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1、-【江苏版】高三数学三轮总动员：专题（7）直线与椭圆（解析版）-第 11 页【方法引领】【举例说法】一、求圆锥曲线的标准方程例1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点P(0，1)，Q(0，2)，设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上.【分析】(1)利用直线与圆相切求出b的值，然后利用离心率可求出a的值，从而求出椭圆方程.(2)解出两直线的交点，验证满足椭圆方程即可.所以=，所以a=2，所以椭圆C的标准方程为+=1
2、.(2)由题意可设M，N两点的坐标分别为(x0，y0)，(-x0，y0)，则直线PM的方程为y=x+1，直线QN的方程为y=x+2.设点T的坐标为(x，y).联立解得x0=，y0=.因为+=1，所以+=1，整理得+=(2y-3)2，所以+-12y+8=4y2-12y+9，即+=1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上.【点评】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0，n0，mn)的形式.【练习】已知中
3、心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动点P到定点Q(，0)的距离与点P到定直线l：x=2的距离之比为，求动点P的轨迹C的方程.【分析】本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础知识，以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.故椭圆C的方程为+=1.(2)设点P(x，y)，依题意，得=，整理，得+=1，所以动点P的轨迹C的方程为+=1.【点评】本题第一问已知焦点即知道了c，再利用椭圆定义先求得2a的值，再利用椭圆中a，b，c的关系，求得b的值，从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1，代入已知点求解，显然
4、没有利用定义来得简单. 学科￥%二、求离心率的值或范围例2如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2分别为椭圆+=1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为.(例2(1)(2)如图(2)，已知点A，F分别是-=1(a0，b0)的左顶点与右焦点，过A，F作与x轴垂直的直线分别与两条渐近线交于P，Q，R，S，若SROS=2SPOQ，则双曲线的离心率为.(例2(2) (3)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以
5、PF1为底边的等腰三角形.若PF1=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是.【点拨】依题设得出关于a，b，c的等式或不等式，再消去b.【答案】(1)2-5(2)(3)又M在椭圆+=1(ab0)上，故+=1，即e2+10e-3=0，解得e=2-5.(2)由题意，得A(-a，0)，F(c，0)，直线PQ，RS的方程分别为x=-a，x=c，与渐近线y=x联立，可求得P(-a，b)，Q(-a，-b)，R，S，则SROS=c=，SPOQ=a2b=ab，于是由SROS=2SPOQ，得=2ab，即=2，所以e=.(3)设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c=PF2=2
6、a-10，2m=10-2c，a=c+5，m=5-c，所以e1e2=.又由三角形性质知2c+2c10，又由已知得2c10，c5，所以c5，14，0-1.【练习】已知椭圆+=1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰好在椭圆的右准线上，则该椭圆的离心率为.【答案】所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=.从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=.三、直线与圆锥曲线问题例3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(ab0)过点A(2，1)，离心率为.$. (1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y=kx+m(k0)与椭圆相交于B
7、，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程.(例3)【点拨】联立方程化归为一元二次方程的根与系数问题.所以所求椭圆的方程为+=1.(2)将y=kx+m(k0)代入椭圆方程，得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0，由线段BC被y轴平分，得xB+xC=-=0，因为k0，所以m=0.因为当m=0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(-x，-kx)，由方程，得x2=，又因为ABAC，A(2，1)，所以=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)=5-(1+k2)x2=5-=0，所以k=，由于k=时，直线y=x过点A(2，1)，故k=不符合题设.所以直线
8、l的方程为y=-x.【点评】解析几何包含两个主要问题，即已知曲线求方程和已知方程研究曲线的性质.对解析几何的复习，要在牢固掌握与解析几何有关的基本概念基础上，把上述两个问题作为复习和研究的重点，把握坐标法思想的精髓.【练习】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(ab0)的离心率为，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P，Q.(1)若直线l的斜率为，求的值；(2)若=，求实数的取值范围.【解答】(1)由条件知解得联立方程组消去x，得3y2-4y=0，所以yP=.由消去x，得5y2-8y=0，所以yQ=.所以=.(2)因为=，且，同向，则=-1，
9、设直线l：y=k(x+2)，联立方程组消去x，得(k2+1)y2-4ky=0，所以yQ=，同理yP=，=-1=-1=-1=1-.因为k20，所以00)，因为曲线C过点P(1，3)，所以9=2p，解得p=，从而其焦点到准线的距离为p=4. 设椭圆C：+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率为.(第4题)【答案】所以AF1=2AF2.设AF2=n，则AF1=2n，F1F2=n.所以e=.5. 设椭圆+.=1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为.【解析】
10、由题意可知抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以c=2.因为离心率为，所以a=4，所以b=2，所以椭圆的短轴长为4.6. 设A，B分别是椭圆+=1(ab0)的左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B的一点，若直线AP与BP的斜率之积为-，则椭圆C的离心率为.【解析】由题意知A(-a，0)，B(a，0)，取P(0，b)，则kAPkBP=-，故a2=3b2，所以e2=，即e=.7. 已知椭圆C：+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是.8. 如图，已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭
11、圆上一点，M在PF1上，且满足=(R)，POF2M，O为坐标原点.(1)若椭圆方程为+=1，且P(2，)，求点M的横坐标；(2)若=2，求椭圆离心率e的取值范围.【解析】(1) 因为+=1，所以F1(-2，0)，F2(2，0)，所以kOP=-=，所以直线F2M的方程为y=-(x-2)，直线F1M的方程为y=(x+2).联立解得x=，所以点M的横坐标为.(2) 设P(x0，y0)，M(xM，yM).因为=2，所以=(x0+c，y0)=(xM+c，yM)，所以M，=因为-ax0a，所以x0=(0，a)，所以0a2-ac.综上，椭圆离心率e的取值范围为.9. 如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心
12、，F为椭圆的右焦点，且=1，|=1.(1)求椭圆的标准方程.(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使得点F恰为PQM的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1) 设椭圆方程为+=1(ab0)，则c=1.因为=1，即(a+c)(a-c)= 1=a2-c2，所以a2=2，故椭圆方程为+y2=1.又yi=xi+m(i=1，2)，得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0，即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0，所以2-(m-1)+m2-m=0，解得m=-或m=1(舍去).经检验m=-符合条件，所以直线l的方程为y=x-.10. 如图，椭圆C：+=1(ab0)的一个焦点为F(1，0)，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知A，B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，求证：点M恒在椭圆C上.【解析】(1) 由题意得解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为+=1.解得点M的坐标为.代入椭圆方程中，得由+=1，得n2=3，代入上式得+=1.所以点M恒在椭圆C上. 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org