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1、-【江苏版】高三数学三轮总动员：专题（3）平面向量、解三角形（解析版）-第 10 页【方法引领】【举例说法】一、平面向量与三角函数综合例1已知向量m=(cos ，sin )，n=(，-1)，(0，).(1)若mn，求角的大小；(2)求|m+n|的最小值.(2)因为m+n=(cos +，sin -1)，所以|m+n|=因为(0，)，所以+，故当+=，即=时，|m+n|取得最小值1.【练习】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2+cos 2C=1.(1)求角C的大小；(2)若向量m=(3a，b)，n=，且mn，(m+n)(m-n)=16，求a，b，c的值. 所以cos C=
2、或cos C=-1.因为C(0，)，所以C=.(2)因为mn，所以3a2-=0，即b2=9a2.又(m+n)(m-n)=16，所以8a2+=16，即a2+=2.由可得a2=1，b2=9，所以a=1，b=3.又c2=a2+b2-2abcos C=7，所以c=，所以a=1，b=3，c=. 二、正弦定理、余弦定理的应用例2【2017南京二模】如图，在ABC中，D为边BC上一点，AD6，BD3，DC2（1）若ADBC，求BAC的大小；（2）若ABC，求ADC的面积（2）设BAD 在ABD中，ABC，AD6，BD3由正弦定理得 解得sin 8分因为ADBD，所以为锐角，从而cos 10分因此sinADC
3、sin()sincoscossin 12分ADC的面积SADDCsinADC 14分【练习】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2acos B，b=2，求ABC的面积.【解答】(1)在ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得=-，即cos C=-.因为0C，所以C=.(2)方法一：因为c=2acos B，由正弦定理，得sin C=2sin Acos B.因为A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)，所以sin(A+B)=2sin Acos B，即sin Acos B-cos Asin B=0
4、，所以sin(A-B)=0.又-A-B，所以A-B=0，即A=B，所以a=b=2.所以ABC的面积为SABC=absin C=22sin =.方法二：由c=2acos B及余弦定理，得c=2a，化简得a=b，所以ABC的面积为SABC=absin C=22sin =.三、平面向量与解三角形综合例3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且ab.(1)求角B的大小；(2)若b=ccos A，ABC的外接圆的半径为1，求ABC的面积.所以cos B=.因为B(0，)，所以B=.(
5、2)因为ccos A=b，所以=，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2Rsin B=，解得a=1，c=2.所以SABC=acsin B=.【练习】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且mn. (1)求cos C的值；(2)若c=，ABC的面积S=，求a，b的值.【解答】(1)因为mn，所以ccos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin Ccos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin Acos C.因为A+B+C=，所以sin(B+C)=sin A.又因
6、为A(0，)，所以sin A0，所以cos C=.(2)因为C(0，)，cos C=，所以sin C=.因为S=absin C=，所以ab=2.因为c=，由余弦定理得3=a2+b2-ab，所以a2+b2=4，由，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=(a=-舍去)，所以a=b=.【实战演练】1. 在斜三角形ABC中，tan A+tan B+tan Atan B=1.(1)求角C的大小；(2)若A=15，AB=，求ABC的周长.即tan(180-C)=1，tan C=-1.因为0C180，所以C=135.(2)在ABC中，A=15，C=135，则B=180-A-C=30.由正弦定理=，得=2
7、，故BC=2sin 15=2sin(45-30)=2(sin 45cos 30-cos 45sin 30)=，CA=2sin 30=1.所以ABC的周长为AB+BC+CA=+1+=.2. 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=，tan(A-B)=-.(1)求tan B的值；(2)若b=5，求c的值.又因为tan(A-B)=-，所以tan B=tanA-(A-B)= =2.(2) 由(1)知tan B=2，得sin B=，cos B=，所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=，由正弦定理=，得c=.3. 如图，在梯形ABC
8、D 中，已知ADBC，AD=1，BD=2，CAD=，tanADC=-2.(1)求CD的长；(2)求BCD的面积.=sinADC+=sinADCcos +cosADCsin 在ADC中，由正弦定理得CD=.(2) 因为ADBC，所以cosBCD=-cosADC=，sinBCD=sinADC=.在BDC中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD，即BC2-2BC-35=0，解得BC=7，所以SBCD=BCCDsinBCD=7=7.4. 在ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且mn=3bcos B.(1)求c
9、os B的值；(2)若a，b，c成等比数列，求+的值.【解析】(1) 因为mn=3bcos B，所以acos C+ccos A=3bcos B.由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos B，所以sin(A+C)=3sin Bcos B，又+=+.=5. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C+ccos B=2acos A.(1)求角A的大小；(2)若=，求ABC的面积.【解析】(1) 方法一：在ABC中，由正弦定理及bcos C+ccos B=2acos A，得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A，即sin
10、 A=2sin Acos A.因为A(0，)，所以sin A0，所以cos A=，所以A=.方法二：在ABC中，由余弦定理及bcos C+ccos B=2acos A，得b+c=2a，所以a2=b2+c2-bc，所以cos A=.因为A(0，)，所以A=.(2) 由=cbcos A=，得bc=2，所以ABC的面积为S=bcsin A=2=. 6. 已知ABC的面积为S，且=S.(1)求sin A；(2)若|=3，|-|=2，求sin B.所以A为锐角，且sin2A+cos2A=sin2A+sin2A=sin2A=1，所以sin A=.(2) 因为|=c=3，|-|=|=a=2，由正弦定理得=，
11、即=，所以sin C=.又因为ca，所以C为锐角，所以C=，所以 sin B=sin=sin Acos +cos Asin =+=.7. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b2+c2=a2-bc.(1)求角A的大小；(2)若=-8，求ABC的面积.所以SABC=bcsin A=16=4.$.8. 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，ABC的面积S满足S=bccos A.(1)求角A的大小；(2)若a=，求c的取值范围.【解析】(1) 在ABC中，由S=bccos A=bcsin A，得tan A=.因为0A，所以A=.(2) 由a=，A=及正弦定理得=2，所以c=
12、2sin C=2sin(-A-B)=2sin.因为A=，所以0B，所以0-B，所以0sin1，02sin2，即c的取值范围为(0，2.9. 已知函数f(x)=sin xcos x-cos 2x(xR).(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=，c=，f(C)=1，试判断ABC的形状，并求ABC的面积.(2) 因为f(C)=1，所以sin=1.因为02C2，所以-2C-，所以2C-=，所以C=.因为B=，所以A=，所以ABC是直角三角形.由正弦定理，得=2，所以b=1.设ABC的面积为S，则S=bc=. 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org