2014年第一轮深刻复习数列.ppt

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1、数列的定义,归纳 知识整合 1数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 ),一定顺序,项,首项,有限,无限,3数列的通项公式 如果数列an的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 探究1.数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？,序号n,自测 牛刀小试,2已知数列的通项公式为ann28n15，则3是数列 中的第_项 解析：令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是数列an 中的第2项或第6项 答案：2或6,答案：7,5若数列an的前n项和Snn210n(n1,2,

2、3，)，则 此数列的通项公式为an_；数列nan中数值最小的项是第_项,答案：2n113,已知数列的前几项求通项公式,用观察法求数列的通项公式的技巧 用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用(1)n或(1)n1调节,由an与Sn的关系求通项公式,例7已知数列an的前n项和为Sn3n1，求它的通项公式an. 自主解答当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12也满足an23n1. 故数列an的通

3、项公式为an23n1.,数列函数性质的应用,例8已知数列ann25n4， 数列中有多少项是负数？ n为何值时，an有最小值？并求出最小值 自主解答(1)由n25n40，解得1n4. nN*，n2,3. 数列中有两项是负数，即为a2，a3.,等差数列,一、知识要点,等差数列的定义,如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差 都 等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。,等差数列的判定方法,1、定义法：对于数列 ，若 (常数)，则数列 是等差数列。 2等差中项：对于数列 ，若 则数列 是等差数列。,一、知识要点,等差数列的通项公式,如果等差数列的首项是 ，公差是d，则等差 数列的通项为： 说

4、明该公式整理后是关于n的一次函数,且n的系数p为公差d.,共n个括号,等差数列的前n项和公式的推导,倒序 相加,等差数列的前n项和,1、 2、 说明对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。,一般地，,一、知识要点,等差中项,如果 a， A ，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即： 或,在等差数列中，,1等差数列任意两项间的关系：如果 是等差数列的第n项， 是等差数列的第m项，公差为d，则有,一、知识要点,等差数列的性质,3若数列 是等差数列， 是其前n项的和， 那么 ， ， 成公差为 的等差数列.。,特别地，,4前n项中所有奇数项和与所有偶数项和问题,5.从等差数列的某一项开

5、始，每间隔相同数目的 项抽取出来的项按照原来的顺序仍排成等差数列。,6.几个等差数列的线性组合仍为等差数列,【题型1】等差数列的基本运算,例题：等差数列an中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求a14,二、【题型剖析】,解：法一 由已知可得，a1 + d = 10 a1 + 5d = 26 ,-得：4d = 16 d = 4 把d = 4 代入得：a1 = 6,a14 = a1 + 13d = 6 + 134 = 58,解：法二、 由性质， 得： a6 = a2 + 4d, 26 = 10 + 4d d = 4,a14 = a6 + 8d = 26 + 84 = 58,【题型1】等差数列的

6、基本运算,练习1：等差数列an中，已知a 1= ，a 2 + a 5 =4 a n = 33，则n是 ( ),解：,把 代入上式得,解得：,【题型2】等差数列的前n项和,【题型2】等差数列的前n项和,3.等差数列an中, 则此数列前20项的和等于（ ）,解： , + 得：,【题型3】等差数列性质的灵活应用,二、【题型剖析】,例题：已知等差数列an , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8,a5+ a8 =18,【题型4】等差数列性质的灵活应用,练习：已知等差数列an中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于 （ ）,【题型4】等差数列综合应用,二、【题型

7、剖析】,(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为： a,a+d,a+2d(a0,d0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， a=3d(a=-d舍去)， 直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， 它们的比为3:4:5.,练习: (一题多解) 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.,方法2. 设三边分别为：a-d,a,a+d(ad0), 由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2， 即a2-4ad=0, a=0(舍去)或a=4d. 三边为：3d,4d,5d. a:b:c=3:4:5.,三、实战训练,3、

8、已知等差数列an。若a10 = 30，a20 = 50 Sn=242, 求 n,1、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为15，则前30项和为（ ）,3、在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为15，则前30项和为（ ）,解；由性质3可得 成等差数列,即 成等差数列,即,三、实战训练（答案）,由定义可知，数列为等差数列,解：由已知易得：,三、实战训练（答案）,2、在等差数列an中，前15项的和 则 为（ ）,解：,三、实战训练（答案）,三、实战训练（答案）,1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( ),解：,复习课:等比数列,1.定义：an/

9、an-1=q（ q为不等于零的常数）（n2）,3.等比数列的通项变形公式： an=amqn-m,2.等比数列的通项公式：an=a1qn-1,8.等比数列的前 项和公式:,或,a1、q、n、an、Sn中,知三求二,9.性质: 在等比数列an中,Sn是它的前n项和, 那么有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比数列.,n+1,判断是非,n,点 击,若 且 ,则,c21,2,n,新课讲授:,已知,是等比数列，请完成下表：,例1,解：,?,已知,是等比数列，请完成下表：,例2,解：,已知,是等比数列，请完成下表：,a1、q、n、an、Sn中,例3,知三求二,例3 求等比数列 的第5项到

10、第10项的和.,【解法1】,例4. 已知等比数列an的前 m项和为10， 前 2m项和为50，求它的前 3m项的和。 解: 在等比数列an中,有:,Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比数列. 所以,由 (S2m-Sm)2=Sm (S3m-S2m)得: S3m=210,求数列 的前n项的和.,拓展1,分组求和,反思,解:,求和：,拓展2,(2)当 ，即 时,原式=,数列实际应用 举例,某林场第一年造林 0.5km2，以后每年比上一年多造林0.1km2，问6年后林场共造林多少？ 解：依题意，林场每年造林数成等差数列 an ， 其中 a 10.5，d0.1，n6. 所以 S60.56

11、+ 0.1 4.5 即6年后林场共造林4.5km 2,探索,某种卷筒卫生纸绕在圆柱形纸筒芯上，空纸筒芯直径40mm，满筒时直径120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满筒时卫生纸的总长度大约是多少米？,探索,解：,卷筒上纸的厚度为6020=40(mm)，,纸绕了400.1=400(圈),从里往外，每一圈的长分别是： 40.2；40.4； ；120. 这是首项是 40.2，公差为0.2，400项的等差数列. 纸的总长= 40.2 + 40.4 + + 120，,100.6(m),所以，纸的总长大约为100.6米.,某种电子产品经过3次降价，单价由原来的174元降到58元，这种产品平均每次降

12、价的百分率是多少？,解：设平均每次降价的百分率是x，则每次降价后的单价是原价的(1x)倍 将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列， 其中a1174，a458，n4，q1x ，,由等比数列的通项公式，得 58174(1x)41 整理，得 (1x)3 1x 0.693 因此，x10.69331% 即这种电子产品平均每次降价的百分率约为31%,探索,解 ：设每年他存入x元， 一年后存的本利和为 x(1+5%)， 两年后的本利和为 x(1+5%)+ x(1+5%)2， 5 年后的本利和为 x(1+5%)+ x(1+5%)2 + x(1+5%)5 这是首项为x(1+5%)，公比为(1+5

13、%)，共5项的 等比数列.,某人为了5年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为5%，按复利计算，为了使5年后本利共有10万元，问他每年约需存多少钱？（精确到元）,探索,依题意，列方程得 x(1+5% )+ x(1+5%)2 + x(1+5%)5 = 100000 即 1.05 x = 100000 解此方程，得 x 17236 元 所以每年约需存入 17236 元,解 ：设每年他存入x元，,探索,某人为了5年后能购买一辆车，准备每年到银行去存一笔数额相同的钱假设银行储蓄年利率为5%，按复利计算，为了使5年后本利共有10万元，问他每年约需存多少钱？（精确到元）,归

14、纳,解决数列实际问题的步骤是： 读题，确定数列类型； 寻求已知量，确定所求量； 选择公式列式； 解答； 写出答案,某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？,思考,“神舟八号”发射成功！ 发射现场负责人立即给10个人发出短信：,试问最多有多少人收到了短信？,负责人发出的10条短信接收者的x值均为1，以后每一位收到短信后将x值都增加1，再将短信发出据统计，所发短信中x的最大值为10,思考,洗衣机用清水漂洗衣服时，每次可以漂去污物的80%，要使残留的污物不超过原来的2%，问至少应该漂洗几次？,思考,例6从盛满 升（ ）纯酒精的容器里倒出1 升，然后

15、填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去问第 次操作后溶液的浓度是多少?若 ，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于 ？,分析：这是一道数学应用题解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是 .操作二次后溶液浓度是 ,，操作n次后溶液浓度是 .则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的,有关等比数列的应用题,解：设每次操作后溶液浓度为数列 ，则问题即为求数列的通项 依题意，知原浓度为1， ， ， 构成以首项 ，公比 的等比数列， 所以 ， 故第n次操作后酒精浓度是 当 时， 由

16、，得 . 因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于 ,注：数学应用问题的解答步骤： 一、通过阅读，理解题意，建立数学模型； 二、通过解决数学问题，解决实际问题； 三、回答实际问题,例7某人年初欲向银行贷款10万元用于买房。已知有以下两种还款方式： （）等额本息还款法：分10次等额归还，年利 率为4%，按复利计算，每年年初还款一次； （）等额本金还款法：每年年初还本金1万元，并加付欠款的利息，年利率为5%； 请问：他用哪一种还款方式比较合算？,(1) 解法1: 设每年还款m元 . 1051.0410 = m (1+4%)9 + m (1+4%)8 + m (1+4%)7 + + m = m (

17、1.049 + 1.048 + 1.047 + + 1.04 +1) = 解得 m = 12330 (元) 即每年需还款12330元.实际房款为1233010=123300元,(2)设每年交付欠款的数额顺次构成数列an，故 a1=104+1050.05=15000(元) a2=104+(105-104) 0.05=14500(元) a3=104+(105-1042) 0.05=14000(元) a4 =104+(105-1043) 0.05=13500(元) an =104+105-104 (n-1) 0.05=15500-500n (1n10,nN) an 是以15000为首项,-500为公差的等差数列. 10次分期付款总和为 (元),(比较两种还款法的具体情况):,应选择(),