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1、-抛物线简单几何性质-第 9 页抛物线的简单几何性质一、要点精讲抛物线的的简单几何性质标准方程图 形性 质范围， ， 焦半径对称轴轴轴顶点离心率通径过焦点且与对称轴垂直的弦，二、课前热身1抛物线的焦点到准线的距离是（ ）(A)2.5 (B)5 (C)7.5 (D) 102抛物线上一点为，且点到抛物线焦点F的距离为10，则F到准线的距离为(A)4 (B)8 (C) 12 (D)163.（15陕西）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= 4、(2016新课标) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k0）与C交于点P，PFx轴，则k=（A） （B）1 （C） （D）25通过直线与圆的交点
2、，且对称轴是坐标轴的抛物线方程是 .6已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，通径为线段AB，且（O为坐标原点），求抛物线方程三、典例精析类型一：求抛物线的方程1、求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程2. 如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为() Ay29x By26x Cy23x Dy2x解：如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|B
3、B1|，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x，故选C.3、已知圆，与顶点在原点O，焦点在轴上的抛物线交于A,B两点，OAB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆相交的公共弦长等于，求这个抛物线的方程5、直线和相交于M，点N ，以A,B为端点的曲线段C上任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当坐标系，求曲线段C的方程6、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，
4、设A,B是抛物线C上两个动点（AB不垂直于x轴），且，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)求此抛物线的方程类型二：抛物线的几何性质7如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是() A. B. C. D.解析由题可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则.8设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是() A(0,2) B0,2 C(2，) D2，)解析
5、设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y2，由圆与准线相交知44，所以y02.故选C.9. 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为() A. B. C. D2解析焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以B的横坐标为，纵坐标为，SAOB1(2).10平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则
6、C1的离心率为_解析由题意，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF1，即1，整理得b2a2，所以c2a2b2a2，故ca，即e.11已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为 () A(2,2) B(2，2) C(2，) D(2，2)解析如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，|
7、AF|AM|3，设A，13，解得y02. 2，点A的坐标是(2，2)类型二：与抛物线有关的最值问题12. 已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是() A. B3 C. D2解:抛物线准线方程为x，当MQx轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时|QM|QF|3，选C.13已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是_解析由题意知，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)根据抛物线的定义，点P到点Q的距离
8、与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|11.14、若点P在上，点Q在上，则的最小值为 （ ） (A) (B) ( C) (D) 点P到点Q的距离的最小值可用点P到圆心距离的最小值减去圆的半径来求15已知圆C：x2y26x8y210，抛物线y28x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m|PC|的最小值为_解析由题意得圆C的方程为(x3)2(y4)24，圆心C坐标为(3，4)由抛物线定义知，当m|PC|最小时，为圆心与抛物线焦点间的距离，即(m|PC|)min.16、在抛物线y24x上求一点P，使点P到
9、直线y=x+3的距离最小.该命题可转化为求一条平行于y=x+3的直线y=x+b与抛物线y2=4x相切，求出切点，此时点P到直线y=x+3的距离最短，联立方程得x2+（2b-4）x+b2=0，令=0，即（2b-4）2-4b2=0，b=1，故x=1，y=2，P为（1，2）抛物线y2=4x上一点P（1，2），使得点P到直线y=x+3的距离最短17、AB为抛物线上的动弦，且(为常数且)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离18、已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（ ）(A) (B) 4 ( C) (D) 19. 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有
10、一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为() A.2 B.1 C.2 D.1解析因为抛物线的方程为y24x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d11，又d11|PF|，所以d1d2d11d21|PF|d21，焦点F到直线l的距离d，而|PF|d2d，所以d1d2|PF|d211，选D.20.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D. 解：如下图，由题意可知21、（2016四川） 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM
11、的斜率的最大值为（A） （B） （C） （D）1法一：设（不妨设），则由已知得，故选C.法二：，则，后面同法一考点四：定点问题22. 设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x-2为准线 (1) 求抛物线顶点的轨迹C的方程； (2) 已知点B(0, -5)，轨迹C上是否存在满足的M, N两点？证明你的结论分析： 先判断直线与椭圆相交时的斜率的取值范围23、如图，A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB过定点（3）求弦中点的轨迹方程；解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)(1)kOA，
12、kOB. 因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y2y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明：因为yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，又x1x2，所以.所以直线AB的方程为yy1(xx1)(x)，所以yxy1xx(x2p)所以直线AB过定点(2p,0) （3）设P(x，y)，则，。由y2px1，y2px2，得 以，即24、已知知是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点在曲线上，过点作直线与交于两点，且的斜率满足，求证：直线过定点，并求此定点。 由知 四、能力提升1. 抛物线y= 25x
13、2的通径长是 （ ）(A) 25 (B) (C) (D) 2抛物线与直线ax+y-4=0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是（ ） (A) (B) (C) (D) 3边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点，且过AB的抛物线方程是（ ）(A) (B) (C) (D) 4已知点A(0,-3),B(2,3)，点P在x2 =y上，当PAB的面积最小时，点P的坐标为（ ）(A) (1,1) (B) (C) (D) (2,4)5. 一个动圆的圆心在抛物线y2= 8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则此动圆必经过的定点是（ ） (A) (0,2) (B) (0,-2)
14、 (C) (4,0) (D) (2,0)由题意可知直线x+2=0是抛物线y2= 8x的准线，而动圈圆心又在抛物线y2= 8x上，根据抛物线定义可知动圆圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，从而动圆必过抛物线焦点(2,0).6设A,B是抛物线x2 =4y上两点，O为原点，OAOB，A点横坐标是-1，则B点的横坐标为（ ）(A) 1 (B)4 (C) 8 (D) 167探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点上，已知镜口直径是60 cm，镜深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是（ ）(A) 11. 25 cm (B) 5. 625 cm(C) 20 cm (D) 10 cm8. 设
15、F为抛物线y2=ax(a0)的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为12，则|PF|等于（ ）(A) (B) (C) (D) 9以抛物线x2 =-4y的焦点为圆心，通径长为直径的圆的方程为 .解: 抛物线x2= -4y的焦点(0,-1)，通径长为2p=4，所以满足条件的圈的方程为x2+(y+l)2=4.10对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上； 焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; 抛物线的通径的长为5; 原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1). 能使此抛物线方程为y2=10x的条件是 （要求填写符合条件的序号）11已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的左焦点，并且这条准线与双曲线两焦点的连线垂直，求抛物线方程12. 抛物线顶点在原点，其准线过双曲线的一个焦点，且抛物线与双曲线交于、两点，求抛物线和双曲线方程