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1、 重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（ ）A. B. C. D. 2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 3. 命题“，均有”的否定形式是（ ）A. ，均有 B. ，使得C. ，均有 D. ，使得4. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的
2、秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）A. B. C. D. 7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（ ）A. B. C. D. 10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线及交于点，直线及轴
3、交于点，则的值为（ ）A.2 B. C. 3 D. 11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（ ）A. B. C.0.3 D. 12. 已知中心在原点的椭圆及双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆及双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则_14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_15. 三棱锥中，垂直平面，则该三棱锥外接球的表面积为_16. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的
4、取值范围为_三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.） 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上. （）求证：平面 平面；（）当且为的中点时，求及平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。20. 在多面体中，四边形是正方形，.（） 求证：平面；（）在线段上确定一点，使得平面及平面所成的角为.21. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，过点及轴垂直的直线交椭圆于
5、，两点，的面积为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：及轴交于点，及椭圆交于，两个不同的点，若，求的取值范围.22. 已知函数（其中是自然对数的底数.）（1）讨论函数的单调性； （2）当函数有两个零点，时，证明：. 重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在处取得极值， 故选A2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
6、】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为5，底面是直角边长分别为3，4的直角三角形，三棱柱的体积 故选C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量3. 命题“，均有”的否定形式是（ ）A. ，均有 B. ，使得C. ，均有 D. ，使得【答案】B【解析】由命题的否定可知命题“，均有”的否定形式是“，使得”.故选B4. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可得“”，由“”可得“ ”，故“”是“”的充分不必要条件故选A.5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普
7、州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体， ；不满足条件，退出循环，输出的值为14故选C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象得:在上,;在
8、上, ;所以函数在单调递减, 在上单调递增,故选D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：由,可知,又,所以，正确；由,知或，而，所以，正确；由,知，正确；综上知，故选.考点：1.平行关系；2.垂直关系.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数函数在区间上单调递增，当时， 恒成立，即 即的取值范围为 故选B9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】第一次运行，满足
9、条件， 第二次运行，满足条件，第三次运行，满足条件，此时不满足条件，输出，故条件应为，8，9，10满足，不满足，故条件为 ，故选A【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线及交于点，直线及轴交于点，则的值为（ ）A.2 B. C. 3 D. 【答案】B【解析】如图所示：设的坐标为 由 则直线的方程为 令时，则 即 则直线的方程为 令，则 即 故选B11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（ ）A. B. C.0.3 D. 【答案】B【解析】如图，连接交于，连接，则 当最小时，最大，最大
10、，最小.即时，最大，如图，作于，设正方体棱长为1， 故选B12. 已知中心在原点的椭圆及双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆及双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 由于是以为底边的等腰三角形.若 即有 由椭圆的定义可得 由双曲线的定义可得 即有再由三角形的两边之和大于第三边，可得 则即有由离心率公式可得 由于 ，则有 ，即故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则_【答案】【解析】双曲线的离心率 即答案为.14. 已
11、知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_【答案】12【解析】抛物线的准线方程为：，焦点为，过向准线作垂线，垂足为， 故答案为：1215. 三棱锥中，垂直平面，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】由题，平面， 是三棱锥的外接球直径； 可得外接球半径 外接球的表面积 即答案为 16. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由，则令，解得；令，解得在是减函数，在 是增函数，即 对于任意的，不等式恒成立，则有 即可即不等式对于任意的恒成立， 当时，在是减函数， ， 符合题意当时，令 ，解得 ；令，解得当 即时，在 是减函数， ，
12、 （舍去）当 即时，在是增函数，在 是减函数， ，恒成立得符合题意当 时，当时，这及对于任意的 时 矛盾故不成立综上所述的取值范围为即答案为三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.） 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上. （）求证：平面 平面；（）当且为的中点时，求及平面所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求
13、解.试题解析：（）证明：是正方形，又底面，面，又面，面面（）设，连接，由（）可知平面，为及平面所成的角，又，分别为，中点，又底面，底面，在中，即及平面所成的角的大小为18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.【答案】（1） （2）1【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线：过点，且.列出方程组，即可求出；（2）由得所以斜率为，进而求得直线方程为得，由此可求的面积.试题解析：（1）由得 ，；（2）由得所以斜率为直线方程为得，所以的面积是.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：
14、（1）求导，由直线斜率为，即可求；由可求；（2）由可知在递减，在递增，比较，的函数值可得在上的值域.试题解析：（1），直线斜率为，由得；由得（2） 得在递减，在递增，又，所以值域是20. 在多面体中，四边形是正方形，.（） 求证：平面；（）在线段上确定一点，使得平面及平面所成的角为.【答案】（）见解析（）当点满足时，平面及平面所成角的大小为.【解析】试题分析：（）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可证明平面.（）由（）可得，平面，则平面平面.易知平面的一个法向量.由向量的夹角公式 ， 化简得，.即当点满足时，平面及平面所成角的大小为.试题解析：（）四边形是正方形，.在中，即得，即
15、，在梯形中，过点作，交于点.，在中，可求， ，.又，平面，（）由（）可得，平面，又平面，平面平面如图，过点作平面的垂线，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， ，.设，则. 设平面的一个法向量，则，即令，得.易知平面的一个法向量.由已知得 ， 化简得，.当点满足时，平面及平面所成角的大小为.21. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，过点及轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：及轴交于点，及椭圆交于，两个不同的点，若，求的取值范围.【答案】（）（）试题解析：（）根据已知椭圆的焦距为，当时，由题意的面积为
16、，由已知得，椭圆的标准方程为（）显然，设，由得，由已知得，即，且，由，得，即，即当时，不成立，即，解得或综上所述，的取值范围为或.22. 已知函数（其中是自然对数的底数.）（1）讨论函数的单调性； （2）当函数有两个零点，时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对进行分类讨论，确定在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性（2）先求出，令，求出，问题转化为证明，构造函数，通过函数的单调性证明即可试题解析：（1）解：因为，当时，令得，所以当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，恒成立，故此时函数在上单
17、调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，设函数的两个零点为，且. 由题意得： ， -得： 令 ，则 可化为： 要证： 只需证：即证： 构造函数 ，则 在单调递增， 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用及转化思想.其中（2）求出 问题转化为构造新函数，通过求导得到新函数单调性是解题的关键 重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在处取得极值， 故选A2. 某空间几
18、何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为5，底面是直角边长分别为3，4的直角三角形，三棱柱的体积 故选C【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量3. 命题“，均有”的否定形式是（ ）A. ，均有 B. ，使得C. ，均有 D. ，使得【答案】B【解析】由命题的否定可知命题“，均有”的否定形式是“，使得”.故选B4. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“”可得“”，由“
19、”可得“ ”，故“”是“”的充分不必要条件故选A.5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体，； 满足条件，执行循环体， ；不满足条件，退出循环，输出的值为14故选C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论.6. 函数的导函数的图像如图所
20、示，则的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象得:在上,;在上, ;所以函数在单调递减, 在上单调递增,故选D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】试题分析：由,可知,又,所以，正确；由,知或，而，所以，正确；由,知，正确；综上知，故选.考点：1.平行关系；2.垂直关系.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数函数在区间上单调递增，当时， 恒成立，即 即的取值范围为 故选B9. 如图所示程序框图输出的结果是，
21、则判断狂内应填的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】第一次运行，满足条件， 第二次运行，满足条件，第三次运行，满足条件，此时不满足条件，输出，故条件应为，8，9，10满足，不满足，故条件为 ，故选A【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线及交于点，直线及轴交于点，则的值为（ ）A.2 B. C. 3 D. 【答案】B【解析】如图所示：设的坐标为 由 则直线的方程为 令时，则 即 则直线的方程为 令，则 即 故选B11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（ ）A. B
22、. C.0.3 D. 【答案】B【解析】如图，连接交于，连接，则 当最小时，最大，最大，最小.即时，最大，如图，作于，设正方体棱长为1， 故选B12. 已知中心在原点的椭圆及双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆及双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为 由于是以为底边的等腰三角形.若 即有 由椭圆的定义可得 由双曲线的定义可得 即有再由三角形的两边之和大于第三边，可得 则即有由离心率公式可得 由于 ，则有 ，即故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
23、）13. 若双曲线的离心率为，则_【答案】【解析】双曲线的离心率 即答案为.14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为_【答案】12【解析】抛物线的准线方程为：，焦点为，过向准线作垂线，垂足为， 故答案为：1215. 三棱锥中，垂直平面，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】由题，平面， 是三棱锥的外接球直径； 可得外接球半径 外接球的表面积 即答案为 16. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由，则令，解得；令，解得在是减函数，在 是增函数，即 对于任意的，不等式恒成立，则有 即可即不等式对于任意的恒成立， 当
24、时，在是减函数， ， 符合题意当时，令 ，解得 ；令，解得当 即时，在 是减函数， ， （舍去）当 即时，在是增函数，在 是减函数， ，恒成立得符合题意当 时，当时，这及对于任意的 时 矛盾故不成立综上所述的取值范围为即答案为三、解答题 （本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.） 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上. （）求证：平面 平面；（）当且为的中点时，求及平面所成角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）利用正方形的性质和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的
25、判定和面面垂直的判定定理进行证明；（）利用（1）结论，得到线面角，再通过解三角形进行求解.试题解析：（）证明：是正方形，又底面，面，又面，面面（）设，连接，由（）可知平面，为及平面所成的角，又，分别为，中点，又底面，底面，在中，即及平面所成的角的大小为18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.【答案】（1） （2）1【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线：过点，且.列出方程组，即可求出；（2）由得所以斜率为，进而求得直线方程为得，由此可求的面积.试题解析：（1）由得 ，；（2）由得所以斜率为直线方程为得，所以的面积是.19. 已
26、知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求导，由直线斜率为，即可求；由可求；（2）由可知在递减，在递增，比较，的函数值可得在上的值域.试题解析：（1），直线斜率为，由得；由得（2） 得在递减，在递增，又，所以值域是20. 在多面体中，四边形是正方形，.（） 求证：平面；（）在线段上确定一点，使得平面及平面所成的角为.【答案】（）见解析（）当点满足时，平面及平面所成角的大小为.【解析】试题分析：（）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可证明平面.（）由（）可得，平面，则平面平面.易知平面的一个法向量.由向量的夹角公式 ， 化简得，.
27、即当点满足时，平面及平面所成角的大小为.试题解析：（）四边形是正方形，.在中，即得，即，在梯形中，过点作，交于点.，在中，可求， ，.又，平面，（）由（）可得，平面，又平面，平面平面如图，过点作平面的垂线，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， ，.设，则. 设平面的一个法向量，则，即令，得.易知平面的一个法向量.由已知得 ， 化简得，.当点满足时，平面及平面所成角的大小为.21. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，过点及轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线：及轴交于点，及椭圆交于，两个不同的点，若，
28、求的取值范围.【答案】（）（）试题解析：（）根据已知椭圆的焦距为，当时，由题意的面积为，由已知得，椭圆的标准方程为（）显然，设，由得，由已知得，即，且，由，得，即，即当时，不成立，即，解得或综上所述，的取值范围为或.22. 已知函数（其中是自然对数的底数.）（1）讨论函数的单调性； （2）当函数有两个零点，时，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对进行分类讨论，确定在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性（2）先求出，令，求出，问题转化为证明，构造函数，通过函数的单调性证明即可试题解析：（1）解：因为，当时，令得，所以当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，恒成立，故此时函数在上单调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点，所以，设函数的两个零点为，且. 由题意得： ， -得： 令 ，则 可化为： 要证： 只需证：即证： 构造函数 ，则 在单调递增， 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用及转化思想.其中（2）求出 问题转化为构造新函数，通过求导得到新函数单调性是解题的关键 - 41 - / 41