Excel与化工最优化问答.ppt

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1、,计算机在化学化工中的应用 八 Excel与化工最优化问题,本节要点,本章背景 最优化 线性规划 非线性规划 作业,问题的提出-最优化问题,精馏塔回流比最优化,管道保温层厚度最优化,1 化工最优化问题,化工最优化问题,通过调整化工过程中各单元设备的结构、操作参数等决策变量，使得系统的某一目标或多个目标（经济指标、环境、安全、效率等）达到最优,厂址选择 拟采用的工艺和规模优化 设备设计和操作参数优化 管道尺寸的确定和管线布置 维修周期和设备更新周期的确定 最小库存量的确定 原料和公用工程的合理利用等,最优化问题的标准形式,最优化问题的标准形式 式中 w决策变量向量 x状态变量向量 h等式约束方程

2、 g不等式约束方程,化工最优化中几个概念,目标函数 优化变量 决策变量 状态变量 约束 等式约束 不等式约束 可行域,满足全部约束的决策变量取值方案集合,约束是由于各种原因施加于优化变量的限制，确定了变量之间必须遵循的关系。如物料、热量平衡、相平衡等,优化变量即最优化模型中涉及的全部变量向量。决策变量是可以独立变化以改变系统目标函数取值的变量，系统中的决策变量个数等于系统的自由度；状态变量是决策变量的函数，其值不能自由变化，而服从于描述系统行为的模型方程,又称性能函数、评价函数：用于定量描述最优化问题所要达到的目标的函数。常见的目标函数有：成本、效益、能耗、环境影响、总生产时间等,最优化问题的

3、分类,按照最优化问题的目标分类 结构优化 参数优化 根据最优化问题有无约束分类 无约束优化 约束优化 根据目标函数和约束条件的特性分类 线性规划 非线性优化,线性规划与非线性优化,线性规划 目标函数及约束条件均为线性函数 混合整数线性规划 非线性优化 目标函数或约束条件中至少有一个为非线性函数 二次规划：目标函数为二次函数，约束条件为线性关系的最优化问题 混合整数非线性规划,2 线性规划,2.1 线性规划的基本理论,线性规划的标准形式 数学形式 矩阵形式,线性规划模型的标准化-1,目标函数的标准化 求最大值问题，可令 将自由变量转化为非负变量 对于无非负限制的自由变量xk，可变换为两个非负变量

4、的差的形式,线性规划模型的标准化-2,把不等式约束转化为等式约束 对于小于等于型不等式 引入松弛变量 ，将不等式化为 对于大于等于型不等式 引入剩余变量 ，将不等式化为,例8-1,将如下线性规划模型转化为标准形式 目标函数：max J=7x1+12x2 约束方程：3x1+10 x230 4x1+5x220 9x1+4x236 x10，x20,例8-1解答,解：根据上述规则，转化后的标准形式为 目标函数： min J= -7x1 - 12x2 约束方程： 3x1+10 x2+x3=30 4x1+5x2+x4=20 9x1+4x2+x5=36 x10，x20，x30，x40， x50,线性规划问题

5、的解,将线性规划问题标准数学模型写为矩阵形式 式中 C=(c1,cn)是n维系数向量 A为由系数aij组成的mn矩阵 b=(b1, ,bm),定义,从A的列向量中选出m个线性无关的列组成m阶矩阵，用B表示，B称为问题的一个基， ，B中的向量称为基向量。 由A中的剩余列向量构成 ，N中的向量称为非基向量。即A=(B,N) 相应的，把X分解为 将 称为关于基B的基本解 若B-1b0，称B为可行基，称 为关于可行基B的基本可行解 将目标函数的系数向量C分解为 ，其中,两个定理,定理1 （最优性判别定理） 线性规划问题的基B，若有B-1b0，且C-CBB-1A0 ，则对应于B的基本可行解 是线性规划问

6、题的最优解，称为最优基本可行解，基B称为最优基 定理2 对于具有标准形式的线性规划问题 若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解 若存在一个最优解，则必存在一个最优基本可行解,2.2 线性规划问题求解,图解法 采用作图的方式获得规划问题的可行域和目标函数的最优解 适用于涉及变量和约束较少的线性规划问题 单纯矩形法 目标函数的最小值（或最大值）一定可在基本可行解中获得 通过多次矩阵运算，获得线性规划的最优解 Excel，Matlab，Lingo，Gams,例8-2 图解法,用图解法求解下列线性规划问题：,例8-2 解答,最优解A点坐标为（2，3），该问题的最优解为 ，,2.3 Excel的规划求

7、解工具,Excel软件提供了求解一般规模数学规划问题的“规划求解”工具 该工具具有界面友好、操作简单、与Excel无缝集成等优点 可用于化学化工常见中、小规模线性规划、非线性规划、整数规划问题的求解,Excel提供的规划求解工具对模型规模有一定限制：求解模型的决策变量数不超过200个。当“规划求解选项”对话框中的“采用线性模型”复选框处于选中状态时，对约束条件的数量没有限制；而对于非线性问题，每个可变单元格除了变量的范围和整数限制外，还可以有最多达100个约束条件,规划求解工具的加载-2003,规划求解工具的加载-2007,Excel规划求解工具的使用步骤,启动规划求解工具 设置目标单元格，指

8、定目标单元格及求解模式 Excel支持的求解模式有：最大值、最小值、或目标单元格等于某一给定值 设置可变单元格，即指定代表决策变量的单元格 Excel将通过改变可变单元格中的数值使目标单元格达到最大、最小或给定值 添加规划模型的约束条件，完成模型的输入 调整规划求解选项，设定优化算法及相应参数 运行规划求解，获得结果,2.4 Excel的应用求解,例8-3 某公司生产两种型号的汽油，其性能指标和销售价格见下页。该公司可供生产汽油的原料性能指标和库存量见下页。生产的汽油可在一周内成功售出，没有用完的原料可以作为燃料油以每桶8美元的价格出售。若汽油产品的蒸汽压力和辛烷值可根据其调和组分的相应性质加

9、权平均计算，请给出使得该公司的销售收入最大化的最佳生产方案。,例8-3 条件表,汽油产品的性能指标和销售价格,原料的性能指标和可用量,例8-3 问题分析,为化工生产中常见的产品调和问题，先建立该问题的数学模型，再使用Excel进行求解 目标是销售收入最大化，写出目标函数 式中 Income为销售收入 q1, q2, q3分别为80#汽油、100#汽油、燃 料油的生产数量（桶） p1, p2, p3分别为80#汽油、100#汽油、燃料 油的销售单价（$/桶）,例8-3 物料平衡约束,使用变量xij代表第i种原料用于生产第j种产品的数量（桶） i=1, 2, 3分别代表催化裂化汽油、异戊烷和直馏汽

10、油 j=1, 2, 3分别代表80#、100#汽油和燃料油 物料平衡约束,例8-3 各类约束,1.蒸汽压限制 2.辛烷值限制 3.变量非负约束,例8-3 Excel求解步骤,打开Excel，建立新工作表，输入公式,例8-3 Excel求解步骤-1,1. 打开规划求解窗口,例8-3 Excel求解步骤-2,2. 设置目标单元格 3.设置可变单元格 4.约束的输入,例8-3 Excel求解步骤-3,5.设置规划求解选项,例8-3 Excel求解步骤-4,6. 运行规划求解,例8-3 Excel结果分析-1,1. 将xij四舍五入为整数,例8-3 Excel结果分析-2,2. 整数规划 按照与前面相

11、同的步骤输入规划求解模型 增加整数约束 设置规划求解选项,例8-3 Excel结果分析-3,整数规划的运行结果,3 非线性规划,非线性规划问题简介,非线性规划是目标函数或约束中存在非线性关系的规划问题 求解方法 解析法 数值法,又称间接最优化方法，适用于目标函数及约束条件有显函数表达的情况，用导数法或变分法求解（如微分法、变分法、拉格朗日乘子法、庞特里亚金最大值原理等）,又称直接最优化方法或优选法。不需目标函数为显函数表达式，利用函数在某一局部区域的性质或在一些已知点的数值，通过多次的迭代、搜索，逼近最优解,3.1解析法求解非线性规划问题,无约束最优化问题的解析求解方法 对于多元函数 ，若其所

12、有的一阶 导数 存在，则函数f(x)极值存在的 必要条件为： 若其某个点上所有二阶偏导数 均存在，定义其Hessian矩阵为,无约束最优化问题求解,定义行列式 得到的一组数值D1,D2,Dn称为H矩阵的主子式 a 该点为极小值的充分条件：Hessian矩阵为正定，即所有的Di0 b 该点为极大值的充分条件为：所有偶数行列式为正，而所有奇数行列式为负。即,无约束最优化问题求解步骤,无约束最优化问题 1.求解以下非线性方程组获得极值点 2. 根据Hessian矩阵判断极值点的性质 若满足条件a，则该点为最小值 若满足条件b，则该点为最大值,经典求解方法的缺点为,对于复杂的问题，非线性方程组的求解和

13、Hessian矩阵的计算十分困难 获得的解可能是局部极值，而非全局最小或最大值 经典方法只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用 实际问题中，最优值往往出现在导数不连续之处，如可行域的边界上,有约束最优化问题经典求解法,有约束最优化问题的解析解法 拉格朗日乘子法 罚函数法,经典求解方法的缺点：对于复杂的问题，非线性方程组的求解和Hessian矩阵的计算十分困难；获得的解可能是局部极值，而非全局最小或最大值；经典方法只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用，实际问题中，最优值往往出现在导数不连续之处，如可行域的边界上,拉格朗日乘子法,对于有m个等式约束的最优化问题 通过引入拉格朗日

14、函数 把有约束问题转化为无约束问题 式中称为拉格朗日乘子。则其最优解为以下非线性方程组的解,罚函数法,对于有m个等式约束的最优化问题 引入惩罚因子kj将目标函数f 转化成带罚函数的目标函数F(x) 当kj时，函数F(x)的解即为上述规划问题的解,罚函数法求解函数F(x),罚函数法求解函数F(x)最小值的计算步骤 a 给定初始点x0及一个适当的惩罚因子k b 求F(x)的最小点x1，若x1可接受，则计算结束，否则转向c步 c 设k增大的倍数为a (a1)，用ak代替原来的k，作为新的惩罚因子，以x1为起始点，返回b步,一般来说，罚函数法是一种有效的求解方法，其缺点为： 把罚函数引入目标函数可能引

15、起二阶导数不连续，因此用梯度法来搜索最小值时会发生困难。这种方法是从不可行区域逐步收敛到解的，要求允许计算目标函数在不可行区域的值。对于复杂的模型可能会导致计算失败,3.2 非线性规划问题的数值求解,目前没有一种适于求解各类非线性规划问题的优化方法 常用的求解方法 逐次线性规划法 逐次二次规划法 简约梯度法 对于一般规模的非线性规划问题，可用Excel的规划求解工具进行求解,使用Excel求解非线性规划问题,例8-4：烃类首先进行压缩并和蒸汽充分混合后进入一烃类催化反应器，如图8-18所示。反应后的产物和未反应的原料通过蒸馏进行分离，使未反应的原料再循环使用。设原料加压所需的费用为每年1000

16、p元（p为操作压力），将原料和蒸汽混合并送入反应器的输送费用为每年4109/pR元（R为循环比）。又设分离器将产物分离所需费用为每年105R元，未反应的原料进行再循环和压缩的费用每年为1.5105R元，每年的产量为107kg a 试求最优的操作压力p和循环比R，使每年的总费用为最小；b 若需满足pR=9000，试求最优的p和R,例8-4 工艺流程图,例8-4 解答-a,解：a. 目标函数，为各项操作费用之和 p，R应满足 p0, R0 使用Excel规划工具求解,例8-4 解答-b,b：使用Excel规划工具求解,作业,1-题目,CompuQuick公司生产两种型号的计算机：Standard和

17、Turbo。每出售一台Standard计算机可获利100元，每出售一台Turbo计算机可获利150元。CompuQuick公司的Standard生产线每天最多可生产100台计算机，Turbo生产线每天最多可生产120台计算机。每生产一台Standard计算机需要1个工时，每生产1台Turbo计算机需要2个工时。公司的劳动力每天最多可提供160个工时,1-问题,(a)如何安排生产可实现利润最大？ (b)如劳动力不够，可外购工时。价格为20元/工时，外购工时最多不超过60，此时应如何安排生产最优？ (c)Turbo生产线可用于生产Standard计算机。只是效率略低，每生产一台Standard计算机需1.2个工时，此时应如何安排生产？,2-问题,Wireless Widget公司有6个货栈向8个销售商供应小装饰品。每一个货栈的供应量都是有限的，每一个销售商的需求量都需得到满足。公司的运输成本与货栈到销售商之间的距离成线性关系，为0.01元/件公里。详细数据见下表，如何安排运输可使总运输费用最低？,2-条件图,装饰品运输距离（公里）,装饰品需求数据,装饰品供应数据,3,已知某炼油厂各中间产品数量、辛烷值见下表，若93号汽油价格为1979.91元/吨，90号汽油价格为1839.74元/吨，MTBE价格为2000元/吨，应如何安排生产，使利润最大？设辛烷值服从线性调和规律,The End,