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1、第三节 差分方程,差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k）及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值解。,对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)有关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)有关。可以把这种关系描述如下：,n系统的阶次 k系统的第k个采样周期,线性定常系统差分方程的一般形式,差分方程的定义:,差分方程的物理意义,1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的关系。 2.通常
2、，若系统的连续部分是一个 n 阶的线性环节，则构成离散系统时，其相应的差分方程也是 n 阶的线性差分方程。 3. 一个n 阶差分方程中，一般包括有n 个过去采样瞬时的输出值。,典型的采样系统,差分方程的 求解方法,迭代求解,迭代法求解示例,例题：若描述某离散系统的差分方程为：,已知初始条件:,求:,解： 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 得： 对于 类似的依次迭代可得：,迭代法的 特点,思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。 2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。,直接求解差分方程是比较困难的，因此考虑到：能否借用类似于拉斯变换的数学方法来简化方程求解？,第四节
3、Z 变换,引入变量：,或者写成：,S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换：Zf*(t) = F(z) F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。,Z 变换的实质,将差分方程转为代数方程，简化求解过程。 复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。,级数求和法 部分分式法 留数计算法,4.2 Z 变换的方法,1. 级数求和法,将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变换， F *(t) =,可得：F (z) = f(0) 1 + f (T)
4、Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n,例 8-1 见教材339页 例题841.,例 8-2 求 的 F(Z),见教材339页例题842,例8-3 求解 的 Z 变换 。,2. 部分分式法,当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。,见教材339页例题843,例8-4 求,设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换.,当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:,当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:,4.2.3 留数计算法,例8-4-5 求,的Z变换,解:,解:,两阶重极点!,例87,下表列出了一些常见函数及其相应的 La
5、place 变换 和 Z 变换，利用此表可以根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。,常用函数的 Z变换（见教材341页表841）,1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理,4.3 Z 变换的基本定理（p342）,1、线性定理,设：,则：,函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。,2、滞后定理,设在t0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:,原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周
6、期。,3、初值定理,设函数f(t)的Z变换为F（z），并且,存在，则,4、终值定理,设函数f(t)的 Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有,经常用于分析计算机系统的稳态误差！,5、超前定理,设函数f(t)的 Z变换为,则：,若,则：,6、复数偏移定理,设函数f(t)的Z变换为F（Z），则,长除法（幂级数展开法） 部分分式法 留数法（反演积分法）,4.4 Z 反变换,Z 反变换是: 已知 Z 变换表达式 F(Z) f (nT) 的逆过程.,要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展开形式。,4.4.1 长除法（幂级数法）,Z反变换为:,也即：,
7、例88 求,的Z反变换,解：,步骤：先将变换式写成,，展开成部分分式，,查Z变换表,两端乘以Z,4.4.2 部分分式法（因式分解法，查表法）,例89 求,的Z反变换,解：,函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数,曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线,若 Zi为一重极点:,若 Zi为q重极点:,3.留数法 （反演积分法）,例810 求,的Z反变换,解：,有两个一重极点,例811 求,的Z反变换,解：,有一个两重极点,用 Z 变换 解二阶差分方程,用 Z 变换法求解下列二阶差分方程：,对上式两边取 Z变换，得,代入初始条件，得,查表，得,用 Z 变换法求解下列二阶差分方程：,根据
8、 Z变换的定义有：u (n)=1 对上述差分方程进行Z变换，代入初始条件，得： （Z2 - 3Z + 2 )C (z) = 1,查表无法获得上面两个分式对应的值，但是因为：,根据 Z变换的性质有： c(n+1)= Z c(z) - zc(0), C(n+1) = -1 z C(z)-1 zC(0) 在现在的情况下: c(0)=0, 于是有： c(n+1) =,最后得：,在连续量的系统中，采用了Laplace变换求解微分方程，并直接定义了传递函数，成为研究系统的基本工具。 在采样系统中，连续量变成了离散量，将Laplace 变换用于离散量中，就得到了Z变换。 和拉斯变换一样，Z变换可用来求解差分方程，定义的Z传递函数（脉冲传递函数）成为分析研究采样系统的基本工具。,