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1、1.1.3 四种命题间的相互关系,1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.,1.本节的重点是四种命题间的相互关系. 2.本节的难点是利用命题真假的等价性解决简单问题.,1.四种命题的相互关系,原命题 若p,则q,否命题 若p,则q,逆命题 若q,则p,逆否命题 若 q,则p,2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _. (2)原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_真假 性; 逆命题与否命题真假性的关系是:有_真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_.,没有关系,相同的,相同的,真假性,1.在四种命题中，只有命
2、题“若p，则q”和“若 p，则 q”是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若 q，则 p”也是互否命题.,2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.,3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_. 【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一次函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否命题(即原命题的否命题)也为真，所以真命题
3、的个数为2. 答案：2,1.对四种命题间结构关系的认识 “互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.,2.对四种命题间真假关系的认识 (1)当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假. (2)当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一.,判断两个命题间的结构关系 【技法点拨】 判断两个命题间的结构关系的方法 这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系.若“只换位不
4、换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.,【典例训练】 1.与命题“在等差数列an中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为互逆命题的是( ) (A)在等差数列an中，若m+np+q,则am+anap+aq (B)在等差数列an中，若am+an=ap+aq,则m+n=p+q (C)在等差数列an中，若am+anap+aq,则m+np+q (D)在等差数列an中，若m+np+q,则am+an=ap+aq,2.与命题“已知点A，直线l0，l，Al0,若l0l，则l0唯一”为互否命题的是( ) (
5、A)已知点A，直线l0，l,Al0,若l0唯一，则l0l (B)已知点A，直线l0，l,Al0,若l0不唯一，则l0l (C)已知点A，直线l0，l,Al0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,Al0,若l0l，则l0不唯一,3.(2012湖南高考)命题“若= ,则tan=1”的逆否命 题是( ) (A)若 ,则tan1 (B)若= ,则tan1 (C)若tan1,则 (D)若tan1,则=,【解析】1.选B.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列an中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q”. 2.选C
6、.根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点A，直线l0，l,Al0，若l0不平行于l，则l0不唯一”. 3.选C.原命题的逆否命题是“若tan1,则 ”，故选C.,【思考】第1题的逆命题是真命题吗？ 由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？ 提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，.由它得到的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用.,【变式训练】 1.与命题“在等比数列an中，若m+n=p+q,则aman=apaq”为互逆命题的是( ) (A)在等比数列an中，若aman=
7、apaq,则m+n=p+q (B)在等比数列an中，若aman=apaq,则m+np+q (C)在等比数列an中，若m+np+q,则aman=apaq (D)在等比数列an中，若amanapaq,则m+np+q,【解析】选A.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等比数列an中，若aman=apaq,则m+n=p+q”.,2.与命题“已知x1R,x2R且x1f(x1)”互为逆否命题的是( ) (A)已知x1R,x2R且x1f(x1) (B)已知x1R,x2R且x1x2，若f(x)不是增函数，则f(x2)f(x1) (C)已知x1R,x2R且x1
8、x2，若f(x)不是增函数，则f(x2)f(x1) (D)已知x1R,x2R且x1x2，若f(x2)f(x1)，则f(x)不是增函数,【解析】选D.根据互为逆否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是其逆否命题的结论和条件，所以与之互为逆否的命题为“已知x1R,x2R,且x1x2,若f(x2)f(x1)，则f(x)不是增函数”.,四种命题的真假判断 【技法点拨】 四种命题的真假判断的两种方法 (1)利用命题真假判断的方法判断. (2)由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.,【典
9、例训练】 1.命题“当ABAC时，ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)0,2.有下列四个命题： “若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题； “相似三角形的周长相等”的否命题； “若b1，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题； “若ABB，则AB”的逆否命题 其中的真命题是( ) (A) (B) (C) (D),【解析】1.选C因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有2个. 2.选C“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”,是真命题，
10、因此排除B，D又“相似三角形的周长相等”的否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是假命题，排除A所以选C,【互动探究】若将题2中“有实根”改为“有两个不相等的实根”，其他条件不变，判断它的逆否命题的真假. 【解题指南】先找出“方程x22bxb2b0有两个相等的实根或者没有实根”的等价条件，然后再判断. 【解析】本命题的逆否命题是“若方程x22bxb2b0有两个相等的实根或者没有实根，则b1”.因为方程x22bxb2b0有两个相等的实根或者没有实根，所以0(-2b)2-4(b2+b)0b0b-1，所以本命题的逆否命题是真命题.,【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？
11、提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进行排除.,【变式训练】 1.下列命题中为真命题的是( ) (A)命题“若xy，则x|y|”的逆命题 (B)命题“若x1，则x21”的逆命题 (C)命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题 (D)命题“若x20，则x1”的逆否命题,2.下列命题： (1)“全等三角形的面积相等”的逆命题； (2)“若ab0，则a0”的否命题； (3)“正三角形的三个内角均为60”的逆否命题， 其中真命题的序号是_(把所有真命题的序号填在横线上),【解析】1.选A.因为选项A：x|y|，所以x0.当y0时
12、，xy；当y-yy,所以xy.命题“若xy，则x|y|”的逆命题是真命题；选项B：逆命题为“若x21，则x1”，是假命题.因为x21，所以x1；选项C：它的否命题是“若x1，则x2+x-20”.因为x1时,x2+x-2可以为0，所以是假命题；选项D：因为原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.,2.(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题； (2)“若ab0，则a0”的否命题为“若ab0，则a0”.而由ab0可得a，b都不为零，故a0，所以该命题是真命题； (3)由于原命题“正三角形的三个内角均为60”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题故填(2
13、)(3). 答案：(2)(3),互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】 命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.,【典例训练】 1.与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除”等价的命题是( ) (A)若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除 (B)若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除 (C)若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除 (D)若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除 2.若a2b2c2，
14、求证：a，b，c不可能都是奇数.,【解析】1.选C.因为互为逆否的命题是等价命题， 所以选C. 2.若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数， 得a2b2为偶数，而c2为奇数，即a2b2c2， 即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题 所以a，b，c不可能都是奇数,【总结】在题2中，结论用的是什么语句？此题的证明你又得到怎样的启示呢？ 提示：在题2中，结论用的是否定语句.得到的启示：凡是以否定语句给出的命题，它的真假判断一般是使用它的逆否命题的真假来判断.,【变式训练】已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，bR，若f(a)f(b)0，求证：ab0. 【证明】假设ab0，即a
15、b，f(x)在R上是增函数，f(a)f(b) 又f(x)为奇函数，f(b)f(b)， f(a)f(b)，即f(a)f(b)0, 即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题 若f(a)+f(b)0,则ab0.,【易错误区】否定对象的误区 【典例】在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则 x|ax2bxc0”的逆命题、否命题、逆否命题中， 下列结论成立的是( ) (A)都真 (B)都假 (C)否命题、逆否命题真 (D)逆否命题真,【解题指导】,【解析】选D.命题“若抛物线yax2bxc的开口向下， 则x|ax2bxc0”的逆命题是“若x|ax2bx c0，则抛物线yax2bxc的开口向下”,
16、否命题是 “若抛物线yax2bxc的开口向上，则x|ax2bxc0 = ”,逆否命题是“若x|ax2bxc0=，则抛物线y ax2bxc的开口向上”.因为原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题.而逆命题为假命题，所以否命题也为假命题，故选D.,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(注：此处的见解析过程),【即时训练】已知命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( ) (A)逆命题、否命题、逆否命题都为真 (B)逆命题为真，否命题、逆否命题都为假 (C)逆命题为假，否命题、逆否命题都为真 (D)逆命题、否命题都为假，逆否命题
17、为真,【解析】选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题,1.与命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题等价的命题 是( ) (A)若q不正确，则p不正确 (B)若q不正确，则p正确 (C)若p正确，则q不正确 (D)若p正确，则q正确,【解析】选D命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是“若q不正确，则p不正确”，而其逆命题的逆否命题是“若p正确，则q正确”.,2.命题“设a,b,cR，若ac2bc2,则ab”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) (A)0 (B)
18、1 (C)2 (D)3 【解析】选C互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个原命题正确，而否命题错误，所以选C,3.在空间中， (1)若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线； (2)若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的是_,【解析】(1)中的逆命题是： 若四点中任何三点都不共线， 则这四点不共面 我们用如图所示正方体AC1做 模型来观察：上底面A1B1C1D1 中任意三点都不共线，但A1， B1，C1，D1四点共面，所以(1)中的逆命题不是真命题；,(2)中的逆命题是：若两条
19、直线是异面直线，则两条直线没有公共点 由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点 所以(2)中的逆命题是真命题 答案：(2),4.“若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面”的逆命题是_，它是_命题(填“真”或“假”) 【解析】原命题的逆命题为“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”，它为真命题 答案：“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线” 真,5.已知命题：若m2，则方程x22x3m0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假 【解析】逆命题：若方程x22x3m0无实根，则m2，假命题否命题：若m2，则方程x22x3m0有实根，假命题逆否命题：若方程x22x3m0有实根，则m2，真命题,