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1、MAPLEMAPLE 理论力学理论力学学号：学号：6024专业：专业：车辆工程姓名：姓名：张垚导师：导师：李银山题目一题目一: :如图，由轮 1，杆 AB 和冲头 B 组成的系统。A，B两处为铰链连接。OA=R,AB=l,如忽略摩擦和物体自重，当 OA 在水平位置，冲压力为F 时，系统处于平衡状态。求：（1）作用在轮 1 上的力偶矩 M 的大小（2）轴承 O 处的约束力（3）连接受的力（4）冲头给导轨的侧压力。解：对冲头进行受力分析如图 2：，BN对连杆进行受力分析如图 3：B，A restart:restart:# #清零清零 sin(phi):=R/l;sin(phi):=R/l;# #几
2、何条件几何条件sin() :=Rl cos(phi):=sqrt(l2-R2)/l;cos(phi):=sqrt(l2-R2)/l;l2 R2cos() :=l eq1:=FN-FB*sin(phi)=0;eq1:=FN-FB*sin(phi)=0;# #冲头，冲头，Fx=0=0eq1 := FNFBRl 0 eq2:=F-FB*cos(phi)=0;eq2:=F-FB*cos(phi)=0;# #冲头，冲头，Fy=0=02eq2 := FFBl R2l 0 solve(eq1,eq2,FN,FB);solve(eq1,eq2,FN,FB);# #解方程解方程FlRBFl2 R2, FNFl2
3、 R2 FB:=F/(l2-R2)(1/2)*l;#FB:=F/(l2-R2)(1/2)*l;#连杆的作用力的大小连杆的作用力的大小FF lB :=l2 R2图图 1 1图图 2 2 FA:=FB;FA:=FB;# #连杆连杆ABAB，二力杆，二力杆FA :=F ll R22图图 3 3 eq3:=FA*cos(phi)*R-M;eq3:=FA*cos(phi)*R-M;# #轮杆轮杆MA 0eq3 := F R M eq4:=FOx+FA*sin(phi)=0;eq4:=FOx+FA*sin(phi)=0;# #轮杆轮杆1 1Fx 0F Rl R22eq4 := FOx eq5:=FOy+F
4、A*cos(phi)=0;eq5:=FOy+FA*cos(phi)=0;# #轮杆轮杆1 1 0Fy 0eq5 := FOy F 0 solve(eq3,eq4,eq5,M,FOx,FOy);#solve(eq3,eq4,eq5,M,FOx,FOy);#解方程解方程M F R, FOy F, FOx 答：（1）作用在轮上的力偶矩；（2）轴承处的约束力F OxF Rl R22F Rl R22FOy F（3）连杆受力F :=BF ll R22（4）侧压力F NF Rl R22题目二：题目二：如图 4，图示曲线规尺的杆长OA=AB=200mm,而 CD=DE=AC=AE=50mm。如 OA 杆以等角
5、速度5 0。rad s绕 O 轴转动，并且当运动开始时，角（1）求尺上 D 点的运动方程。（2）求 D 点轨迹，并绘图。图图 4 4 restart:restart:# #清零清零 OA:=l:OA:=l:#OA#OA长度长度 AB:=l:AB:=l:#AB#AB长度长度 CD:=l/CD:=l/4: 4:#CD#CD长度长度 DE:=l/DE:=l/4: 4:#DE#DE长度长度 AC:=l/AC:=l/4: 4:#AC#AC长度长度 AE:=l/AE:=l/4: 4:#AE#AE长度长度 phi:=omega*t: phi:=omega*t:# #瞬时夹角瞬时夹角 x:=OA*cos(ph
6、i): x:=OA*cos(phi):#D#D点的横坐标点的横坐标 y:=(OA-2*AC)*sin(phi): y:=(OA-2*AC)*sin(phi):#D#D点的纵坐标点的纵坐标 eq:=X2eq:=X2/l2+Y2/l2+Y2/(l/(l/2)2=1:2)2=1:# #解方程解方程 x:=evalf(subs(l=,omega=Pi/ x:=evalf(subs(l=,omega=Pi/ 5,x),4):5,x),4):x := .2 cos(.6284 t) y:=evalf(subs(l=,omega=Pi/ y:=evalf(subs(l=,omega=Pi/ 5,y),4):
7、5,y),4):y := .1000 sin(.6284 t) eq:=evalf(subs(l=,eq),4): eq:=evalf(subs(l=,eq),4):eq := 25.00 X2 100.0 Y2 1. with(plots): with(plots):# #绘制绘制D D点轨迹点轨迹 implicitplot(eq,X=.2,Y=.: implicitplot(eq,X=.2,Y=.:题目三：题目三：如图，长l 0.40m、质量M 1.00kg的匀质木棒，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量 m 8g 的子弹以A、 O 点的距离为3l/4，v 20
8、0m/s的速率从 A 点射入棒中，如图所示。求： （1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。解： （1）子弹射入前，子弹角动量为：L1 mvl3412Ml33子弹射入后，子弹角动量为：L3 m( l)24子弹射入后，木棒角动量为：L2应用角动量守恒定律：L1 L2 L331 3 mvl Ml2 ml4342解得：33mv8103200448.9rad/s99113M ml18100.4161033（2）子弹射入后，子弹角动能：Ek11 122Ml2 313子弹射入后，木棍角动能：Ek2m( l)22241子弹摄入后，子弹重力势能：Ep1 Mgl23子弹摄入后，木棍重力势能：Ep2 mg
9、l41最大偏角时，子弹重力势能：Ep3 Mglcos23最大偏角时，木棍重力势能：Ep4 mglcos4应用机械能守恒定律：Ek1 Ek2 Ep1 Ep2 Ep3 Ep41 1232l3ll3lMl m( l)Mgmg Mgcosmgcos234242429M m8l 0.079，解得cos132M 3mg 94.5MapleMaple 程序：程序： restart:restart:# #清零清零 L1:=3L1:=3/ /4*m*v*l:4*m*v*l:# #射入前子弹的角动量射入前子弹的角动量L1L1 L2:=1L2:=1/ /3*M*omega*l2:3*M*omega*l2:# #射入
10、后木棒的角动量射入后木棒的角动量L2L2 L3:=m*(3L3:=m*(3/ /4*l)2*omega:4*l)2*omega:# #射入后子弹的角动量射入后子弹的角动量L3L3 eq1:= L1= L2+ L3:eq1:= L1= L2+ L3:# #角动量守恒角动量守恒 Ek1:=1Ek1:=1/ /2*12*1/ /3*M*l2*omega2:3*M*l2*omega2:# #射入瞬间木棒角动能射入瞬间木棒角动能 Ek2:=1Ek2:=1/ /2*12*1/ /3*M*l2*omega2:3*M*l2*omega2:# #射入瞬间子弹角动能射入瞬间子弹角动能 Ep1:=-1Ep1:=-1
11、/ /2*M*g*l:2*M*g*l:# #射入瞬间木棒重力势能射入瞬间木棒重力势能 Ep2:=-3Ep2:=-3/ /4*m*g*l:4*m*g*l:# #射入瞬间子弹重力势能射入瞬间子弹重力势能 Ep3:=-1Ep3:=-1/ /2*M*g*l*cos(theta):2*M*g*l*cos(theta):# #最大偏转时木棒重力势能最大偏转时木棒重力势能 Ep4:=-3Ep4:=-3/ /4*m*g*l*cos(theta):4*m*g*l*cos(theta):# #最大偏转时子弹重力势能最大偏转时子弹重力势能 eq2:= Ek1+ Ek2+ Ep1+ Ep2= Ep3+ Ep4:eq2
12、:= Ek1+ Ek2+ Ep1+ Ep2= Ep3+ Ep4:# #角动量守恒角动量守恒 l:=:M=1:m=:v=200:g=:l:=:M=1:m=:v=200:g=:# #已知条件已知条件 solve(eq1,eq2,omega,theta): solve(eq1,eq2,omega,theta):# #解方程解方程答案： （1）8.9rad/s； （2）94.5。题目四：题目四：如图，一根长为l、质量为 M 的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为 m 的子弹以水平速度 v0射向棒的中心，并以 v0/2 的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90，则 v0的大小为多少
13、解：设子弹射入棒子前绕 O 的角速度为1，射出棒子后的角速度为2，射出后棒子的角速度为，子弹绕 O点的转动惯量为J1,棒子绕 O 点的转动惯量为J。 根据角动量平衡和能量守恒列出方程如下：J11 J12 J,112J Mg l22ml21 l , J Ml2可知：J1 m43221v02v0l/2lv0/2v011l/2l221JJ1(12)211JJ11 J代入方程组求解：J2Mgl，J 11 Mgl，222J22J1212 Mgl，4J2 ml2 4v0222 24l Mgl，3m v0 Mgl，v216 Mgl021216M3 m4Ml3最终解得:v04Mmgl3MapleMaple程序
14、程序: : restart:restart:# #清零清零 J1:=m*(1J1:=m*(1/ /2*l)2:2*l)2:# #子弹绕子弹绕O O点的转动惯量点的转动惯量J1J1 J2:=1J2:=1/ /3*M* l2:3*M* l2:# #棒子绕棒子绕O O点的转动惯量点的转动惯量J J omega1:=2*v0/l:omega1:=2*v0/l:# #子弹射入棒子前绕子弹射入棒子前绕O O的角速度的角速度 omega2:=v0/l:omega2:=v0/l:# #子弹射出棒子后绕子弹射出棒子后绕O O的角速度的角速度 eq1:=J1*omega1=J1*omega2+J2*omega;e
15、q1:=J1*omega1=J1*omega2+J2*omega;# #角动量平衡角动量平衡 SOL1:=solve(eq1,omega);SOL1:=solve(eq1,omega);# #解方程求解方程求 omega:=subs(SOL1,omega);omega:=subs(SOL1,omega);# #值值 eq2:=1eq2:=1/ /2*J*omega2=12*J*omega2=1/ /2*M*g*l;2*M*g*l;# #能量守恒能量守恒 solve(eq2,v0); solve(eq2,v0);# #解方程，求解方程，求v v答案：4Mmgl3题目五：题目五：如图所示，一轻绳跨
16、过两个质量均为m、半径均为 R 的匀质圆盘状定滑轮。 绳的两端分别系着质量分别为 m 和 2m 的重物， 不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动， 则两滑轮之间绳的张力为多少解：根据受力平衡和力矩平衡m1g T1 m1aT2 m2g m2a列出方程组(T1T)R1 J11(T T2)R2 J22(1)(2)(3)(4)其中，1a,R11J1M1R12，22a12, J2M2R2R22T1 m1(g a)由（1） 、 （2）两式得：T m (g a)22可先求出 a，解得a 2(m1m2)g4m1m2m1(M1 M2)g，T12(m1m2)(M1 M2)2(m1m2)(
17、M1 M2)4m1m2 m2(M1 M2)4m1m2m1M2m2M1g，T g2(m1 m2)(M1 M2)2(m1m2)(M1 M2)T2将m1 2m，m2 mM1 M2 m,R1 R2代入，得：MapleMaple 程序：程序： restart restart：# #清零清零 eq1:= m1*g-T1 = m2*a;eq1:= m1*g-T1 = m2*a;# #重物重物 1 1 受力平衡受力平衡 eq2:= T2-m2*g = m2*a;eq2:= T2-m2*g = m2*a;# #重物重物 2 2 受力平衡受力平衡 eq3:= (T1-T)*R1 = J1*alpha1; eq3:
18、= (T1-T)*R1 = J1*alpha1;# #重物重物 1 1 力矩平衡力矩平衡 eq4:= (T-T2)*R2 = J2*alpha2; eq4:= (T-T2)*R2 = J2*alpha2;# #重物重物 2 2 力矩平衡力矩平衡 alpha1 := a/R1alpha1 := a/R1：# #轮轮 1 1 角加速度角加速度 alpha2 := a/R2 alpha2 := a/R2： J1:= (1 J1:= (1/ /2)*M1*R122)*M1*R12： J2:= (1J2:= (1/ /2)*M2*R222)*M2*R22： m1:= 2*m m1:= 2*m：m2 := mm2 := m： M1 := mM1 := m： M2 := mM2 := m：R1 := rR1 := r：R2 := rR2 := r： SOL2:= solve(eq1, eq2, eq3, eq4, T, a, T1, T2);SOL2:= solve(eq1, eq2, eq3, eq4, T, a, T1, T2);答案：# #轮轮 2 2 角加速度角加速度# #轮轮 1 1 转动惯量转动惯量# #轮轮 2 2 转动惯量转动惯量# #已知条件已知条件# #解方程组解方程组