射影几何入门(86页).doc

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1、-射影几何入门-第 85 页(一)1-1对应 1 1. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用 44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束 107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应 129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应 1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线 1714. 通过空间一点的所有平面 1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918.

2、 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应 基本形之间的关系 25 23. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性 3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应 3

3、338. 调和共轭的元素的隔离 3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分 3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式 3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关 基本形的结合 4147. 叠加的基本形, 自对应元素 4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束 4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束 4

4、754. 透视对应的面束（轴束） 4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 49 60. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式 5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点 5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线 5674

5、. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 63 79. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换 6886. 用Brianchon定理构造线束 6887. 与一圆锥曲线相切的点 6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用 7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193.

6、退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 75 95. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理 78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79103. 射影相关的极点与极线 80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82(七) 圆锥曲线的 度量性质 83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85113. 关

7、于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义 97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Ste

8、iner的作图方法 101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合 103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束 106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107(九) 对合的度量性质 109141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109143. 二重点的存在 110144. 二重射线的存在 11214

9、5. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点 117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118155. 抛物线的情况 119156. 抛物面反射镜 119157. 准线主轴顶点 119158. 圆锥线的另一种定义 120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121(十) 综合射影几何的历史 123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163

10、. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳 127169. Desargues时代的保守性 127170. Desargues的写作风格 128171. Desargues工作缺乏欣赏 129172. Pascal与他的定理 129173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130175. De La Hire和他的工作 131176. Descartes

11、和他的影响 132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135182. Poncelet的工作 136183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作 137185. Von Staudt和他的工作 138186. 近期的发展 139附 录 140 参考文献148 索 引 151 第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立

12、一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。 这里，1-1对应是定义两个集合之间的一种关系 ，而不是它们元素之间的关系，但要确定两个集合是否有这种关系，需要考察它们的元素之间是否能够建立一个具体的1-1对应。 【例】试问由三个数字组成的集合1,2,3,和由三个字母组成的集合A,B,C之间是否1-1对应？ 【答】我们在这两个集合的元素之间建立下面这样的对应： 1 A ， 2 B ， 3 C 这里符号表示其左右两边元素为对应。这样，两个

13、集合中的每一个元素，都对应到了另一集合中的一个且仅一个元素。所以集合1,2,3与集合A,B,C为 1-1 对应。 显然，包含两个数字的集合1,2或包含四个数字的集合1,2,3,4就不能与包含三个字母的集合A,B,C建立 1-1 对应。 集合1-1对应的概念非常简单，但也非常重要，它在科研、生产或在日常生活中都频繁使用。例如，我们通常进行的计数过程就是将被计数对象与数字1、2、3 之间在心中建立1-1对应；在人类尚未进入文明时代、尚未发明数字之前，也已利用他们的手指与被计数对象（如每天的掠物）建立1-1对应。科学家们的神圣工作是对自然界各种事物进行命名与分类，本质上就是将这些事物及其属性与适当的

14、word（单字）建立1-1对应。这种过程虽然不像计数那样简单，需要反复，需要修正和深化，不可能一次完成，但在本质上，每一步无非就是对事物及其属性进行记录，并用一些word与它们建立1-1对应。这些word开始只是少数人的专用语言，随着科学不断普及，这些专业术语也就逐步演变成人们的日常用语。如果你仔细分析语言的各种成分，你将发现，人类语言的全部概念实际都是利用1-1对应这种简单想法(idea)生成的。 2. 1-1 对应的进一步的意义和性质 集合的1-1对应是定义在两个集合上的两个互逆的1-1变换所联合组合。如集合1,2,3与集合A,B,C的 1-1 对应 1 A ， 2 B ， 3 C就是下列

15、两个1-1变换的组合： ：（ 1 - A ， 2 - B ， 3 - C ） ：（ 1 - A ， 2 - B ， 3 A ， 2 - B ， 3 - C ） ：（ 2 - A ， 1 - B ， 3 - C ） 则尽管和都是 1-1变换，使一个元素变到一个元素，但与不是互逆的两个变换，它们合在一起就不构成（同）一个1-1对应。 1-1对应关系具有对称性和传递性。即：如果集合A与B为1-1对应，则B与A也1-1对应；如果集合A与B为1-1对应，且集合B与集合C也1-1对应，则集合A与C也1-1对应 。 1-1对应规定的仅仅是元素的对应方式，不允许个元素对应到多个元素，也不允许某个元素不与另一集

16、合中的任何元素对应。但除此以外不再附加任何条件。 我们不要求一个集合中的某个元素必须与另一集合中某个固定元素进行对应。只要满足1-1 关系，无论什么元素都可以与它对应。如前节例子中的数字集1,2,3与字母集A,B,C之间，下列种对应方式都是合格的1-1对应： （1） 1 A ， 2 B ， 3 C （2） 1 A ， 2 C ， 3 B （3） 1 B ， 2 A ， 3 C （4） 1 B ， 2 C ， 3 A （5） 1 C ， 2 A ， 3 B （6） 1 C ， 2 B ， 3 A 可以看出， A,B,C 三元素的任何一种排列，都可与 1,2,3 对应。这 6 种不同的 1-1 对

17、应可用以下6张关系表来表示： 每个表的左边列出了集合1,2,3的元素，上边列出集合A,B,C的元素，中间的每个格子代表对应行和列的元素是否有对应关系，T代表有对应关系，否则代表没有对应关系。可以看出，每一行每一列都只有一个格子为T，这表示两个集合元素之间的对应为1-1的。六个表代表六种不同的1-1对应方式。如果两个集合都有n个元素，就有n！种不同的1-1对应方式。 其次，建立对应的两个集合完全任意。它们可以有相同类型元素，如1,2,3与4,5,6对应；或完全相同的元素，如1,2,3与1,2,3本身对应（这样的2个集合间仍有6种可行的对应方式）；或不同类型的元素，如前所述的1,2,3与A,B,C

18、之间的对应。如果一个牧童用绳子把头羊分别牵在棵树上，就是让羊和树建立 1-1 对应；学生上课时，50名学生走进一间有50个座位的教室，找到空位就坐下，就是在班级学生和教室座位2个集合之间自动建立一个1-1对应；物理学家经常把各种客观事物的变化规律与他们主观想象出来的公式混为一谈，就是在客观规律和错误公式两个集合之间建立1-1对应。 本书考察的对应主要是点、线、面等几何元素组成的集合之间的对应，有时也考察其他对应，包括几何元素与数的对应、几何元素与字母的对应，等。 3. 1-1对应在数学中的应用 在数学中，人们努力从事的工作，常常就是在简单概念和复杂概念之间建立1-1对应，或者是在已探索过的领域

19、和正在探索中的未知领域寻找1-1对应。例如， 利用平面几何中点和直线的性质或关系，到空间几何中去寻找点、线、面对应的性质和关系；利用中心、焦点、切线、渐近线等点和直线的性质来研究二阶曲线的性 质。解析几何是利用简单的代数方法来研究几何，而进入大学的高等代数中又反过来利用低维的几何直观来研究任意维的线性空间。在我们学习射影几何时，也要利 用我们已学过的各门数学知识，其中最重要的是平面几何的知识。 4. 无穷集之间的1-1对应 两个集合，如果它们相互1-1对应，我们通常就称这两个集合包含了相同数目的元素；如果一个集合的一部分与另一个集合1-1对应，那么前一集合的元素数目比后一集合的元素数目为大。但

20、这些结论仅适用于有限集，如果为无穷集，结论就常常不是这样了。下面我们来看几个例子。 例12,4,6,8,10,等偶数仅仅是自然数的一半，但偶数集2,4,6,8,10,与自然数集1,2,3,4,5, 是相互之间能够建立1-1对应的两个集合。 【证明】我们为这两个集合的元素建立下面的对应： 自然数：1， 偶数：2， 在这种对应下，每个偶数2n都能找到一个自然数n与其对应，而且反之，每个自然数n也都能找到一个偶数2n与其对应。 可见，偶数虽为自然数的一半，但仍与自然数1-1对应。 例2自然数集合： N = 1, 2, 3, 4, 5, 与自然数对(i,j)，i,j=1,2,3,. 的集合： N2 =

21、 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3), 为1-1对应的集合。 【证明】我们可以根据数对(i,j)的两个分量i,j的大小，将所有数对排成一个无穷方阵。规定数对(i,j)放在方阵第i行j列。这样每个数对(i,j)就有一个且仅有一个方阵格点与其对应，而所有数对就与方阵所有格点建立了1-1对应。然后，再按下表所示方式将无穷多个方阵格点与无穷多个自然数建立对应： 1267.358.4913.1012.11. 按这种对角线次序的排列方法，平面方阵的任意一个格点（i,j）都会有唯一的一个自然数(i,j)与其对应，而且反过来，每一个自然数

22、n也一定能找到一个格点（i(n),j(n)）与此自然数对应。所以，利用这种方法方式，平面正整数格点全体，因而也是数对(i,j)全体，与自然数全体建立了1-1对应。 读者不妨思考一下，与自然数n=100对应的格点（i,j）的分量i,j是多少？反过来，格点（10,10）对应的自然数 n又是多少？如果有条件且又有兴趣的话，还可在计算机上编个小程序来计算自然数与数对（i,j）之间的对应关系，无论用用Delphi或者别的语言都行。 【例3】英寸线段上所有点与2英寸线段上所有的点为两个1-1对应的集合， 【证明】如图4-1所示。其中AB和AB 分别是有2英寸和1英寸长的两条线段，C是AB上的任意一点。为寻

23、找AB 上与C对应的点，我们连AA和BB，并延长交于S。再作S与C的连线交AB 于C，则C就是AB 上与C对应的点。反之，对AB 上任意C，同样可找出AB上的对应点C。 图4-1 英寸与2英寸长线段点的1-1对应 【例4】对于无穷长直线AB上的任意一点，都能在1英寸长的线段AB 上找到两个点与它对应。 【证明】我们作一个半径为2分之一英寸的圆，则其周长为1英寸，也就是线段AB 的长。因此，可以把这个圆看成就是由线段AB 围成的圆，如图4-2所示。 注意，为了使标写的文字清晰，我们在图中把圆画大了一些，但所画圆的尺寸大小，不影响下面的证明。 现设此圆的圆心为S。我们从直线AB上的任意点C作直线与

24、S相连，此直线与圆的下半段圆弧交于C，与上半段圆弧交于C。则C与C就是与C对应的两点，由此得证。图4-2 英寸圆周与无穷长直线点的对应 反过来，对于圆上任意两个对称点C与C是否也能在直线AB上找到对应的一点呢？显然，这里有一个例外，就是当C与C的连线CC平行于AB时，在AB上就找不到对应点了，因为这时的连线CC与AB不相交。 此例说明了一个似乎不可思议的事情：1英寸线段AB上的点比无穷长直线AB上的点的两倍还要多出两个点。 【例5】无穷直线上的点的集合与无穷平面上点的集合可以建立1-1对应。 【证明】我们需要用以下三步来证明整个结论： （）无穷直线与单位直线（0,1）中点可以建立1-1对应；

25、（）单位直线（0,1）与单位平面（0,1）（0,1）中点可以建立1-1对应； （）单位平面（0,1）（0,1）与无穷平面的点可以建立1-1对应。 然后，根据1-1对应关系的传递性，就证明了无穷直线上的点与无穷平面上点也可以建立1-1对应。 其中（1）是明显的，我们只证（2）和（3）。先证（2）。 因(0,1)中点是小于的数d，可以用一个无穷小数d=0.a1a2a3a4a5a6a7a8 ），这样，（0,1）间的每一个数都有一个且仅有一个实数与它对应；现令x = 0.a1 a3 a5 a7, y = 0.a2 a4 a6 a8也就是说，用d的奇数位小数作为x的小数，d的偶数位小数作为y小数，那么，

26、对任意一个直线点d，就有一个对应的平面点P（x,y）。且反之，有一个平面点P（x,y），其中 x = 0.a1 a2 a3 a4, y = 0.b1 b2 b3 b4 那么也有唯一的直线点 d = 0.a1 b1 a2 b2 a 3.b3 与它对应。因此，单位平面点P（x,y）就和单位直线点d建立了1-1对应。这样就证明了(2)。 再来证(3)。将单位平面的垂直边v(0,1)与全平面x轴(-,+)对应，水平边u(0,1)与全平面y轴(-,+)对应。这样单位平面内的点 (u,v)就可与整个平面中的点(x,y)建立对应。单位平面垂直边与x轴的对应如下图所示。将单位平面的垂直边作纵轴v，S是纵轴顶部

27、左边任取的点，S 是纵轴底部右边任取的点。 图4-3 使区间(0,1)中点与直线(-,+)中的点建立1-1对应 垂线（0,1）被x轴分成上下两段，上段以S为中心与+轴对应；下段以S为中心与-轴对应；中点0.5与x=0点对应。这样，整个x轴上的点就和（0,1）中的点建立了对应。 类似地，单位平面水平边可与轴对应。利用这两个分量的对应即实现单位平面与整个平面的点的对应。从而证明了(3)。 要特别注意，直线与平面上这种点的对应方式不具备连续性。两个邻近的直线点对应到平面后位置可以不邻近，且反之也一样。而本书后面将要考察的对应都要求有 连续性，即其中任一集合的一个元素趋向另一元素时，另一集合的两个对应

28、元素也必须充分接近。除非其中的点为无穷远点才有例外。 从上面各节的论述可以看出，1-1对应概念是比枚举（即计数）概念更为广泛的一种概念。直线上的点我们无法一个一个地进行枚举，我们无法列出一个点的下一个点，但我们仍然可以考察这类集合之间的1-1对应。 在集合论中，两个1-1对应的集称等势（power）集。由上可知，当集合为有限时，等势集就意味元素数目相同。但集合为无穷时，等势集并不意味包含的元 素数目严格相同。我们自然会问，是否所有无穷集都等势？答案为否定，能够证明直线点集就比自然数集势要大，它们元素不能建立1-1对应（证略）。凡和自然 数1-1对应的集叫可列集（可数集、可枚举集），它们的势叫可

29、列势。凡和直线点集1-1对应的集叫连续集，它们的势叫连续势。集合论中已证明比连续集更大 的集也存在。 5. 部分和整体的1-1对应，无穷集的定义 从上节讨论的几个例子中我们都能看出一个非常重要的事实，即无穷集都可以与它的一个真子集（从原集合中排除一些元素之后的集合）建立1-1对应。这种情况 对于有限集是无法想象也根本不可能发生的。无穷集之所以会有这一特点，根本原因就在于无穷集的一部分仍可能是无穷，因而元素的“数目”并不减少。因此，可 以利用无穷集的这一特征作为无穷集的一种定义： 【定义】能与自己的真子集1-1对应的集称为无穷集。 这一定义是一个正面定义，它与通常的，把无穷集说成是“无法枚举的集

30、合”或“无法枚举完成的集合”等消极定义相比，更容易用实践检验，因而也是更为合理的定义。 6. 无穷远点 前面4的例中，我们证明了两个不同长度的线段上的点的全体可以建立1-1对应，同节的例则证明一寸长线段上可以找到两倍于无限长直线上的点。这些例子都是有关点集与点集间建立1-1对应的例子。 现在我们要为点和线两种不同元素的集合建立对应。我们为无穷直线上的点，与通过一个已知点的所有直线建立1-1对应，如图6-1所示。AB为所指直线，两端可以无限延伸，C是无穷直线AB上任意一点，S是给定的已知点。 通过C和S作直线SC，则此直线cSC就是与C对应的直线。反之，对于通过S的任意直线c，只要c不与AB平行

31、，那么c延长后总能与AB交于一点C，所 以交点C就是与直线c的对应点。但若过S 的直线与AB平行，如图中虚线m，则根据Euclid假设，m无论怎样延长都不与AB相交。所以，AB上找不到任何点与此特殊直线m对应。 图 6-1 直线点C与通过点S的直线c对应 * 射影相关基本形元素之间的1-1对应有连续性。即，如将其中任一基本形的两个元素充分接近，则另一基本形二个对应元素也充分接近。这和4介绍的直线点与平面点之间的1-1对应不同。另外，当两个基本形为点列时，这种连续性还应服从于无穷远点这一例外。 为了弥补这一缺陷，使无穷直线AB上所有点都能与通过S的所有直线1-1对应，在射影几何中通常假设，在直线

32、AB的无穷远处存在一个点，并规定这个点就是 AB与包括m在内的所有平行线的共同交点。在这样理解下，与直线m对应的AB上的点就是那个无穷远处的点。这样，无穷直线上所有点都能与通过S的所有直线 1-1对应了。 再回过头来考察4例中有关一英寸线段AB与无穷长直线AB的对应关系。我们已证明：对于无穷长直线AB上的任一点C，我们都能在周长与AB相 等的圆上找到C和C 两点与它对应。但反过来s通过圆心的直线L与圆的一对交点C和C只有在L不与AB平行时，才能在AB找到这样的点，如果L与直线AB平行，则L与圆 的交点C和C 就在AB上找不到对应点C了。这种特殊情况也和上面相似，只要假设AB无穷远处存在一个点，

33、它是AB以及与它平行的所有直线的共同交点，那么对于圆周上那 两个特殊点C和C也能在AB上找到对应的一点了。由此我们圆满地证明了1英寸线段上的点，可以与无穷长直线AB上点的两倍建立1-1对应。 上述这种规定在研究射影几何时极重要，为此使用几个专业术语来称呼它们：把位于直线无穷远处的点叫无穷远点；原来意义下的直线加上无穷远点后特称扩充直线；扩充直线l上所有的点称为以l为底（base）的一个点列（point-row）。通过一点S的所有直线称以S为中心的一个（射）线束（pencil of rays）。点列和线束的这种对应称为透视对应，或称它们透视相关、它们处于透视位置（perspective posi

34、tion），简称它们相互透视。7. 轴束，基本形 用同样的方法，我们可以为一无穷直线上所有的点，与通过不和以上直线相交的另一直线的所有平面建立1-1对应。所有平面通过的共同直线称为轴（axial），而这些平面的全体就叫一个平面束，简称面束或轴束（axial pencil）。如图7-1所示。 图7-1 以直线a为轴的平面束（轴束） 点列、线束和面束都是射影几何研究的基本结构（structure），常称它们为基本形（fundamental forms）。它们互相之间能建立1-1对应的事实，常用它们为同阶（same order）的这一术语来表达，并说它们都是一阶（first order）的。本书后面

35、的讨论将会看到，还可以构造别的无穷集也能与点列建立1-1对应，但也有一些无穷集则不能与点列建立1-1对应，后者理所当然地 将被称作为二阶或高阶无穷集。8. 三种基本形的六种透视对应 我们在6中已介绍点列与线束之间的透视对应，介绍点列与面束（轴束）之间的透视对应。透视对应关系可以在不同或相同的任意两种基本形之间建立，对于点列、线束和轴束三种基本形而言，共有6种透视对应关系： 1）点列与线束间的透视对应：前已讲过，是指线束中的每一条射线对应于点列中对应点的情况。这时线束中各射线的公共交点P称为透视中心，参见图8-1。 2）线束与线束间的透视对应：这是指两个线束对应的射线都相交于同一条直线。这条所有

36、交点的共同直线称为透视轴（axis of perspectivity）, 参见图8-2。 3）点列与点列间的透视对应：这是指点列u1和u2所有对应点都位于通过某一固定点P的直线上。这些直线组成一个线束，点P是线束中心，同时也是透视中心, 参见图8-3。 图中u为点列，P为线束，为轴束，a 为直线，为平面 4）点列与轴束间的透视对应：这是指轴束中的每个平面都通过与它对应的点列的点。这时，轴束的轴a同时也是透视轴，参见图8-4。 5）线束与轴束间的透视对应：这是指线束的每根射线都位于与它对应的轴束平面上。这时线束的中心P位于轴束的轴a上，轴束的轴a称为透视轴，参见图8-5。 6）轴束与轴束间的透视

37、对应：这是指两个轴束中对应平面的交线都位于同一平面上。这些交线的共同平面称为透视平面，参见图8-6。 这里需要补充说明一些事情。我们在定义线束互为透视的图8-2中，两个线束的中心P1与P2都画在点列u的上方，但这不是必要的，如果它们位于不同侧，我 们仍然称它们相互透视。类似地，在图8-3中，两个点列u1和u2都画在透视中心P的下方也非必要，如果它们分别位于中心的不同侧，我们仍然称它们互为透 视。最后，在图8-6中，若把两个轴束1和2都画在透视平面的同一侧，我们仍然称它们互为透视。在今后的许多定理的证明中，为避免繁琐，往往仅就一 种图形进行证明，但其证明不失一般性，对其他一种情况也将成立。 9.

38、 射影对应关系 不难想象，两个点列，除了透视对应外，还可以有更一般的对应关系。确实如此。我们来看个例子，考察图9-1。 9-1 点列ACB和A”CB”互不透视但互为射影 线束S1与S2以ACB为共同的透视轴，对称地位于轴的左右二侧，根据上节线束与线束互为透视的定义以及后面的补充说明，S1与S2互为透视。现用两条直 线从两个线束分别截取两个点列ACB和A”CB”，则由上节图8-3可知，它们均与ACB透视。但因CC与AA的交点T2，CC与BB交于为T1，点列ACB和A”CB”对应点的连线AA, BB, CC 没有共同交点作为透视中心，故点列ACB和A”CB”不透视对应。 两个点列u1与u2，无论是

39、本身直接透视对应，还是经过一系列透视对应，使u1与u2对应，都称相互射影对应。 射影对应的点列，又称处种等价的定义。在这里我们先对这种对应关系作些说明： * 射影对应关系是一种1-1对应关系。 * 射影关系具有传递性。即如果u1射影对应于u2，而u2射影对应于u3，则u1射影对应于u3。如下面图9-2中画出的四根粗线代表四个点列，它们从左到右相邻的依次透视对应（因而也射影对应），不相邻的则都不透视对应，但全部点列都称为相互射影对应。 图9-2 经多次透视对应仍为射影对应 9-3 平行射影（投影）始终保持平行 * 射影关系除了定义在两个点列之间外，也定义在任意两个基本形之间。包括点列与线束、线束

40、与线束等。如图9-2中4个线束与4个点列之间全部射影对应。 * 如果线束S1为平行（射影中心在无穷远点），则线束到点列的射影就像光线投射到半透明镜面，无论经多少次，其反射或透射的线束都相互平行。当然，射影线束的路径与光线反射折射路径不同，没有入射角与反射角相等的限制，如图9-3所示。 10. 无穷到1或1到无穷的对应 我们前面已讲到，直线点与平面点能建立1-1对应。但这种对应没有连续性。我们如果要求对应有连续性（见上一节），那就情况两样了。现考察不在同一平面的 二条空间直线a，b，在直线a上取m点，在直线b上取n点，则连接m点和n点的直线数目显然共有mn条。如图10-1所示。 如果我们把一条直

41、线的所有点象征地记作，那么，一条线上的每一点都有条直线与另一条直线相连，故连接两条直线上点的直线集是比直线点集有高一阶的无穷，是二阶无穷。 一个点连到另一条直线的个点的对应称1到的对应，反过来的就叫到的对应。 10-1 两点与三点的连线有六条 11-1 点P与a,b点连线l对应 11. 平面点的无穷阶数 现来证明（参看上页图11-1），平面上的点P可以和两条不在同一平面的空间直线a,b的点的连线l建立1-1对应。 【证明】首先，直线系中的每条直线l都能与平面的一个点相交，此点P就是对应于直线l的平面点；反之，平面的每个点P也唯一地确定一根直线l与两条已知 直线相交，这就是由P和a及P和b所决定

42、的两个平面的交线l。由此可知，平面点集与不在同一平面的二条线相交的直线全体有相同阶，也就是说，是二阶的。现 在我们把已有的这些结果表达如下： 12. 一阶与二阶无穷集 如果把直线上的点的全体称为一阶无穷集，则平面上一个线束中的所有射线也是个一阶无穷集，空间中一个轴束中的所有平面也是一阶无穷集。而与两条不在同一平面的直线相交的所有直线是一个二阶无穷集，一个平面上的所有点也是二阶无穷集。13. 通过空间一点的所有直线 如果我们将平面上的每个点与不在此平面上的一个固定点相连，那么我们就为平面点和通过空间点的直线建立了1-1对应。因此，通过空间一点的所有直线是二阶无穷集。 图14-1 过空间一点的平面与直线1-1对应 14. 通过空间一点的所有平面 如果我们为通过空间某点P的每条直线li作一垂直于此直角并仍通过P点的平面i，则我们就为通过空间一点的直线与通过空间一点的平面建立了1-1对应，由此可知，通过空间一点的平面全体也是二阶无穷集。见图14-1。15. 平面上