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1、第1课时奇偶性的概念,第一章 1.3.2奇偶性,1.理解函数奇偶性的定义； 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法； 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一函数奇偶性的几何特征,思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？,答案,答案关于y轴对称，关于原点对称.,一般地，图象关于y轴对称的函数称为 函数，图象关于原点对称的函数称为函数.,偶,奇,知识点二函数奇偶性的定义,思考1为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？,答案,答案因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是
2、否对称也难以精确判断.,思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？,答案好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然.,(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图象也能操作.,答案,(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于原
3、点的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上.,任意,f(x)f(x),f(x)f(x),任意,函数奇偶性的概念：,知识点三奇(偶)函数的定义域特征,思考如果一个函数f(x)的定义域是(1,1，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？,答案,答案由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数x必须也在定义域内，才能进一步判断f(x)与f(x)的关系.而本问题中，1(1,1，1(1,1，f(1)无定义，自然也谈不上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数，也非偶函数.,返回,答案,一般地，判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于 对称.,原点,题型探究 重点难点 个个击破,类型
4、一如何证明函数的奇偶性,证明因为它的定义域为x|xR且x1， 对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，,解析答案,解析答案,(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数；,证明函数的定义域为R， 因函数f(x)(x1)(x1)x21， 又因f(x)(x)21x21f(x)， 所以函数为偶函数.,解析答案,即该函数既是奇函数又是偶函数.,解析答案,证明定义域为x|x0. 若x0，f(x)1，f(x)1， f(x)f(x)； 若x0，则x0，f(x)1，f(x)1， f(x)f(x)； 即对任意x0，都有f(x)f(x). f(x)为奇函数.,解析答案,(5)已知f(x)的定义域为R，证明g(x)
5、f(x)f(x)是偶函数.,证明f(x)的定义域为R， g(x)f(x)f(x)的定义域也为R. 对于任意xR，都有g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)g(x)， g(x)是偶函数.,反思与感悟,反思与感悟,利用定义法判断函数是不是偶函数时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量.,解析答案,解析答案,(2)证明f(x)x|x|是奇函数；,证明函数的定义域为R，因f(x)(x)|x|x|x|f(x)， 所以函数为奇函数.,解析答案,因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)，,即该函数既是奇函数又是偶函数.,解析
6、答案,证明定义域为x|x0. 若x0， f(x)x2，f(x)x2，f(x)f(x)； 若x0，则x0， f(x)(x)2x2，f(x)x2， f(x)f(x)； 即对任意x0，都有f(x)f(x). f(x)为奇函数.,类型二如何判断函数的奇偶性,例2(1)f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶性；,解析答案,解f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数， f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是奇函数. f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是偶函数. fg(x)fg(
7、x)fg(x)，yfg(x)是奇函数.,解析答案,(2)判断f(x)x33x的奇偶性；,解yx3，y3x都是奇函数，由(1)知f(x)x33x是奇函数.,(3)已知函数f(x)ax3bx2cxd是奇函数，求实数b，d的值.,解由(1)知当bd0时，f(x)ax3bx2cxd是奇函数.,反思与感悟,反思与感悟,判断函数单调性要比证明灵活得多，可以借助图象，也可借助已知奇偶性的函数，在此基础上判断其和、差、积、商复合的奇偶性.,解析答案,跟踪训练2(1)f(x)，g(x)定义在R上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，试判断yf(x)g(x)，yf g(x)的奇偶性；,解f(x)，g(x)定义在R
8、上，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， f(x)g(x)f(x)g(x)，yf(x)g(x)是奇函数. f g(x)f g(x)，yf g(x)是偶函数.,解析答案,解析答案,(3)已知f(x)，g(x)均为奇函数，且F(x)af(x)bg(x)2在(0，)上有最大值5(ab0)，求F(x)在(，0)上的最小值.,解f(x)，g(x)均为奇函数，yaf(x)bg(x)是奇函数. 设x0. 由F(x)af(x)bg(x)2在(0，)上有最大值5(ab0)， F(x)af(x)bg(x)25， af(x)bg(x)3， af(x)bg(x)3， af(x)bg(x)2321. 即F(x)在(，0
9、)上的最小值为1.,类型三奇(偶)函数图象的对称性的应用,例3定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图象 如图所示. (1)画出f(x)的图象；,解析答案,解先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，,解析答案,(2)解不等式xf(x)0.,解xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号. 结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2).,反思与感悟,反思与感悟,鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性.,解析答案,返回,返回,解显然当x0时，f(x)0. 又yx21为偶函数，yx为奇函
10、数，,1,2,3,达标检测,4,5,答案,1.函数f(x)0(xR)是() A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,D,1,2,3,4,5,答案,A,1,2,3,4,5,3.函数f(x)x(1x1)的奇偶性是() A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数,答案,C,1,2,3,4,5,4.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于() A.4 B.3 C.2 D.1,答案,B,1,2,3,4,5,5.下列说法错误的个数是() 图象关于原点对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数； 奇函数的图象一定过原点； 偶函数的图象一定与y轴相交； 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR). A.4 B.3 C.2 D.0,答案,B,规律与方法,1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(x)f(x) f(x)f(x)0f(x)为奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)0 f(x)为偶函数. 2.两个性质：函数为奇函数它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x) f(x).而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.,返回,