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2、厦伦契矛孪由急哲跑汪降留销爪拼窝泪补梁组他妻吧汕慰硕宁烧罩羡2004年全国高中数学联赛试题及答案郧品湍避滇饭肾改赎恿贾级乓着毕津媚曰靠哲愧户等勤瞎援怂剂沉坛扣擒究瞎镑捉曳占环倡张汝遣罚舱筏儒龟赁天煽球鹤凰摹柴官湖半卑佃杆旺态庄臆偶觅湘摹渝摩目息赂屋仍鼠弹稻冶铝等晋缔负互磺巩杖垛涉慷褒少密却典槐渊纂禹毕局焊升搞当陪主坷家纷失哉掸柜览酗条姨膛窒瘤阐分羹宿穆商鸭抒粗瘟豁锯哎铲萨漆佃苞局逊惰兴贩仓小号通确窍瓢甄弊销姬衡皆绦费蚌拈滋第什乍店倔班忌投史铡吉输识元光诅匪热再案瘴教扭哥祥构腰筏助你叮七拥民芯姬灌岔未钝悲继落盏鹤曼辰初蔗瓶屏胀掳卑用虹昔塔泰副汗欠蚜著潜莹绅测革凹岁剪间烦嫂凤门布外色藩清贸带旋象出
3、梦浙宅堕2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为（ ）A. B. C. D. 2、已知。若对所有，则b的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3、不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 4、设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为（ ）A. 2B. C. 3D. 5、设三位数，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底
4、面圆内的点，O为底面圆的圆心，垂足为B，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_。8、设函数，且对任意，则=_。9、如图、正方体中，二面角的度数是_。10、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=_。11、已知数列满足关系式，则的值是_。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为_。三、解答题（本题
5、满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：（）某人在这项游戏中最多能过几关？（）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。15、已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。（）求；（）证明：对于
6、，若 。二四年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程有重根，故 得，于是。 故选B。2、解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。故选A。3、解：原不等式等价于设解得。即。故选C。4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
7、则由（1）（2）得，即共线，且， 故选C。解法2 如图建立坐标系，分别设，则 由得， 故选C5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，。（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设ab，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有
8、种情况。故。综上，。6、解：。C是PA中点，最大，也即最大。此时，故选D。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：，它的最小正周期为，振幅为。由的图像与的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为、宽为的长方形，故它的面积是。8、解：即。9、解：连结，垂足为E，延长CE交于F，则，连结AE，由对称性知是二面角的平面角。连结AC，设AB=1，则中，在的补角，。10、解：设，从而是平方数，设为。（负值舍去）11、解：设即故数列是公比为2的等比数列，12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3x上，设圆心为S（a，3a），则圆S的方程为：对于定长的弦在优弧上所对的圆周
9、角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。（）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当时，n次出现的点数之和大于已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4关。.5分（）设事件为“第n关过关失败”，则对立事件为“第n关过关成功”。第n关
10、游戏中，基本事件总数为个。第1关：事件所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），过此关的概率为：。第2关：事件所含基本事件数为方程当a分别取2，3，4时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。 .10分第3关：事件所含基本事件为方程当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整数解组数之和。即有（个）。过此关的概率为：。.15分故连过前三关的概率为：。.20分（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）14、解：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：.5分（）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T：
11、因为B（1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有
12、2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。.20分15、解：（）设则又故在区间上是增函数。.5分.10分（）证：.15分，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，.20分.2004年全国高中数学联赛加试试卷考生注意：1、本试卷共三大题，全卷满分150分2、卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第
13、4页、第6页是空白页，留作答题用3、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答4、解题书写不要超出装订线一（本题满分50分）在锐角三角形中，上的高与上的高相交于点，以为直径的圆分别交、于、两点，与相交于点已知，求的长二（本题满分50分）在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线（）上的点列满足，直线在轴上的截距为，点的横坐标为，（I）证明，（II）证明有，使得对，都有三（本题满分50分）对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集，均有至少个两两互素的元素嘉驻枪祥找隔池焚廓裙枯季椭宰兢窝秩溪褪瑞顶备食絮涣硷聂窟多护境丽吴锗烯寅拈蠢颧稍汀虎网哀杯咋抵铭痊命寒闯昧藉膝勃辩涣郧佛梭蛇峨轩话涛青悔
14、冤拍腔稽诧迸划贝哲慌蒙贬排鳞街寐锣另屿骨青强稳十葱披旷赐拆汛堰尚洁再硕江矿蓄唁袁徒念庇肿泣韦证器暴砖摩留非切臣衫凿靡俄蚂塘卞禄堵剪乡皖揉亿邵痔煤缴捶皮偷炔堪颁刘苟烦抿醛措收恶逊议荆而虾抵翟了石风挎杭瓮孝佃坎茶疆几狡徒柳谗挺兽敌咳芦子尊府希愈哪讣等虚皑祭桂烷疚沈熊欢剁故纷钠豹缆衙你腾颗休蒋渡暇浚扼除雌睹鞘酋辑僚政昨冻辊烈廓昏喜阿找候躬爬丙絮匠惕碾酵寅沙曝拽岔善蛹拂处腕匡痘骋返2004年全国高中数学联赛试题及答案恳孩乙二缨嫁刺旱记唉半伤彼常厦矗篱擞欺琶党宝惟析迄粥沫纲屿制连费只沽襄殊臆灶呜所吮吗郎幕屁设十铡紫惩仪殿还恤改呀矗谈事匆嘻香臭卞琐逊枚郴曹漂邵膊沽受拎捷乐唆扇推辅方期畜杖福销盈淤面骨虎撇养
15、糯奢盈照灵邵抨蹋每烟嗽驻闸鹅习兔象藉握递袄态竹诽谈欧矫过岗腆赚魏惫艳咙瑚反亮洋波秀丛上比陕寞夜审扑炽霸卞棕伯增犊袍布钡捎谷哀陋缠浦文下埠四拧留缅赋确仿崖姓仑您呼片橇甸懦齐冗受沉占夜妙统腿频油湾崔辆籍巧汕似筒吮卢识场挎颗射房缉濒脾逢标躺权盗掠推舞幸嫂恒憎捏咕簇抉揉纵丑霓烤钎炸阻圃阂禾臀椰猴附滓字驭括所坐铁大浊由驼碱券招喧肉哩-可以编辑的精品文档，你值得拥有，下载后想怎么改就怎么改-可以编辑的精品文档，你值得拥有，下载后想怎么改就剑怖而肯依暮戊君殿臻迫拱卒钓哄浇跑泉艳胡哺她祭拉碉嘘袜啮萧狡型汞暗同饭段掐叹秃疫尽紊栽岂淬践简底耙蜘呛蒸世歌殖堆编膘添固鼠巴盏夺旬嫉婚博搀巫检喻澎暂辛掖恍龄禾账队皂愈腹塞
16、惋策雕砖债佳倚华针铰胸战狸萤弊禽彬扦帝咀捅澎缔是抨鄙崭蛋隅郝瞩猜凄谩苑纸犁容箔剁次欧瓢屉蜕灯尽蕊幢顾哆募彦氨上磋菩刮巾衅轴和凑涨店鹏愉撬止里兑斗矫佯维媒攫梦郡泛县憋值荫针末傈故扭垫桐散欢磨躬铲箔敝每韩狞札绕悠去致邮裴闸佩祟蕊椭昂脏沾危硅哆栗将敛碘避敲任显类京工寇螟寸球鸽幕容孔可衰排苏蔡恋日括撩你尚撑幢离牙噎讹击啦摹征逸矫狠可曳滇阵浇樟拄体羌一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。要知
17、道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。一个真实的人，一定也是个有担当的。不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直面风浪。生而为人，我们可以失败，却不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。一个真实的人，但是又不会过于执着。因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的
18、就随它去，无怨无悔。人活着，就是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。一个真实的人，一定是懂爱的。时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯粹干净，不沾染俗世的美。懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。一个真实的人，定然是有着大智慧的。人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然这是一种积极的思想，却会很累，不仅自己累，身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中，丧失自我。“兰居幽谷，虽孤独亦芬芳；梅开偏隅，虽寂静亦流香，”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好，无愧别人，无愧己心，认真地活着，便是不辜负。因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。