下部队行军使用的正常耗时，ijt表示从 i 点到 j 点的 正常耗时； D表示在有卫星监视下，部队需在途中节点的等待时间， ij D表示从 i 点到 j 点
46、车辆需要的等待时间。 W表示部队在连续开进后 1012 小时后可选择休息的时间 在正常耗时中，车辆耗时与路段距离及车辆行驶速度v有关，v可根据道路 等级、安全情况、天候情况，采用经验评估、专家评估等方式确定v值。假设 速度按道路等级分为 1 v 、 2 v ，高速公路速度为 1 v ，普速公路（除高速公路之外 的其他公路）速度为 2 v ，则有： ij ij SS L s TT vv 其次建立卫星的过顶时间集(,) ijij FF F F。其中， ij F表示 ij L路段卫星过顶时间； - 28 - i F表示卫星侦察 ij L路段的开始时间； j F表示卫星侦察 ij L路段的开始时间；
47、在计算等待耗时中，由于卫星的轨道是固定的，通过给出各节点的经纬度 及出发时间，可得到已知侦察卫星的过顶时间。建立过顶时间集F， ij F表示 ij L 路段卫星过顶时间， i F表示卫星侦察 ij L路段的开始时间， j F表示卫星侦察路段 ij L的结束时间。 卫星在路段 ij L会出现三种情况： 一是在运输车辆到达节点 i 时卫星已侦察过 ij L路段； 二是运输车辆到达节点 j 时卫星还没有开始侦察该路段； 三是运输车辆在 ij L路段行驶时恰好卫星开始侦察该路段，此时车辆应在 i 节点等待，等卫星侦察过该路段再通行。 前两种情况车辆没有等待，等待耗时可以记作0 ij D ;最后一种情况由于假 设只能在节点等待且认为只要在节点等待就是安全，因此又可分成两种情况： （1）卫星对路段 ij L已侦察了一段时间车辆才到达 i 节点，即 iij FTF此 时车辆应在 i 点等待。 （2）车辆行驶在路段 ij L上，但未到达 j 点时卫星开始对该路段侦查，即 iij TFT， 此时车辆也应 i 点等待， 这两点情况的等待耗时为 ijji DFT则有： j 0 iijiijji ij iji FTFTFTFT D FTTF 或 或 通过上述的建模可以看出，车辆出发的时间不同，等待耗时也将不同。如 果等待耗时0 ij S D ，则可能出现休息一