《1987-2017年度考研数学一真命题(附答案解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1987-2017年度考研数学一真命题(附答案解析).pdf（155页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、跟谁学考研整理 历年考研数学一真题历年考研数学一真题 19871987- -2012017 7 （答案（答案+ +解析）解析） （经典珍藏版）（经典珍藏版）最近三年最近三年+ +回顾过去回顾过去 最近三年最近三年篇篇（20152015- -20172017） 20152015 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分 设函数( )f x在(,) 上连续，其二阶导数( )fx 的图形如 右图所示，则曲线( )yf x 在(,) 的拐点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解详解】对
2、于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在从 图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 0 x 但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正 的，所以对应的点不是拐点而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的 点才是拐点，所以应该选（C） 2 设 2 11 23 () xx yexe是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 x yaybyce的一个特解，则 （A）321,abc （B）321,abc （C）321,abc （D）321,abc 【详解详解】线性微分方程的特征方程为 2 0rarb，由特解可知 1 2r 一定
3、是特征方程的一个实根如果 2 1r 不是特征方程的实根，则对应于 ( ) x f xce 的特解的形式应该为( ) x Q x e， 其中( )Q x应该是一个零次多项式， 即常数，与条件不符，所以 2 1r 也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达 定理可得2 132 12(),ab ，同时* x yxe 是原来方程的一个 解，代入可得1c 应该选（A） 若级数 1 n n a 条件收敛，则33,xx依次为级数 1 1()n n n nax 的 （）收敛点，收敛点 （）收敛点，发散点 (）发散点，收敛点 （）发散点，发散点 【详解详解】 注意条件级数 1 n n a 条件收敛等价于幂级数 1
4、n n n a x 在1x 处条件收 敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即 1 1lim n n n a a ，所以 1 1()n n n nax 的 跟谁学考研整理 收敛半径 1 1 1 lim () n n n na R na ， 绝对收敛域为0 2( , )， 显然33,xx依 次为收敛点、发散点，应该选（B） 设 D 是第一象限中由曲线21 41,xyxy与直线3,yx yx所围成 的平面区域，函数( , )f x y在 D 上连续，则( , ) D f x y dxdy （ ） （） 1 32 1 422 sin sin ( cos , sin )df rrrdr （） 1 23 1
5、422 sin sin ( cos , sin )df rrrdr （） 1 32 1 422 sin sin ( cos , sin )df rrdr （） 1 23 1 4 22 sin sin ( cos , sin )df rrdr 【详解详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程： 22 11 2121 22 sincos sinsin xyrrr 22 11 4141 2222 sincos sinsin xyrrr 也就是 D： 43 11 2sinsin r 所以( , ) D f x y dxdy 1 23 1 422 sin sin ( cos , sin )df rrrdr
6、， 所以应该选 （B） 5设矩阵 22 1111 12 14 ,Aabd ad ，若集合 1 2, ，则线性方程组 Axb 有无穷多解的充分必要条件是 （A）,ad （B）,ad （C）,ad （D）,ad 【详解详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 2222 111111111111 1201110111 140311001212 ( , ) ()()()() BA badadad adadaadd 跟谁学考研整理 方 程 组 无 穷 解 的 充 分 必 要 条 件 是3( )( , )r Ar A b， 也 就 是 120120()(),()()aadd同时成立，当然应该选（D）
7、6设二次型 123 (,)f x xx在正交变换xPy 下的标准形为 222 123 2yyy， 其中 123 ,Pe e e ，若 132 ,Qee e，则 123 ( ,)f x x x在xQy 下的标 准形为 （A） 222 123 2yyy （B） 222 123 2yyy （C） 222 123 2yyy （D） 222 123 2yyy 【 详详 解解 】 132123 100100 001001 010010 ,Qee ee e eP ， 100 001 010 TT QP 2 1 1 TTTT fx Axy PAPyyy 所以 10010010021002 0010010011
8、0011 01001001010101 TT Q AQP AP 故选择（A） 7若,A B为任意两个随机事件，则（ ） （A）()( ) ( )P ABP A P B （B）()( ) ( )P ABP A P B （C） 2 ( )( ) () P AP B P AB （D） 2 ( )( ) () P AP B P AB 【详解】( )(),( )(),P AP AB P BP AB所以 2 ( )( ) () P AP B P AB 故选 择（C） 8 设 随 机 变 量,X Y不 相 关 ， 且213,EXEYDX， 则 2() )EXXY （ ） （A）3 （B）3 （C） 5 （D
9、）5 【详解详解】 22 2225()()()()E X XYE XE XYEXDXEXEXEYEX 故应该选择（D） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9 2 0 ln(cos ) lim x x x 【详解】 2 00 1 22 ln(cos )tan limlim xx xx xx 10 2 2 1 sin cos x x dx x 跟谁学考研整理 【详解详解】只要注意 1 sin cos x x 为奇函数，在对称区间上积分为零， 所以 2 22 0 2 2 14 sin . cos x x dxxdx x 11 若 函 数(,)zz
10、 xy 是 由 方 程2c o s z ex y zxx确 定 ， 则 0 1( , ) |dz 【详解详解】设2( , , )cos z F x y zexyzxx，则 1( , , )sin ,( , , ),( , , ) z xyz Fx y zyzx Fx y zxz Fx y zexy 且当01,xy时，0z ，所以 0101 010 010 10 0 1 00 1 0 ( , )( , ) ( , , ) ( , , ) |,|, ( , , )( , , ) y x zz F Fzz xy FF 也就得到 0 1( , ) |dz .dx 12设 是由平面1xyz和三个坐标面围
11、成的空间区域，则 23()dxdydzxyz 【详解详解】注意在积分区域内，三个变量, ,x y z具有轮换对称性，也就是 dxdydzdxdydzdxdydzxyz 11 2 00 1 236631 4 ()dxdydzdxdydz() z D xyzzzdzdxdyzz dz 13n阶行列式 2002 1202 0022 0012 【详解详解】按照第一行展开，得 11 11 212122()() nn nnn DDD ，有 1 222() nn DD 由于 12 26,DD，得 11 1 22222() nn n DD 14 设 二 维 随 机 变 量(,)X Y服 从 正 态 分 布1
12、0 11 0( , ; , ; )N， 则 0PX YY 【 详 解详 解 】 由 于 相 关 系 数 等 于 零 ， 所 以 X ， Y 都 服 从 正 态 分 布 ， 110 1( , ),( , )XNYN，且相互独立 则10 1( , )XN 11111 010010010 22222 (),P XYYP Y XP YXP YX 三、解答题 15 （本题满分 10 分）设函数1( )ln()sinf xxaxbxx， 3 ( )g xkx 在0 x 时为等价无穷小，求常数, ,a b k的取值 【详解详解】当0 x 时，把函数1( )ln()sinf xxaxbxx展开到三阶的 跟谁学
13、考研整理 马克劳林公式，得 23 333 233 1 236 1 23 ( )()() ()()( )() xx f xxa xo xbx xxo x aa a xb xxo x 由于当0 x 时，( ), ( )f xg x是等价无穷小，则有 10 0 2 3 a a b a k ， 解得， 11 1 23 ,.abk 16 （本题满分 10 分） 设函数)(xfy 在定义域I上的导数大于零，若对任意的 0 xI ，曲线 )(xfy 在点 00 (,()xf x处的切线与直线 0 xx 及x轴所围成区域的面积 恒为 4，且02( )f ，求( )f x的表达式 【 详 解详 解 】)(xfy
14、 在 点 00 (,()xf x处 的 切 线 方 程 为 000 ()()()yfxxxf x 令0y ，得 0 0 0 () () f x xx fx 曲线)(xfy 在点 00 (,()xf x处的切线与直线 0 xx 及x轴所围成区域的 面积为 0 000 0 1 4 2 () ()() () f x Sf xxx fx 整理，得 2 1 8 yy ，解方程，得 11 8 Cx y ，由于02( )f ，得 1 2 C 所求曲线方程为 8 4 .y x 17 （本题满分 10 分） 设函数( , )f x yxyxy，曲线 22 3:Cxyxy，求( , )f x y在曲线 C上的最大
15、方向导数 【详解详解】显然11, ff yx xy ( , )f x yxyxy在( , )x y处的梯度 11, ff gradfyx xy ( , )f x y在( , )x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模 22 11()()gradfyx 所 以 此 题 转 化 为 求 函 数 22 11( , )()()F x yxy在 条 件 22 3:Cxyxy下的条件极值用拉格朗日乘子法求解如下： 令 2222 113( , , )()()()L x yxyxyxy 跟谁学考研整理 解 方 程 组 22 2 120 2 120 3 () () x y Fxxy Fyyx
16、xyxy ， 得 几 个 可 能 的 极 值 点 1111211 2,(,),( ,),(, ) ， 进行比较，可得，在点21,xy 或12,xy 处，方向导数取到最大， 为93. 18 （本题满分 10 分） （ 1 ） 设 函 数() ,()uxvx都 可 导 ， 利 用 导 数 定 义 证 明 ( ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x； （2）设函数 12 ( ),( ),( ) n u x u xux都可导， 12 ( )( )( )( ) n f xu x uxux ， 写出( )f x的求导公式 【详解详解】 （1）证明：设)()(x
17、vxuy )()()()(xvxuxxvxxuy () ()( ) ()( ) ()( ) ( )u xx v xxu x v xxu x v xxu x v x vxuxxuv)()( x u xuxxv x u x y )()( 由导数的定义和可导与连续的关系 00 limlim()( )( ) ( )( ) ( ) xx yuu yv xxu xu x v xu x vx xxx （2） 12 ( )( )( )( ) n f xu x uxux 1121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn fxu x u x u xuxu x u xuxu
18、 x u xux 19 （本题满分 10 分） 已知曲线 L 的方程为 22 2zxy zx ，起点为02 0( , )A，终点为 02 0( , )B ，计算曲线积分 2222 ()()() L yz dxzxy dyxy dz 【详解详解】曲线 L 的参数方程为2 cos sin , cos xt yt zt 起点02 0( , )A对应 2 t ，终点为02 0( , )B 对应 2 t 2222 2 2 2 2222 ()()() (sincos ) (cos )(cos ) (cos )(cos) cos L yz dxzxy dyxydz tt dtt dtt dt 2 2 0 2
19、 2 2 2 sin.tdt 20 （本题满分 11 分） 设向量组 123 , 为向量空间 3 R的一组基， 跟谁学考研整理 11322333 2221,()kk （1）证明：向量组 123 , 为向量空间 3 R的一组基； （2） 当k为何值时，存在非零向量 ， 使得 在基 123 , 和基 123 , 下 的坐标相同，并求出所有的非零向量. 【详解详解】 （1） 123123 201 020 201 (,), kk ， 因为 201 21 020240 21 201 kk kk ，且 123 , 显然线性无关，所以 123 , 是线性无关的，当然是向量空间 3 R的一组基 （2）设非零向
20、量 在两组基下的坐标都是 123 (,)x xx，则由条件 112233112233 xxxxxx 可整理得： 11322313 20()()xkxxk， 所以条件转化为线性方 程组 13213 20,kkx 存在非零解 从而系数行列式应该等于零，也就是 123123 101101 0100100 2020 (,)(, kkkk 由于 123 , 显然线性无关，所以 101 0100 20kk ，也就是0k 此时方程组化为 1 121213122 3 0,() x xxxx x ， 由于 12 , 线性无关，所以 13 2 0 0 xx x ，通解为 1 2 3 0 xC x xC ，其中C为
21、 任意常数 所以满足条件的0 C C 其中C为任意不为零的常数 21 （本题满分 11 分） 设矩阵 023 133 12 A a 相似于矩阵 120 00 031 Bb （1）求,a b的值； （2）求可逆矩阵P，使 1 PAP 为对角矩阵 【详解详解】 （1）因为两个矩阵相似，所以有trAtrB ，AB 也就是 324 235 aba abb 跟谁学考研整理 （2）由 2 120 050150 031 () ()EB ，得 A，B 的特 征值都为 123 15, 解方程组0()EA x，得矩阵 A 的属于特征值 12 1的线性无关的特 征向量为 12 23 10 01 . ； 解方程组50
22、()EA x得矩阵 A 的属于特征值 3 5 的线性无关的特征向 量为 3 1 1 1 令 123 231 101 011 ,P ，则 1 100 010 005 .P AP 22 （本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率密度为 220 00 ln , ( ) , x x f x x 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记Y为次 数 求Y的分布函数； （1） 求Y的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解详解】 （1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于 3 的概率为 3 1 322 8 ()ln x P Xdx 显然 Y 的可能取值为2 3 4,
23、 , , 且 22 1 1 11717 12 3 4 888648 ()(), , , kk k P YkCkk （2）设 2 2 3 222 2 11 11 ( )()(), () nnn nnn x S xn nxxxx xx 2 22 1717 116 648648 ( )()() k kn E YkP Ykk kS 23 （本题满分 11 分） 设总体X的概率密度为 1 1 1 0 , ( ; ) , x f x 其其他他 其中 为未知参数， 12 , n XXX是来自总体的简单样本 （1）求参数 的矩估计量； （2）求参数 的最大似然估计量 【详解详解】 （1）总体的数学期望为 1
24、11 1 12 ()()E Xxdx 令()E XX ，解得参数 的矩估计量：21 X 跟谁学考研整理 （2）似然函数为 12 12 1 1 1 0 , ()(,; ) , nn n x xx L x xx 其其他他 显然( )L 是关于 的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使 尽 可能大就可以，所以 参数 的最大似然估计量为 12 min(,). n x xx 20162016 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，分，下
25、列每题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。 （1）若反常积分 + 0 1 (1) abdx xx 收敛，则（ ） 。 A. 1a且1b B. 1a 且1b C. 1a且1ab D. 1a 且1ab 【答案】C 【解析】 +1+ 001 111 =+ (1)(1)(1) ababab dxdxdx xxxxxx ，而 1 0 1 adx x 当 1a时收敛，而此时(1)bx不影响， + 11 11 = 1 (1) (1) ab a bb dxdx xx x x ， 而 + 1 1
26、a bdx x 当1ab时收敛，此时 1 (1)b x 不影响，因此选择 C. （2）已知函数 2(1),1 ( ) ln ,1 xx f x x x ，则( )f x的一个原函数是（ ） 。 A. 2 (1) ,1 ( ) (ln1),1 xx F x xxx B. 2 (1) ,1 ( ) (ln1) 1,1 xx F x xxx 跟谁学考研整理 C. 2 (1) ,1 ( ) (ln1) 1,1 xx F x xxx D. 2 (1) ,1 ( ) (ln1) 1,1 xx F x xxx 【答案】D 【 解 析 】 对 函 数( )f x做 不 定 积 分 可 得 原 函 数 ， 1
27、lnlnlnxdxxxxdxxxxC x ，因此选择 D. （ 3 ） 若 222222 ( 1)1,( 1)1yxxyxx是 微 分 方 程 ( )( )yp x yq x的两个解，则( )q x=（ ） 。 A. 2 3 (1)xx B. 2 3 (1)xx C. 2 1 x x D. 2 1 x x 【答案】A 【解析】将 2 22 (1)1yxx代入微分方程可得： 2222 2 4 (1)( )(1)1( ) 1 x xxp xxxq x x 而将 2 22 (1)1yxx代入微分方程可得： 2222 2 4 (1)( )(1)1( ) 1 x xxp xxxq x x 将这两个式子相
28、加可得： 222 8 (1)2 ( )(1)2 ( )xxp xxq x 两个式子相减可得： 2 2 2 2 ( ) 10 1 x p xx x 因此可得 22 2222 2 ( )4 (1)(1)4 (1)(1)3 (1) 1 x q xxxxxxxxxx x ） 故选择 A. （4）已知函数 ,0 ( ) 111 ,1,2, 1 x x f x xn n nn L ，则（ ） 。 A. 0 x 是( )f x的第一类间断点 B. 0 x 是( )f x的第二类间断点 C. ( )f x在0 x 处连续但不可导 D. ( )f x在0 x 处可导 【答案】D 【解析】 0 1 lim( )l
29、im( )lim0(0) nn x f xf xf n ，因此在0 x 处连续， 0 lim( )1 x fx ，而 00 1 0 ( )(0) lim( )limlim n xx f xf n fx xx ，而 11 1 x nn ，因此 跟谁学考研整理 1 11 (1) n nn nxn ，而左右两边的极限均为 1，因此 0 lim( )1 x fx ，故在 0 x 可导，选择 D. （5）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） 。 A. T A与 T B相似 B. 1 A与 1 B相似 C. T AA与 T BB相似 D. 1 AA与 1 BB相似 【答案】C 【解
30、析】因为A与B相似，因此存在可逆矩阵P，使得 1 P APB ，于是有： 111 ()()() TTTTTTTT P APP APP APB ，即 TT AB， 111111111 ()()P APP APP A PB ，因此 11 AB ， 111111 ()PAAPP APP A PBB ，因此 11 AABB ， 而 C 选项中， 1T P A P 不一定等于 T B，故 C 不正确，选择 C. （ 6 ） 设 二 次 型 222 1231231 21 323 ( ,)444f x x xxxxx xx xx x， 则 123 (,)2fxxx在空间直角坐标系下表示的二次曲面为（ ） 。
31、 A.单叶双曲面 B.双叶双曲面 C.椭球面 D.柱面 【答案】B 【解析】 二次型 222 1231231 21 323 ( ,)444f x x xxxxx xx xx x对应的矩阵 122 212 221 A ，根据| 0EA可以求得特征值为， 123 5,1 ， 因 此 二次 型的 规范 形为 222 123 fzzz， 故可 得 222 123 2zzz， 即 222 312 222 1 ( 2)( 2)( 2) zzz ，因此对应的曲面为双叶双曲面，选择 B. （7）设随机变量 2 ( ,)(0)XN ，记 2 pP X，则（ ） 。 A. p随着的增加而增加 B. p随着的增加而
32、增加 C. p随着的增加而减少 D. p随着的增加而减少 【答案】B 【解析】 2 2 XX pP XPP ， 因 此选择 B，p随着的增加而增加. （8）随机试验E有三种两两不相容的结果 123 ,A A A，且三种结果发生的概率 均为 1 3 ， 将试验E独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果 1 A发生的次数，Y 表示 2 次试验 2 A发生的次数，则X于Y的相关系数为（ ） 。 A. B. 跟谁学考研整理 C. D. 【答案】 1 2 【解析】根据题意可知 11 (2, ),(2, ) 33 XBYB，因此有 12124 2,2 33339 EXEYDXDY ， 441117 (
33、0)(0)0(0,0) 993339 P XYP XP YP XY 11112 (1)(1,1), 33339 P XYP XY 因此可得 722 01 999 EXY ，故可得相关系数为： 24 1 99 4 2 9 XY EXYEXEY DXDY 二、填空题，二、填空题，914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答疑纸指定位分，请将答案写在答疑纸指定位 置上置上. （9） 0 2 ln(1sin ) lim 1 cos x x ttt dt x _. 【答案】 1 2 【解析】 0 2222 ln(1sin ) ln(1sin )1ln(1sin )1sin
34、1 limlimlimlim 1 cos2 sin2sin22 x xxxx ttt dt xxxxxxx xxxxx （10）向量场( , , )()A x y zxyz ixyjzk的旋度 rotA_. 【答案】(0,1,1)y 【解析】由旋度公式可得,0,1,1 RQPRQP rotAy yzzxxy （11）设函数( , )f u v可微，( , )zz x y由方程 22 (1)(, )xzyx f xz y确 定，则 (0,1) |dz_. 【答案】2dxdy 【解析】将 22 (1)(, )xzyx f xz y两边分别关于, x y求导可得： 2 1 (1)2(, )(, )(
35、1) xx zxzxf xz yx fxz yz， 2 12 (1)2(, )()(, ) 1 yy xzyxfxz yzfxz y。 将0,1xy代入原式可得1z ， 因此将0,1,1xyz代入关于x求导的 式子可得： 10 x z，因此 1 x z ，代入关于y求导的式子可得： 20 y z ，因此有 2 y z ，故可得 (0,1) |2dzdxdy . （ 12 ） 设 函 数 2 ( )arctan 1 x f xx ax ， 且 ( 0 )1f， 则 a _. 【答案】 1 2 跟谁学考研整理 【解析】根据 2 ( )arctan 1 x f xx ax ，可得： 222 22 2
36、22 2 11211 ( ) 1(1)1(1) axaxax fx xaxxax ，然后求二阶导数为： 2 222 2 22 4 22(1)2(1)(1) 2 ( ) (1)(1) xaxaxaxaxax fx xax 此时(0)0f（存疑） （13）行列式 100 010 001 4321 _. 【答案】 432 234 【解析】 432 100 10100 010 01410234 001 3201 4321 . （14）设 12 , n x xxL为来自总体 2 ( ,)XN 的简单随机样本，样本均值 9.5x ，参数的置信度为 0.95 的双侧知心区间的置信上限为 10.8，则的 置信
37、度为 0.95 的双侧置信区间为_. 【答案】(8.2,10.8) 【解析】 0.0250.0250.0250.025 0.95 x PuuP xuxu nn n ， 因为 0.025 10.8xu n ，所以 0.025 1.3u n ，因此可得 0.025 8.2xu n ， 故可得置信区间为(8.2,10.8). 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本题满分 10 分） 已知平面区域( , )|22(1 c
38、os ), 22 Drr ，计算二重积分 D xdxdy . 【答案】 32 5 3 【解析】 跟谁学考研整理 3 2(1 cos ) 22(1 cos ) 22 2 2 22 234 2 2 234 222 222 23 22 222 coscos| 3 8 (3cos3coscos) 3 8 8cos8coscos 3 8 4(1 cos2 )8(1 sin) sincossin 3 D r xdxdydrdrd d ddd ddd 2 3 322 2222 2222 2 2 2 2 2 2 2 sin2sin8 4()|8(sin)|(cossin|3sincos) 233 32 42s
39、in 2 3 32 4(1 cos4 ) 3 32sin4 4()| 34 32 5 3 d d d （16） （本题满分 10 分） 设函数( )y x满足方程 2 0yyky，其中01k. （）证明：反常积分 0 ( )y x dx 收敛； （）若(0)1, (0)1yy，求 0 ( )y x dx 的值. 【答案】 （） ； （） 1 k 【解析】 （）特征方程为 2 20rrk，由01k可知，特征方程有两个不同的 实根，即 1,2 244 11 2 k rk 且 1,2 0r，因此二阶常系数齐次线 性方程的解为： 12 12 ( ) r xr x y xCeC e，故可得 12 12
40、12 00 12 00 12 12 12 12 12 ( )() | (0 1)(0 1) r xr x r xr x y x dxC eC edx CC ee rr CC rr CC rr 因此 0 ( )y x dx 收敛. （）由 12 12 ( ) r xr x y xCeC e，(0)1, (0)1yy可得： 12 1 12 2 1,2 1 1 11 CC C rC r rk ，解得 12 1 2 CC 代入可得 12 0 12 111 ( )() 21111 121 21 (1) CC y x dx rrkk kk 跟谁学考研整理 （17） （本题满分 10 分） 设函数( , )
41、f x y满足 2 ( , ) (21) x y f x y xe x ，且(0, )1fyy， t L是从点 (0,0)到点( 1 ,)t的光滑曲线，计算曲线积分 ( , )( , ) ( ) t L f x yf x y I tdxdy xy ，并求( )I t的最小值. 【答案】3 【解析】 根据 2 ( , ) (21) x y f x y xe x 可得： 222 222 2 ( , )(21)2 ()( ) ( ) x yyxx yxxx x y f x yxedxexe dxe dx exee dxe dxy xey 又(0, )1fyy故可知( )1yy，因此 2 ( , )1
42、 x y f x yxey 所以 2 ( , ) 1 x y f x y xe y ， 22 ( , )( , ) ( )(21)(1) tt x yx y LL f x yf x y I tdxdyxedxxedy xy 设 22 (21),1 x yx y PxeQxe ，则有 222 (21),2 xyxyxy PQ xeexe yx 因此 PQ yx ，因此积分与路径无关 故 22 1 22 00 222 2 ( )(21)(1) (21)(1) t x yx y L t xy t t I txedxxedy xe dxedy etee te 因为 2 ( ) t I tte ，所以
43、2 ( )1 t I te ，令( )0I t 可得2t 而 2 ( ) t Ite ，因此(2)10I ，因此当2t 有最小值为(2)2 13I . （18） （本题满分 10 分） 设有界区域由平面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面 的外侧，计算曲面积分 2 (1)23Ixdydzydzdxzdxdy . 【答案】 1 2 【解析】 2 (1)23Ixdydzydzdxzdxdy ，令 2 1,2 ,3PxQy Rz 由高斯公式可知： 跟谁学考研整理 1 2 0 2 11 2 2 00 ()(223)(21) (21) (2) 2 (2) 2 1 2 xy xy y x D D x PQR Idxdydzxdxdydzxdxdydz xyz dxdyxdz y xxxydxdy y dxxxxydy （19） （本题满分 10 分） 已 知 函 数( )f x可 导 ， 且 1 (0)1,0( ) 2 ffx. 设 数 列 n x满 足 1 () (1, 2 ,) nn xf xn L，证明： （）级数 1 1 () nn n xx 绝对收敛； （）lim n n x 存在，且0lim2 n n x . 【答案】利用绝对收敛定义证明即可。 【解析】 （）证： 1