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1、第二章第二章 基本初等函数基本初等函数襄樊市第五中学襄樊市第五中学 周婉周婉我们先看下面几个具体问题：我们先看下面几个具体问题：(1) 如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克，那么她千克，那么她需要支付需要支付 元；元；(2) 如果正方形的边长为如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，那么正方形的面积 ；(3) 如果立方体的边长为如果立方体的边长为a，那么立方体的体积，那么立方体的体积 ；(5) 如果某人如果某人t 秒内骑车行进了秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的，那么他骑车的平均速度平均速度 km/s。(4) 如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S
2、，那么这个正方，那么这个正方形的边长形的边长 ；21Sa wp 2as 3av 1tvy = x3y = xy = x21 xy21xy 思考:这些表达式的共同特征是什么？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为）幂前的系数也为1.共同特征：上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。幂幂 函函 数数一一.幂函数定义幂函数定义 一般地，函数一般地，函数y=x叫做叫做，其中，其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.定义说明定义说明(2) 中前面的系数为中前面的
3、系数为1.xy (3) 幂函数的定义域、值域都不确定幂函数的定义域、值域都不确定,与与 的值有关的值有关.(4) 注意幂函数与指数函数的区别注意幂函数与指数函数的区别.(1) 为任意实数为任意实数, 不同，则表示不同的幂函数不同，则表示不同的幂函数 . 式式 子子 名名 称称 a x y指数函数指数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值思考：思考：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数如何判断一个函数是幂函数还是指数函数看看自变量看看自变量x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数幂函数与指数函数的对比幂函数与指数函数的对比判断
4、下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 (3) y= -x2 0)4(xy (5) y=(2x)2 (6) y=x3+2 21xy (2)思考：思考：你能举出一些幂函数的实例吗？你能举出一些幂函数的实例吗？二、幂函数性质的探究：二、幂函数性质的探究：思考思考：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？研究幂函数呢？作具体幂函数的图象作具体幂函数的图象观察图象特征观察图象特征总结函数性质总结函数性质请同学们在同一个坐标系中作出（请同学们在同一个坐标系中作出（1）（2）中的三个函）中的三个函数图象数图象2132,)
5、 1 (xyxyxyxy2121,)2(xyxyxy1幂函数幂函数y=xy=x2y=x3y=x0.5定义域定义域值域值域公共点公共点单调性单调性奇偶性奇偶性图像分布图像分布RRRy|y0RRx|x0y|y0(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数非奇非非奇非偶函数偶函数,单调递增单调递增0,+)递增递增(-,0递减递减单调递增单调递增0,+)递增递增幂函数的性质幂函数的性质幂函数幂函数定义域定义域值域值域公共点公共点单调性单调性奇偶性奇偶性图像分布图像分布x|x0 x|x0 x|x0y|y0y|y0y|y0(1,1)(
6、1,1)(1,1)奇函数奇函数非奇非非奇非偶函数偶函数偶函数偶函数,（0,+)递减递减(-,0）递减）递减（0,+)递减递减 (-,0）递增）递增单调递减单调递减幂函数的性质幂函数的性质1 xy21 xy2 xyX y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a 0a 0 （1）图象都过（）图象都过（0，0）点和）点和 （1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值）在第一象限内，函数值 随随x 的增大而增大，即的增大而增大，即 在（在（0，+)上是增函上是增函 数数 （1）图象都过（）图象都过（1，1）点；）点；（2）在第一象限内，函数值随）在第一象限内
7、，函数值随 x 的增大而减小，即在的增大而减小，即在 （0，+）上是减函数）上是减函数 （3）在第一象限，图象向上与）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与轴无限接近，向右与 x 轴无限接近轴无限接近思考：思考：对任意的指数都具有这样的性质吗？对任意的指数都具有这样的性质吗？2(1) 所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)都有定义，并都有定义，并且图象都通过点且图象都通过点(1,1);(2) 如果如果，则幂函数图象过，则幂函数图象过原点原点，并且在区间并且在区间0,+)上是上是增增函数；函数；(3) 如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)上是上是减减函数函数;(4)
8、 当当为为奇数奇数时，幂函数为时，幂函数为奇函数奇函数； 当当为为偶数偶数时，幂函数为时，幂函数为偶函数偶函数幂函数的性质幂函数的性质例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性25yx（）（）2525yxyx定义域为定义域为:(,) 对于任意对于任意,xR都有都有5225()()( )fxxxf x是偶函数是偶函数25yx解解:34300 xx0 x34yx（）（）34341yxyx既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数解解:34yx故故即定义域为即定义域为:(0,)定义域不关于原点对称在在 是增函数是增函数例例2.比较下列两数的大小比较下列两数
9、的大小:0.80.8(1)1.5,1.78 . 0 xy ), 0 解解：因为因为又因又因1.53.141.1(2)3-1.1与 .141 . 11 . 114. 3解解:因为因为1 . 1 xy在在 减函数减函数), 0( 所以所以52328 . 3 ,9 . 3)3(118 . 35252解解:因为因为52328 . 39 . 3所以所以119 . 332325253)4 . 2( ,)8 . 1(0)8 . 1()8 . 1(53530)4 . 2()4 . 2()4 . 2(525252解：因为解：因为5253)4 . 2()8 . 1(所以（）（）例例2是利用幂函数的增减性比较两个数
10、的是利用幂函数的增减性比较两个数的大小大小. 当不能直接进行比较时当不能直接进行比较时,可在两个数中间可在两个数中间插入一插入一 个已知数个已知数(如如1、0、-1等等),间接比较上述间接比较上述两个数的大小两个数的大小.练习练习:533252)9 . 1(8 . 3 ,1 . 4和; 111 . 45252118 . 303232解：因为解：因为0)9 . 1()9 . 1(5353533252)9 . 1(8 . 31 . 4所以所以例例3 证明幂函数证明幂函数 在在0,+)上是增函数上是增函数xxf)(证明：任取证明：任取x1,x2 0,+)，且，且x1x2，则，则21212121212
11、121 )( )()(xxxxxxxxxxxxxfxf.), 0)(),()(, 0, 0212121上是增函数在即幂函数所以因为xxfxfxfxxxx除了作差，还除了作差，还有没有其它方有没有其它方法呢法呢？ x|x0 偶函数偶函数x|x0偶函数偶函数x|x0R奇函数奇函数 =x3=321x5x （1）y=x0 （2）y= （3）y= （4）y=x0.223x32x51x 用不等号填空：用不等号填空： （1） （2） （3） （4） （5） _ （6） _1 . 201. 235133144550.2 _0.555227_6.9550.012 _0.0110.50.51.01_1.001求下
12、列幂函数的定义域，并判断其奇偶性：求下列幂函数的定义域，并判断其奇偶性： 解解:设设f(x)=xa由题意得由题意得3. 已知幂函数的图象过点已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析试求出此函数的解析式式. 22 212loglog21222 21)(xxf 总结总结: (1) 理解并掌握形如理解并掌握形如y=xa的形式就是幂函数的定义的形式就是幂函数的定义 (2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征充分理解并掌握幂函数的性质和特征)2,2(课堂小结：课堂小结：1. 幂函数的定义幂函数的定义2. 幂函数的定义域幂函数的定义域3. 幂函数的图象和性质幂函数的图象和性质4. 掌握幂函数掌握幂函数 的图的图象和性质象和性质21132,xyxyxyxyxy5. 利用幂函数的单调性比较两个数的大小利用幂函数的单调性比较两个数的大小