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1、-中考数学专题训练：类比探究类问题解析版-第 7 页类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F(1) 如图1，求证：AE=DF；(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；(3) 如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G 直接写出线段AE长度的取值范围； 判断GEF的形状，并说明理由【答案】解：（1）在矩形ABCD中，EAM=FDM900，AME=FMD。AM=DM，AEMDFM（ASA）。AE=DF。（2）GEF是等腰直角三角形。
2、理由如下：过点G作GHAD于H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形。 GH=AB=2。MGEF， GME=90。AMEGMH=90。AMEAEM=90，AEM=GMH。又AD=4，M是AD的中点，AM=2。AN=HG。AEMHMG（AAS）。ME=MG。EGM=45。由（1）得AEMDFM，ME=MF。又MGEF，GE=GF。EGF=2EGM =90。GEF是等腰直角三角形。 （3）AE。GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GHAD交AD延长线于点H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形。GH=AB=2。MGEF， GME=90。AMEGMH=90。AMEAEM=90，AEM=
3、GMH。又A=GHM=90，AEMHMG。在RtGME中，tanMEG=。MEG=600。由（1）得AEMDFMME=MF。又MGEF，GE=GF。GEF是等边三角形。2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案
4、】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设AB
5、x，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。3、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1） 当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图），若ACB=，求的值（用含的式子表示）（5分） 【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方
6、形，P与C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如图
7、，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中， ，即。4、如图1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A.（1）BEF=_(用含的代数式表示)；（2）当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。【答案】解：（1）1802。（2）EB
8、=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。ADBC，A=180-ABC=1802，ADC=180C=180-。AB=AD，ADB=（180A）=。BDC=ADCADB=1802。由（1）得：BEF=1802=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180BEFEFB=EFB。EB=EF。（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD
9、=nDE，AG=AE=（n+1）DE。BG=AGAB=（n+1）DEmDE=（n+1m）DE。5、探索发现：已知：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。（1）如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；（2）如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解：（1）证明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。 点E在线段AB的垂直平分线上。 在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD， ABDBAC（SSS）。DBA=CAB。OA=OB。 点O在线段AB的垂直平分线上。 直线EM是线段AB的垂直平分线。（2）相等。理由如下： CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。 CDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。 。AM2=BM2。AM=BM。（3）作图如下： 作法： 连接AC，BD，两线相交于点O1； 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H； 连接BG，AH，两线相交于点O2； 作直线EO2，交AB于点M； 作直线MO1。则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。