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1、-数学中的恒成立与有解问题-第 9 页 数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 常用方法 1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题（1） 求二次函数的解析式。（2） 若在区间上恒成立 ，求的
2、取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设.由得,故.即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是.规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。二、有解问题3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同（1） 同例题2.（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。规律总结：若方程在某个区间上
3、有解只需求出在区间上的值域A使。4、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同（1） 同例题2.（2） 若在区间上有解 ，求的取值范围。解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知在有解,即在有解令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。.规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px4x+p-3恒成立，求x的取值范围分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-
4、4)x+3-p,于是问题转化为当p时y0恒成立，求x的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于p的一次函数大于0恒成立的问题解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意由题设知当0时f(p)0恒成立，f(0)0,f(4)0即x2-4x+30且x2-10，解得x3或x3或x-1二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归
5、为解关于参数的不等式的问题。三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的 例3设，若不等式恒成立，求a的取值范围 分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆设函数，其图象为直线在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为 例5、不等式(x-1)2logax 在x(1,2)上恒成立，求a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。 解：设y1=(x-1)2,y2=logax
6、,如右图所示 要使对一切x(1,2),y11, 且loga21。1a2四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。例4当时，不等式恒成立，求a的取值范围解：（1）当时，由题设知恒成立，即，而 解得（2）当时，由题设知恒成立，即，而 解得a的取值范围是已知函数的单调性求参数范围问题方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则 ”来求解.例：若函数在上单调递减,求实数的取值范围. 思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.
7、解析：方法一：由在上单调递减知，即在上恒成立, 即在, 故. 综上可知，的取值范围是3,+). 方法二：当时，,故在上单调递增，与在 上单调递减不符，舍去. 当时，由得x0，即的单调递减区间为，与 在上单调递减不符，舍去. 当时，由得0x，即的减区间为，由在 上单调递减得,得a3. 综上可知，的取值范围是3,+).练习3(2012许昌模拟)若不等式ax2bx20的解集为，则ab （ ）A28 B26 C28 D26解析x2，是方程ax2bx20的两根，a4，b7.ab28.答案C7. 若不等式的解集中的整数有且仅有1,2,3，则的取值范围是 .8. 设函数，则的最小值是 3 ，若，则的取值范围
8、是 . 对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 （ B ）A. B. C. D.10不等式ax22ax10对一切xR恒成立，则实数a的取值范围为_解析当a0时，不等式为10恒成立；当a0时，须即0a1，综上0a1.答案0,112. 已知关于的不等式0的解集是.则 .【解析】由不等式判断可得a0且不等式等价于由解集特点可得答案：-214.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围审题视点 化为标准形式ax2bxc0后分a0与a0讨论当a0时，有解原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得所以所以a2.故a的取值范
9、围是(2，) 不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，【训练2】 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_解析法一当x(1,2)时，不等式x2mx40可化为：m5，则m5.法二设g(x)x2mx4当，即m3时，g(x)g(2)82m，当，即m3时，g(x)g(1)5m由已知条件可得：或解得m5答案(，515.若a1,3时,不等式ax2+(a-2)x-20恒成立，求实数x的取值范围.15. 【解析】设f(a)=a(x2+x)-2x-2，则当a1
10、,3时f(a)0恒成立.得x2或x2或x0恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0 综上，有a,故选C 4、已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）3、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（答：（,）；5、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）1已知yx3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是() Ab1或b2 Bb2或b2 C1b2 D1b2 解析D由题意，得yx22bxb20在R上恒成立，4b24(b2)0， 解得1b2.2函数f(x)x3(2a)x22ax5在区间1,1上不单调，则a的取值范围是_ 解析f(x)x2
11、(2a)x2a(x2)(xa)0的两根为x12，x2a.若f(x)在1,1 上不单调，则1a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_ 解析由题意知，f(x)3x2a在1，)上有3x2a0恒成立，a(3x2)min，而 (3x2)min3，a3.4已知f(x)exax1. 若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围 解析 f(x)exax1， f(x)exa.f(x)在R上单调递增， f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立 xR时，ex(0，)，a0. 即a的取值范围为(，0 5函数f(x)mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的取值范围是_ 解析由题意知2，
12、m16，f(1)9m25. 6.已知函数在R上是减函数，求实数a的取值范围 解由题意得f(x)3ax26xf(x)在R上是减函数， 则(xR)恒成立， 解得a3. 故实数a的取值范围是(，3 7.已知函数在(，1上是增函数，试求实数a的取值范围 解析f(x)3x22ax1，由于函数f(x)在(，1上是增函数， 当x(，1时，(在个别点f(x)可以为0)恒成立， 即3x22ax10在x1时恒成立令g(x)3x22ax1， 4a2120或， 即a23或 a23，即a. 故a的取值范围是，1已知函数若在区间是增函数，求实数的取值范围。解： ，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；解析：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.5.若上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解析：题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故为正确答案