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1、1.1.3四种命题间的相互关系,一、四种命题的相互关系,p,q,q,p,思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对? 提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对.,二、四种命题的真假关系 1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:,真,真,假,真,假,真,假,假,2.四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为_,它们有相同的真假性. (2)两个命题为_或_,其真假性没有关系. 判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个互逆命题的真假性相同.() (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.() (3)对于一个命题的四种命题,可以一
2、个真命题也没有.(),逆否命题,互逆命题,互否命题,提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若01,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)(2)(3),【知识点拨】 1.对四种命题相互关系的两点认识 (1)四种命题中,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称特征. (2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,记原命题为a、逆命题为b、否命题为c、逆否命题为d,
3、四种命题中共有6对命题:a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d.,它们之间的关系为:,2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也是反证法的一种变通形式.,类型一 四种命题的相互关系 【典型例题】 1.下列四个命题: “若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题; “若ab,则a
4、2b2”的逆否命题; “若x-3,则x2-x-60”的否命题; “对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3,2.判断命题“如果m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假. 【解题探究】1.写四种命题的关键是什么? 2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系? 探究提示: 1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题的条件和结论. 2.一个命题与它的逆否命题同真同假.,【解析】1.选B.否命题:若x+y0,则x,y不互为相反数,真命题.逆否命题:若a2b2,则ab,假命题.否命题:若x-3,则x2-x-60,假命题.逆命题:相等的两个角
5、是对顶角,假命题.故选B.,2.方法一:m0,4m0,4m+10, 方程x2+x-m=0的判别式=4m+10. 方程x2+x-m=0有实数根. 原命题“如果m0,则x2+x-m=0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.,方法二:原命题“如果m0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“如果x2+x-m=0无实数根,则m0”. x2+x-m=0无实数根,=4m+10, m- 0, 命题“如果x2+x-m=0无实数根,则m0”为真.,【拓展提升】判断四种命题之间四种关系的两种方法 方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可
6、以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.,【变式训练】下列命题中为真命题的是() A.命题“若xy,则x|y|”的逆命题 B.命题“若x1,则x21”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x20,则x1”的逆否命题 【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.,【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x|y|,所以x0”.当y0时,xy;当y-yy,所以xy.命题“若xy,则x|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x21,则x1”,是假
7、命题.因为x21,所以x1;选项C:它的否命题是“若x1,则x2+x-20”.因为x1时,x2+x-2可以为0,所以是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.,类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用 【典型例题】 1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是命题(填真、假). 2.判断下列命题的真假,并说明理由: (1)若x29,则x3. (2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a2.,【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点? 2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理? 探究提示: 1.命题的条件和结论都是否定的形式. 2.当直接判
8、断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.,【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原命题是真命题. 答案:真,2.(1)原命题:若x29,则x3; 逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题. (2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a2; 逆否命题:若a2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根. 若a2,则-a-2,=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)0, 所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假命题, 所以原命题为假命题.,【互动探究】若题2
9、(2)的命题变为: 若a1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的真假? 【解析】命题“若a1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根”的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则a1”,由于=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)0,得a1,故原命题是真命题.,【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.,【变式训练】判断下列命题
10、的真假,并说明理由: (1)不内接于圆的四边形的对角不互补. (2)若a+b0,则a,b至少有一个小于0. 【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真命题. (2)“若a+b0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若a0,b0,则a+b0”,真命题,所以原命题是真命题.,【规范解答】等价命题在证明中的应用 【典例】,【条件分析】,【规范解答】证明原命题的逆否命题成立, 原命题为“若p3+q3=2,则p+q2”, 其逆否命题为“若p+q2,则p3+q32”. 证明如下:2分 若p+q2,则p2-q,3分 p3 (2-q)3
11、,4分 p3+q3(2-q)3+q3.6分 又(2-q)3+q3 =(8-12q+6q2-q3)+q38分 =6q2-12q+8 =6(q-1)2+22.10分,p3+q32, 即p3+q32,11分 这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.正难则反思想的应用 若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题的真假来说明原命题的真假. 2.不等式性质的应用 不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问题时要灵活应用,如本例中由ab可推出a3b3(但由ab不一定推出a2
12、b2).,【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数. 【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都是奇数,则a2+b2c2”为真命题. a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2c2. 原命题的逆否命题为真命题,原命题成立.,1.与命题“若mM,则nM”等价的命题是() A.若mM,则nM B.若nM,则mM C.若mM,则nM D.若nM,则mM 【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.,2.给出命题:若函数y=f(x)是
13、幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0,【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这个函数是幂函数,假命题. 否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假命题. 逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数,真命题.,3.“若tan= ,则=60”的否命题是, 否命题是命题(填真、假). 【解析】“若tan= ,则=60”的否命题是 “若tan ,则60”,是真命题. 答案:若tan ,则60真,4.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为,是命题(填真、假). 【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为“10的常用对数是1”,是真命题. 答案:10的常用对数是1真,5.写出命题“设x为实数,若x0,则x20”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:设x为实数,若x20,则x0,逆命题为假命题; 否命题:设x为实数,若x0,则x20,否命题为假命题; 逆否命题:设x为实数,若x20,则x0,逆否命题为真命题.,