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1、-万有引力导学案-第 12 页万有引力导学案【考纲要求】主题内 容要求说明万有引力定律万有引力定律及其应用环绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度经典时空观和相对论时空观经典时空观和相对论时空观只是了解【考点解读】从近几年高考考纲来看，万有引力应用、人造卫星依然为命题热点.解决这类问题，主要考查天体的形成和天体的运动；人造地球卫星的发射、运行、变轨、对接和回收；地球的自转；三种卫星的比较；在外星球表面进行的各种实验活动及力学规律的综合应用.题型既有选择题，又有计算题，考查基本概念和基本规律多以选择题出现，主要考查万有引力应用和卫星问题.即：（1）分析确定行星或卫星运动的圆心和轨道半径：绕恒星运行的行
2、星及行星的卫星的运动均可视为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。（2）地球（或外星球）表面附近的重力等于地球对物体的万有引力，即mg；（3）在卫星变轨问题中应用动能定理、动量守恒定律和能量守恒定律.【本章知识体系】 开普勒三定律 万有引力定律 万有引力 三种宇宙速度人造卫星 各种人造卫星 卫星变轨问题 随地球自转重力与万有引力的关系 不考虑自转第一节 万有引力的基本概念【开普勒三大定律】1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基础上，通过四年多的刻苦计
3、算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是 ，太阳则处在这些椭圆轨道的一个 上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的 相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都 即【例题1】（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比，即，是一个对所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为，太阳的质量为.（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立.经测定月地距离为3.
4、84108m，月球绕地球运动的周期为2.36106s，试计算地球的质.（G=6.6710-11Nm2/kg2，结果保留1位有效数字）【万有引力定律】(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的 成正比，跟它们的 成反比，引力方向沿两个物体的 方向。公式： （1687年）叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测
5、定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m，有（式中RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到。(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于 的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，r是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F近为无穷大。注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：G在数值上等于质量均为1kg的两个质点相距1m时相互作用的万有引力【例题2】对于质量分别为m1
6、和m2的两个物体间的万有引力的表达式FG，下列说法中正确的是()A公式中的G是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的B当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大Cm1和m2所受引力大小总是相等的D两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力【例题3】牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律.在创建万有引力定律的过程中，牛顿（ ）A接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想B根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即的结论C根据和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出D根据大
7、量实验数据得出了比例系数G的大小【万有引力和重力】OONF心mF引mg甲1、重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，其方向与支持力N反向，应竖直向下，而不是指向地心。NoF引丙NF引o乙在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有FF向m2g，所以m2g=F一F向Gm2R自2 。物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力N是一对平衡力，此时物
8、体的重力mgNF引。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即mg 2重力加速度(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，Gmg，g.(R为星球半径，M为星球质量)(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：Gmg，g随着高度的增加，重力加速度逐渐减小【例4】)英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速
9、，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A108 m/s2 B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2【例5】假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A1B1+CD 第二节 万有引力的应用【天体质量和密度的估算】1解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤(1)两条线索万有引力提供向心力FFn.重力近似等于万有引力提供向心力(2)两组公式Gmm2rmrmgrmm2rmr(gr为轨道所在处重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表
10、面的重力加速度g和天体半径R.由于Gmg，故天体质量M，天体密度.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算由万有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天体质量M；若已知天体的半径R，则天体的密度；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度【例6】 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆
11、周运动，由Gm()2h得M.(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由如不正确，请给出正确的解法和结果(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果【例7】 已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )A6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时【例8】 一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上.已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )A.B. C.D.【对人造卫星的认识及变轨问题】1人造卫星的动力学特
12、征万有引力提供向心力，即Gmmr2m()2r2人造卫星的运动学特征(1)线速度v：由Gm得v ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小(2)角速度：由Gm2r得，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小(3)周期：由Gmr，得T2 ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大3卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动满足的公式：G.(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，
13、卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)图3【例9】2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径
14、分别为R1、R2，线速度大小分别为、。则等于A. B. C. D. 【例10】人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的倍后，运动半径为_，线速度大小为_。【例11】2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道 进入椭圆轨道 ，B为轨道 上的一点，如图3所示关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有()A在轨道 上经过A的速度小于经过B的速度B在轨道 上经过A的动能小于在轨道 上经过A的动能C在轨道 上运动的周期小于在轨道 上运动的周期D在轨道 上经过A的加速度小于在轨道 上经过A的加速度【例12】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地
15、面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要多次进行 “轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是A动能、重力势能和机械能都逐渐减小B重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变D重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星】1环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v 7.9 km/s，通常称为第一宇宙速
16、度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ，其大小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大2地球同步卫星特点(1)地球同步卫星只能在赤道上空(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期(3)地球同步卫星相对地面静止(4)同步卫星的高度是一定的【例13】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为
17、7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A0.4 km/s B1.8 km/s C11 km/s D36 km/s【例14】甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是（ ）A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方【例15】同步卫星传送.如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8105m/s，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线
18、电信号传播速度为3x108m/s）（ ）【例15】设同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是 （ ）A= B= C= D=第三节 万有引力综合应用【双星问题】宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。由
19、于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=m2r可得，于是有m1m2r1r2O列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆【例16】月球与地球质量之比约为180.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为()A16 400 B180C801 D6 4001【例17】如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球
20、A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧.引力常数为G.(1)求两星球做圆周运动的周期.(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2.已知地球和月球的质量分别为5.981024kg 和 7.35 1022kg .求T2与T1两者平方之比.（结果保留3位小数）【万有引力定律与抛体运动的结合】【例18】 在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该
21、物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知)则根据这些条件，可以求出的物理量是()A.该行星的密度B.该行星的自转周期C.该星球的第一宇宙速度D.该行星附近运行的卫星的最小周期【卫星的追击问题】【例19】如右图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（BD）。A经过时间t=T2+T1，两行星将第二次相遇B经过时间，两行星将第二次相遇经过时间，两行星第一次相距最远D经过时间,两行星第一次相距最远【例20】A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行
22、方向相同，A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，已知恒星质量为，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r1r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求：（1）再经过多少时间两行星距离又最近？（2）再经过多少时间两行星距离最远？【随堂练习】1 2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟下列判断正确的是()A飞船变轨前后的机械能相等B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同
23、步卫星运动的角速度D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度2某同学通过Internet查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知()A“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小B“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小C“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低D“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小3 “嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度的表达式为(k为某个常数)()A BkT C DkT24如图4所
24、示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动则()A飞船在轨道上的运行速度为B飞船在A点处点火时，动能增加C飞船在轨道上运行时通过A点的加速度大于在轨道上运行时通过A点的加速度D飞船在轨道绕月球运行一周所需的时间为2 5随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空
25、间对接所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是()A“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号”B“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会C“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度D“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力6 1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元如图5所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则
26、()图5A卫星在M点的势能大于N点的势能B卫星在M点的角速度大于N点的角速度C卫星在M点的加速度小于N点的加速度D卫星在N点的速度大于7.9 km/s7为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力9.(2009北京理综22)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T的表达式