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1、-第九章 平面解析几何 第48课 直线与椭圆的位置关系课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)过点A(2,1)，离心率为.图485(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程. 【导学号：62172267】解(1)由条件知椭圆1(ab0)的离心率为e，所以b2a2c2a2.又点A(2,1)在椭圆1(ab0)上，所以1，解得所以，所求椭圆的方程为1.(2)将ykxm(k0)代入椭圆方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx
2、4m280.由线段BC被y轴平分，得xBxC0，因为k0，所以m0.因为当m0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因为ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k时，直线yx过点A(2,1)，故k不符合题设所以，此时直线l的方程为yx. 2已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，b1，故椭圆C的方程x
3、21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)上单调递增，t，0b0)过点P，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点若直线l过椭圆C的右焦点，记ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；若直线l的斜率为，试探究OA2OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】解(1)1，得a24，b23.所以椭圆C：1.(2)设直线l的方程为xmy1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化简得
4、(3m24)y26my90，易知0，所以y1y2，y1y2，所以kAPkBP，所以tkABkAPkBP2，所以当m时，t有最大值.设直线l的方程为yxn，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)243(2n26)0，即n.x1x2，x1x2，OA2OB2xyxy(xx)(yy)xx22(xx)n(x1x2)2n2(x1x2)2x1x2n(x1x2)2n22n2n27.所以当直线l的斜率为时，OA2OB2为定值7.2(2017泰州期末)如图486，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，椭圆C：y21，A为椭圆右顶点过原点O且异于坐标轴
5、的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.图486(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数，使得kPQkBC？若存在，求值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.解(1)设B(x0，y0)，则C(x0，y0)，y1，A(2,0)，所以k1k2.(2)联立得(1k)x24kx4(k1)0，解得xp，ypk1(xp2)，联立得(14k)x216kx4(4k1)0，解得xB，yBk1(xB2)，所以kBC，kPQ，所以kPQkBC，故存在常数，使得kPQkBC.(3)当直线PQ与x轴垂直时，Q，则kAQk2，所以直线AC必过点Q.当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y，联立，解得xQ，yQ，所以kAQk2，故直线AC必过点Q.-第 5 页-