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1、-2014年北京高考数学文科试题及答案-第 7 页绝密启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，则（ ） （A） （B） （C） （D）（2）下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ） （A） （B） （C） （D）（3）已知向量，则（ ） （A） （B） （C） （D）（4）执行如图所示的程序框图，输出
2、的值为（ ） （A） （B） （C） （D）（5）设、是实数，则“”是“”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件（6）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） (A) (B) (C) (D)（7）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） （A） （B） （C） （D）（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A）分钟 （B）分钟
3、（C）分钟 （D）分钟第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若，则 .（10）设双曲线的两个焦点为，一个顶点是，则的方程为 .（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .（12）在中，则 ； .（13）若,满足，则的最小值为 .（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。
4、解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知是等差数列，满足，数列满足， 且为等比数列.（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和.（16）（本小题13分）函数的部分图象如图所示.（）写出的最小正周期及图中、的值；（）求在区间上的最大值和最小值.（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1628317422525612768292
5、合计100（）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（）求频率分布直方图中的a，b的值；（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）（19）（本小题14分）已知椭圆C：.（）求椭圆C的离心率；（）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数.（）求在区间上的最大值；（）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）绝密考试结束前 2014年普通高等学校招生全国统一考试
6、数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2（10） （11） （12） （13）1 （14）42三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（） 设等差数列的公差为，由题意得所以设等比数列的公比为，由题意得，解得所以从而（）由知数列的前项和为，数列的前项和为所以，数列的前项和为（16）（共13分）解：（） 的最小正周期为 （） 因为，所以于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值（17）（共14分）解：（）在三棱柱中，
7、底面所以又因为所以平面所以平面平面（）取中点，连结，因为，分别是，的中点，所以，且因为，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面（）因为，所以所以三棱锥的体积（18）（共13分）解：（）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为（）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以（）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组（19）（共14分）解：（）由题意，椭圆的标准方程为所以，从而因此，故
8、椭圆的离心率（）设点，的坐标分别为，其中因为，所以，即，解得又，所以因为，且当时等号成立，所以故线段长度的最小值为（20）（共13分）解：（） 由得.令，得或.因为， 所以 在区间上的最大值为 .（） 设过点的直线与曲线相切于点 则且切线斜率为 所以切线方程为，因此 .整理得.设 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.与的情况如下：0100所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点当且，即时，因为，所以 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是 .（） 过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切.：