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1、-【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理-第 8 页第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程满足初始条件的解的逐次逼近，并求出的最大值，其中的意义同解的存在唯一性定理中的。解 函数在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题的解在上存在唯一，其中。因为逐次逼近函数序列为 此时，所以现在求的最大值。因为 对任给的正数，上式中，当 时，取得最大值。此时，当且仅当，即时，取得最大值为。评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的等常数意义的理解和对逐次逼近函数列的构造
2、过程的理解。例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。1） 。2） 。证 1） 以原点为中心作闭矩形区域。易验证在区域上满足解的存在唯一性定理的条件，求得，则。因此初值问题的解在上存在唯一，从而在区间上方程满足条件的解存在唯一。2） 以原点为中心作闭矩形区域。易验证在上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得，则。由于，所以当时，当取到最小值，从而可取到最大值，故。当且仅当，即时，取到最大值为。即证明了初值问题的解在区间上存在唯一。 从而在区间上解存在唯一。评注：此例是应用解的存在唯一性定理，求出初值问题解存在唯一的区间。一般解法是先作出适当的闭矩形区域；然后验证在此区域中满足解的存在
3、唯一性定理的条件；最后求出定理3.1中的。例3-3 证明如果在闭矩形域上存在且连续, 则在上关于满足利普希兹条件，反之不成立。证 因为在闭矩形域上存在且连续,所以在区域上有界，即，有成立，利用中值定理，其中是介于之间的点，命题得证。反之不成立。因为对于方程，取以原点为中心的矩形域，在无导数，但，故 在上关于满足利普希兹条件。评注：通过本例的证明显然可以得到下面结论：若在某矩形区域内某一点处不存在，且在的邻域内无界，则 在上关于不满足利普希兹条件。例3-4 举例说明定理3.1 中的两个条件是保证初值问题的解存在唯一的充分条件，而非必要条件。解 1） 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程显
4、然在以原点为中心的矩形域中不连续，间断点为直线，但解存在唯一，过原点的解为，。2） 当利普希兹条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程 由于，无界，因而在的任何邻域内不满足利普希兹条件。然而可见方程通过解存在唯一。评注：在应用定理3.1时，一定要注意，当条件不满足时，不能得出解不存在唯一的结论。例3-5 利用解的存在唯一性定理，寻找区域，使得，方程满足初始条件的解存在唯一。 解 设，显然，它在整个平面上连续。而，由例3-3，在不包含的区域内，有满足利普希兹条件。若时，不存在，但当，无界，即在包含点或的任何区域中利普希兹条件不成立。故得所求区域为。评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，
5、就是寻找连续和关于满足利普希兹条件的区域。对于所得到的区域，都能存在一个完全包含在内的闭矩形区域，使得在此矩形域中满足解的存在唯一性定理的条件，从而保证初值问题的解存在唯一。例3-6 对于方程和点能否应用定理3.1?解 当时，我们可以考虑方程其右端函数满足定理3.1的条件，即方程通过点的解存在唯一，此时解为。 时，定理3.1不能用。事实上，由方程的通解表达式知，方程通过的解不为一。 评注：在研究解的存在唯一性时，也可以将视为的函数。例3-7 能否用逐次逼近序列求初值问题的解。解 不能，因为用逐次逼近函数序列，得即收敛于解。但另一方面，通过方程直接求解得也是方程满足条件的解，即用逐次逼近函数序列
6、就不能得到此解。评注：应在保证初值问题解存在唯一的情况下，利用逐次逼近序列序列求近似解。例3-8 证明：如果函数于整个平面上连续有界，且关于满足局部利普希兹条件，则方程的任一解均可以延拓到区间。证 易验证满足延拓定理的推论的条件，则过平面上任一点的解存在唯一且可延拓，设过的解为。因为有界，即，均有不等式成立，我们考虑下列三个初值问题显然，由第一比较定理，得，当时， ，当时，即对任何有限区间，当趋于区间端点时，都不可能无界，由延拓定理的推论知，的解可延拓到整个区间。又由的任意性，命题得证。评注：解的延拓定理的条件再加上有界是保证解的存在区间为的充分条件，而非必要条件，比如柯西问题的解为，其存在区
7、间为，而在面上无界。例3-9 设在上连续，求证：对，只要充分小，初值问题 （1）的解必可延拓到。证 因为在上连续，则方程的右端函数在上连续；且在任意有界闭区域上都有下式成立 其中表示在中的最大值。这样就关于满足局部利普希兹条件。故初值问题（1）的解必存在唯一、且连续可微，可进行延拓。下面将证明对，当充分小时，初值问题（1）的解在区间上存在。用反证法。若不然，初值问题（1）有解，其中取 ，它的右行饱和区间为，且当时无界。这样，必存在点，使得（或），且（或）。 另一方面，由于，可知在曲线上，解曲线的斜率为零，即有。矛盾。因此，对，当时，初值问题（1）的解在区间上存在。评注：在应用解的延拓定理时，注
8、意特殊曲线上积分曲线的性质。类似的问题有：设在上连续，求证：对，只要充分小，初值问题的解必可延拓到。例3-10 试证对任意，方程 满足初始条件的解都在上存在。证 函数在整个平面上满足存在唯一性定理的条件，且有将原方程与下列方程与比较，由比较定理，原方程满足的解在其存在区间上满足 ， 当时， ， 当时， 由延拓定理，积分曲线可以无限远离原点，故必在上存在。评注：本例是比较定理的应用，也可用例3-8直接得出结论。例3-11 利用克莱罗（Clairaut）方程构造一个以为奇解的一阶方程式，这里假设，且为的严格单调函数。解 需要构造的一阶方程式是克莱罗方程，且应满足此方程的判别曲线方程，因此，我们构造判别曲线方程其中将视为的函数，现寻求关于的表达式。为此，对式两端关于求偏导数，得整理得，或 =0 （不合题意，舍弃）。由于为的严格单调函数，则其反函数存在，故从可解得其反函数且表示如下因而方程的判别曲线方程为，所求克莱罗方程为。评注：已知方程的某一特解来构造满足一定条件的微分方程是考研中常见的题型。此题是知道奇解求作一阶克莱罗方程。用此例的方法，可以方便求得以抛物线为奇解的一阶克莱罗方程为。