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1、-专题十二二次函数的几何意义(针对四川中考二次函数的几何应用)1(导学号14952507)(2017成都预测)如图，顶点为M的抛物线ya(x1)24与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)判断BCM是否为直角三角形，并说明理由；(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线ya(x1)24与y轴相交于点C(0，3)3a4，a1，抛物线解析式为y(x1)24x22x3(2)BCM是直角三角形，理由：由(1)有
2、，抛物线解析式为y(x1)24，顶点为M(1，4)，令y0，x22x30，x13，x21，A(1，0)，B(3，0)，BC29918，CM2112，BM241620，BC2CM2BM2，BCM是直角三角形(3)存在，以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，有两种情况，点N在x轴上方的抛物线上，如图1，由(2)有BCM是直角三角形，BC218，CM22，BC3，CM，SBCMBCCM33，设N(m，n)，以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，SABNSABCSBCMSABC，SABNSBCM3，A(1，0)，B(3，0)
3、，AB4，SABNABn4n2n3，n，点N在抛物线yx22x3的图象上，m22m3，m11，m21，N(1，)或N(1，)；如图2，点N在x轴下方的抛物线上，点C在对称轴的右侧，点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧，过点M作MNBC，交抛物线于点N，此时，SBCMSBCN，S四边形ABMCS四边形ABNC，B(3，0)，C(0，3)，直线BC解析式为yx3，设MN的解析式为yxb，抛物线解析式为y(x1)24，M(1，4)，直线MN解析式为yx5，联立得(舍)，N(2，3)，综上所述，N(1，)或N(1，)或N(2，3)2(导学号14952508)(2017乐山预测)在直角坐标系xOy
4、中，A(0，2)，B(1，0)，将ABO经过旋转、平移变化后得到如图1所示的BCD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)连接AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将ABC的面积分成13两部分，求此时点P的坐标；(3)现将ABO，BCD分别向下、向左以12的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO与BCD重叠部分面积的最大值解：(1)A(0，2)，B(1，0)，将ABO经过旋转、平移变化得到如图1所示的BCD，BDOA2，CDOB1，BDCAOB90，C(1，1)，设经过A，B，C三点的抛物线解析式为yax2bxc，则有解得抛物线的解析式为yx2x2(2)如图1，设
5、直线PC与AB交于点E.直线PC将ABC的面积分成13两部分，或3，过点E作EFOB于点F，则EFOA，BEFBAO，当时，EF，BF，E(，)，设直线PC解析式为ymxn，则可求得其解析式为yx，x2x2x，x1，x21(舍去)，P1(，)，当3时，同理可得P2(，)(3)设平移的时间为t，A1B1O1与B2C1D1重叠部分的面积为S，可由已知求出A1B1的解析式为y2x2t，A1B1与x轴交点坐标为(，0)，C1B2的解析式为yxt，C1B2与y轴交点坐标为(0，t)如图2，当0t时，A1B1O1与B2C1D1重叠部分为四边形设A1B1与x轴交于点M，C 1B2与y轴交于点N，A1B1与C
6、1B2交于点Q，连接OQ，由得Q(，)，SSQMOSQNO(t)t2t，当0t时，S的最大值为；如图3，当t时，A1B1O1与B2C1D1重叠部分为直角三角形，设A1B1与x轴交于点H，A1B1与C1D1交于点G，则G(12t，45t)，D1H12t，D1G45t，SD1HD1G(45t)(5t4)2，当t时，S的最大值为.综上所述，在此运动过程中，ABO与BCD重叠部分面积的最大值为3(导学号14952509)(2016宜宾)如图，已知二次函数y1ax2bx，过(2，4)，(4，4)两点(1)求二次函数y1的解析式；(2)将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线ym(m0)
7、交y2于M，N两点，求线段MN的长度(用含m的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，y1，y2交于A，B两点，如果直线ym与y1，y2的图象形成的封闭曲线交于C，D两点(C在左侧)，直线ym与y1，y2的图象形成的封闭曲线交于E，F两点(E在左侧)，求证：四边形CEFD是平行四边形解：(1)二次函数y1ax2bx过(2，4)，(4，4)两点，解得二次函数y1的解析式y1x23x(2)y1(x3)2，顶点坐标(3，)，将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，抛物线y2的顶点坐标(1，)，抛物线y2(x1)2，由消去y整理得到x22x82m0，设x1，x2是它的两个根，则MN|x1x
8、2|2(3)由消去y整理得到x26x2m0，设两个根为x1，x2，则CD|x1x2|，由消去y整理得到x22x82m0，设两个根为x1，x2，则EF|x1x2|，EFCD，点C，D在ym上，点E，F在ym上，EFCD，四边形CEFD是平行四边形4(导学号14952510)(2017泸州预测)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线ymx2nx相交于A(1，3)，B(4，0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点D，使得ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是线段AB上一动点(点P不与点A，B重合)，过点P作P
9、MOA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MCx轴于点C，交AB于点N，若BCN，PMN的面积SBCN，SPMN满足SBCN2SPMN，求出的值，并求出此时点M的坐标解：(1)点A(1，3)，B(4，0)在抛物线ymx2nx的图象上，解得抛物线解析式为yx24x(2)存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作ADx轴于点D, A(1，3)，点D坐标为(1，0)；当点D在y轴上时，设D(0，d)，则AD21(3d)2，BD242d2，且AB2(41)2(3)236，ABD是以AB为斜边的直角三角形，AD2BD2AB2，即1(3d)242d236，解得d，D点坐标为(0，)或(0，)综上可知，存在满足条件的D点，其坐标为(1，0)或(0，)或(0，)(3)如图2，过P作PFCM于点F，PMOA，RtADORtMFP，3，MF3PF，在RtABD中，BD3，AD3，tanABD，ABD60，设BCa，则CNa，在RtPFN中，PNFBNC30，tanPNF，FNPF，MNMFFN4PF，SBCN2SPMN，a224PF2，a2PF，NCa2PF，MNNCaa，MCMNNC()a，M点坐标为(4a，()a)，又M点在抛物线上，代入可得(4a)24(4a)()a，解得a3或a0(舍去)，OC4a1，MC2，点M的坐标为(1，2)【精品文档】第 4 页