高中数学必修一集合与函数.docx-淘文阁

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1、集合的概念及集合的表示集合概念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表示方法列举法元素不重复元素无顺序元素间用“，”隔开描述法写清楚集合中元素的代号，如xR|x0，不能写成x2；说明该集合中元素的性质；所有描述的内容都写在大括号内。元素及集合的关系一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。常用数集及其记法N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合

4、）当a=1时，集合则为1，1，1，不符合集合元素的互异性。故a1。（2）同上，a=1时也不成立。（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为1，1，0。综上，a=0。知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素及顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是（）A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中

5、所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合。答案：D 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。例题判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75

6、m的学生可以组成集合。（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。（答题时间：15分钟）1. 下列集合表示法正确的是（）A. 1，2，3，3B. 全体有理数C. 00D. 不等式x32的解集是x|x52. 下列语句集合x|0x1可以用列举法表示；集合1，2，1含有三个元素；正整数集可以表示为1，2，3，4，；由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1。正确的是（）A. 只有和 B. 只有和C. 只有 D. 只有和3. 集合1，3，5，7，9用描述法表示应是（）A. x|x是不大于9的非负奇数B. x|x9，xNC. x|1x9，xND. x|

7、0x9，xZ4. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A. x|x1 B. y|（y1）20C. x1 D. 15. 集合M（x，y）|xy0，xR，yR是指（）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集6. （x，y）|xy6，x，yN用列举法表示为_。1. D2. D 解析：表示无限集，不能一一列举，故不正确；含有相同的元素，不正确；、正确。3. A4. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是1，而C选项表示含有一个方程的集合。5. D 解析：xy0且y0或x0。因此集合M表示第二、四象限内的点集。6. （0，6），（1，5），（

8、2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意xA，有xB，则AB。若集合AB，但存在元素xB，且xA，则AB表示方法A为集合B的子集，记作AB或BA。A不是B的子集时，记作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，记作AB或BA。性质AA AAB，BCACAB，且BCAC子集个数含n个元素的集合A的子集个数为含n个元素的集合A的真子集个数为1空集不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集

9、，用符号语言表示为A；若A非空（即A），则有A。集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A及B的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或xB。（3）图形语言（Venn图）表示：。2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A及B的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且xB。（3）图形语言表示（Venn图）：。3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。（2）符号语言表示：A=

10、x|xU，且xA。（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1）表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB及BA不能同时成立。思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地及定义中的要素进行对比，即答案：（1）不正确。应该改为：，表示这个集合的元素是。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集及空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也

11、发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正确。1，2，3及3，2，1表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1，。（5）正确。（6）不正确。A=B时，AB及BA能同时成立知识点拨：结合本题，要注意以下几点：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的符号“”，不能写成，也不能写成。（2）分析空集、子集、真子集的区别及联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素及之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）

12、正确。AB包括两种情形：AB和A=B。（6）不正确。A=B时，AB及BA能同时成立。例题2 已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围。知识点拨：对于方程ax23x+2=0，aR的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0或a0时，方程的根的情况是不一样的。则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：（1）a=0时，原方程为3x+2=0x=，符合题意；（2）a0时，方程ax23x+2=0为一元二次方程，=98a0a。当a时，方程ax23x+2=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。综合（1）（2），知a=0或a。例题3 设集合Ax|xa|1，xR

15、构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答。这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形。（答题时间：15分钟）1. 下列四组中f（x），g（x）表示相等函数的是（）A. f（x）x，g（x）（）2B. f（x）x，g（x）C. f（x）1，g（x） D. f（x）x，g（x）|x|2. 下列函数中，定义域不是R的是（）A. ykxb B. yC. yx2c D. y3. 已知函数f（x）2x3，x1，2，3，则f（x）的值域为_。4. 已知函数f（x）x2x1.（1）求f（2），f（），f（a）。（2）若f（x）5，求x.5. 下列

16、式子中不能表示函数yf（x）的是（）A. xy21 B. y2x21C. x2y6 D. x1. B 解析：对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同。2. B 解析：选项A、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立。3. 1，1，3 解析：当x1时，f（1）2131，当x2时，f（2）2231，当x3时，f（3）2333，f（x）的值域为1，1，3。4. 解：（1）f（2）22215，f（）1，f（a）a2a1.（2）f（x）x2x15，x2x60，x2或x3.5. A 解析：对于A，由xy21得y2x1.当x5时，y2，故y不是x的函数；对B，y2x21是二次函数；

17、对C，x2y6yx3是一次函数；对D，由x得yx2（x0）是二次函数。故选A.函数的单调性性质图象定义增函数设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。减函数设函数f（x）的定义域为I。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。单调性及单调区间如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间。例题1 利用单调性定

18、义证明：函数f（x）=在其定义域内是增函数。思路导航：本题是利用单调性定义证明函数单调性的一个典型例子，由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。答案：证明：证法一：函数f（x）=的定义域是x1，+），任取x1、x21，+）且x1x2，则f（x2）f（x1）=。x1、x21，+），且x1x2，+0，x2x10。f（x1）f（x2），即函数f（x）=在其定义域上是增函数。证法二：函数f（x）=的定义域是x1，+，任取x1、x21，+）且x1x2，则，x1、x21，+），且x1x2，0x11x21。01。1。f（x2）=0，f（x1）f（x2）。函数f（x）=在其定义域1，+）上是

19、增函数。点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的，自变量x的取值必须是连续的。用定义证明函数的单调性的基本步骤是“取值作差（或作商）变形定号判断”。当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的方法来解决，特别是函数中含有指数式时常用此法。解决带根号的问题，常用的方法就是将分子、分母有理化。从形式上看是由“”变成“+”。例题2 f（x）是定义在（ 0，）上的增函数，且f（）= f（x）f（y）（1）求f（1）的值。（2）若f（6）= 1，解不等式 f（ x3 ）f（）2。思路导航：（1）利用赋值法，在等式中令x=y=1，则f（1）=0。（2）在等式中令x=36，y=6，则。故原不等式

20、为：即fx（x3）f（36），又f（x）在（0，）上为增函数，故不等式等价于。答案：（1）0 （2）点评：对于这种抽象函数问题，常利用赋值法解题。例题3 作出函数f（x）=的图象，并指出函数f（x）的单调区间。思路导航：由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间。原函数可化为f（x）=|x+1|+|x1|=答案：函数的图象如图所示：所以函数的递减区间是（，1，函数的递增区间是1，+）。点评：若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图象的直观性写出单调区间。去绝对值的关

21、键是令每一个绝对值等于0，找到分界点，再讨论去绝对值。（答题时间：15分钟）1. 设f（x）、g（x）都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（）若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递增若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递增若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递减若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递减A. B. C. D. 2. 已知函数f（x）在2，3上单调，且f（2）f（3）f（2a） B. f（a2）f（a）C. f（a2+a）f（a） D. f（a2+1）f（a）4. f（

22、x）是定义在R上的增函数，有下列函数：y=f（x）2是增函数；y=是减函数；y=f（x）是减函数；y=|f（x）|是增函数。其中错误的结论是_。5. 已知函数f（x）=x2+mx在（，1）上递减，在1，+上递增，则f（x）在2，2上的值域为_。6. 函数y=的单调递减区间是_。7. 用定义证明y=x3+1在（，+）是递减函数。8. 求函数y=2x1的最大值。1. C 解析：由函数单调性定义可得：正确，也可举反例否定命题。2. D 解析：由于f（x）在2，3上单调，又f（2）f（3）0， a2+1a。 f（x）在（，+）上为减函数， f（a2+1）f（a），选D。4. 解析：利用函数的单调性定义

23、判断。5. 1，8解析：由条件知：=1，m=2。 f（x）=x2+2x，ymin=1，ymax=f（2）=8。6. （，1）和（1，+）解析：解y=1+，可得单调递减区间是（，1）和（1，+）。7. 证明：设x10， y=f（x2）f（x1）=（x23+1）（x13+1） =x13x23=（x1x2）（x12+x1x2+x22） =（x1x2）（x1+）2+x22。 x1x2=x0， y0，即函数f（x）=x3+1在（，+）上是递减函数。8. 解法一：令t=（t0），则x=，y=1t=t+=（t+1）2+6。 t0，y=（t+1）2+6在0，+上为减函数，当t=0时，y有最大值。解法二：函数的定义域为（

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