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1、第二章 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.2平面与平面垂直的判定,1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角； 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角； 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一二面角,思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门 所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用 哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 答案二面角. 思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
2、 答案二面角的平面角.,答案,1.定义：从一条直线出发的_所组成的图形. 2.相关概念： 这条直线叫二面角的_，两个半平面叫二面角的_. 3.画法：,答案,两个半平面,棱,面,4.记法：二面角_或_或_，或PABQ. 5.二面角的平面角： 若有O_l；OA_，OB_；OA_l，OB_l，则二面角l的平面角是_.,答案,l,AB,PlQ,AOB,知识点二平面与平面垂直,思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？ 答案都是垂直. 1.平面与平面垂直 (1
3、)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直. (2)画法：记作：_.,答案,直二面角,2.判定定理,答案,返回,垂线,l,题型探究 重点难点 个个击破,类型一定义法判定两平面垂直,例1如图，在四面体ABCD中， 求证：平面ABD平面BCD.,反思与感悟,解析答案,解因为ABD与BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，BDCE.,反思与感悟,由于AC2AE2CE2，所以AECE，所以AE面BCD. 又AE面ABD，所以平面ABD平面BCD.,反思与感悟,1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是： (1)找
4、出两相交平面的平面角； (2)证明这个平面角是直角； (3)根据定义，这两个相交平面互相垂直. 2.此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意.,跟踪训练1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90. 求证：平面ABC平面BSC.,解析答案,证明取BC中点D，连接SD、AD， 由SASBSC，ASBASC60，得ABACSA. ADBC，SDBC， ADS是二面角ABCS的平面角.,SD2AD2SA2. ADS90，平面ABC平面BSC.,类型二面面垂直的判定定理判定两平面垂直,例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA平面A
5、BCD且ABCD是菱形. 求证：平面PAC平面PBD.,证明PA平面ABCD，BD平面ABCD， BDPA. ABCD是菱形，BDAC. 又PAACA，BD平面PAC. 又BD平面PBD， 平面PBD平面PAC.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.,跟踪训练2如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90， 证明：平面BDC1平面BDC.,证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1D
6、C1ADC45， 所以CDC190，即DC1DC. 又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.,解析答案,类型三求二面角的大小,例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；,解析答案,解由ACBC，D为AB的中点，得CDAB， 又CDAA1，故CD面A1ABB1，,(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1AA1CC1. 又由(1)知CD面A1ABB
7、1，故CDA1D，CDDD1， 所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角. 因CD面A1ABB1，AB1面A1ABB1，所以AB1CD， 又已知AB1A1C，A1CCDC， 所以AB1面A1CD，故AB1A1D， 从而A1AB1、A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA， 所以RtA1ADRtB1A1A.,反思与感悟,求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度.这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答.,跟踪训练3如图所示，在ABC中，ABBC，SA平面ABC，DE垂直平分SC，且
8、分别交AC，SC于点D，E，又SAAB，SBBC. (1)证明：BD平面SAC；,证明SBBC，且E为SC的中点， BESC， 又DESC，SC平面BDE， BDSC， SA平面ABC，SABD， BD平面SAC.,解析答案,返回,(2)求二面角EBDC的大小.,解由(1)BD平面SAC可得BDDE且BDAC， EDC为二面角EBDC的平面角， 设SAa，则ABa，,解析答案,SC2a，ASC60， 又EDCASC，EDC60， 二面角EBDC的大小为60.,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.直线l平面，l平面，则与的位置关系是() A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直
9、 解析由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.,C,1,2,3,4,解析答案,2.下列命题： 两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是() A. B. C. D. 解析不符合二面角定义， 从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B.,B,1,2,3,4,3.如图，已知RtABC，斜边BC，点A，AO，O为垂足，ABO30，ACO45，则二面角ABCO的大小为_.,解析
10、答案,解析如图所示，在平面内，过O作ODBC，垂足为D，连接AD. AO，BC，AOBC. 又AOODO，BC平面AOD. 而AD平面AOD，ADBC. ADO是二面角ABCO的平面角. 由AO，OB，OC，知AOOB，AOOC. 又ABO30，ACO45， 设AOa，则AC a，AB2a.,解析答案,1,2,3,4,ADO60. 即二面角ABCO的大小是60.,1,2,3,4,1,2,3,4,解析答案,4.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点.求证：面EFC面BCD.,证明ADBD，EFAD，EFBD. CBCD，F是BD的中点，CFBD. 又EFCF
11、F，BD面EFC. BD面BCD，面EFC面BCD.,规律与方法,1.求二面角的步骤 简称为“一作二证三求”.,2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图，则AOB为二面角l的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图，AOB为二面角l的平面角.,(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角，如图，AOB为二面角l的平面角.,返回,3.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义； (2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,