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1、2020-2021 学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共 8 小题）.1直线 3x+2y10 的一个方向向量是（）A（2，3）2椭圆+B（2，3）C（3，2）D（3，2）1 的离心率是（）ABCD3两条平行直线 2xy+30 和 ax3y+40 间的距离为 d，则 a，d 分别为（）Aa6，Ca6，Ba66，Da6，E 是 PC 的中点，则4如图，四棱锥POABC 的底面是矩形，设（）ACBD5空间直角坐标系Oxyz 中，经过点 P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为 A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）0，经过点 P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线 l
2、的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 的方程为 3x5y+z70，经过（0，0，0）直线 l的方程为A，则直线 1 与平面 所成角的正弦值为（）BCD6已知圆x2+y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D47已知 l，m 是异面直线，A，Bl，C，Dm，ACm，BDm，AB2，CD1，则异面直线 l，m 所成的角等于（）A30B45C60D908已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P在过 A 且斜率为为（）A的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C 的离心率BCD二.多选题（共
3、4 小题）.9过点 P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）Ax+y50B2x+y40C3x2y0D4x2y+5010已知曲线 C：mx2+ny21（）A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 x 轴上C若 mn0，则 C 是圆，其半径为D若 m0，n0，则 C 是两条直线11已知圆 C：（x3）2+（y4）21 和两点 A（m，0），B（m，0）（m0）若圆 C上存在点 P，使得APB90，则 m 的可能取值为（）A712已知F1，F2是椭圆B6C5的左、右焦点，动点D8在椭圆上，F1PF2的平分线与 x 轴交于点 M（m，0），则
4、m 的可能取值为（）A1B2C0D1三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知平面 的一个法向量，则 yx14E 是线段 DD1的中点， F 是线段 BB1的中点，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，则直线 FC1到平面 AB1E 的距离为，平面 的一个法向量，若15已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦 AB 过点 F1，若ABF2的内切圆的周长为 2 ，A，B 两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1y2|162020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，3）是圆 Q 的圆心，圆 Q 过坐标原点 O
5、；点 L、S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O（1）若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为；（2）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10 分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为A（1，4），B（2，1），C（2，3）（）在ABC 中，求边 AC 中线所在直线方程；（）求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标及边 BC 的长度；（）求ABC 的面积18M0）（12
6、分） 已知ABC 的边 AB 边所在直线的方程为x3y60， （2，满足点 T（1，1）在 AC 边所在直线上且满足（1）求 AC 边所在直线的方程；（2）求ABC 外接圆的方程；（3）若动圆 P 过点 N（2，0），且与ABC 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程，19（12 分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且CM 和 BN 的长度保持相等，记CMBNa（0a（）求 MN 的长；（）a 为何值时，MN 的长最小并求出最小值；（）当 MN 的长最小时，求平
7、面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值）20（12 分）椭圆 C1：的长轴长等于圆 C2：x2+y24 的直径，且C1的离心率等于，已知直线 l：xy10 交 C1于 A、B 两点（）求 C1的标准方程；（）求弦 AB 的长21 （12 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为菱形，AA1B1平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，AC（）求证：B1C1平面 ABB1A1；（）求平面 EB1C1与平面 BB1C1C 所成角的大小，E 为 AC 的中点，22（12 分）已知点A（1，0），点P 是圆 C：（x+1）2+y28 上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与
8、直线 CP 交于点 E（）求点 E 的轨迹方程；（）过点 A 的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 M，N，则CMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由参考答案一、单选题（共 8 小题）.1直线 3x+2y10 的一个方向向量是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为（2，3），故选：A2椭圆+1 的离心率是（）ABCD解：椭圆+1，可得 a3，b2，则 c，所以椭圆的离心率为：故选：B3两条平行直线 2xy+30 和 ax3y+40 间的距离为 d，则 a，d 分别为（
9、）Aa6，Ca6，Ba66，Da6，解：根据两条平行直线 2xy+30 和 ax3y+40，可得可得 a6，可得两条平行直线即 6x3y+90 和 6x3y+40，故它们间的距离为 d故选：D4如图，四棱锥POABC 的底面是矩形，设（），E 是 PC 的中点，则ACBD，+，解：四棱锥 POABC 的底面是矩形，+ + （，E 是 PC 的中点，+） +，） + （故选：B5空间直角坐标系Oxyz 中，经过点 P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为 A（xx0）+B（yy0）+C（zz0）0，经过点 P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线 l 的方程为，阅读上面的材料并解决下面问
10、题：现给出平面 的方程为 3x5y+z70，经过（0，0，0）直线 l的方程为A，则直线 1 与平面 所成角的正弦值为（）BCD解：平面 的方程为 3x5y+z70，平面 的一个法向量为 （3，5，1），经过（0，0，0）直线 l 的方程为，直线 l 的一个方向向量为 （3，2，1），设直线 1 与平面 所成角为 ，则 sin|cos ， |，直线 1 与平面 所成角的正弦值为故选：B6已知圆x2+y26x0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径 r3；设圆心到直线的距离为 d，则过 D（1，2）的直线与圆的相交弦
11、长|AB|2，当 d 最大时弦长|AB|最小，当直线与 CD 所在的直线垂直时 d 最大，这时 d|CD|2所以最小的弦长|AB|2故选：B7已知 l，m 是异面直线，A，Bl，C，Dm，ACm，BDm，AB2，CD1，则异面直线 l，m 所成的角等于（）A30B45C60D90，2，解：由 ACm，BDm，可得 ACCD，BDCD，故可得cos与0，（+|，|2+0，）0+12+01，夹角的取值范围为0，的夹角为 60，故向量异面直线 l，m 所成的角等于 60故选：C8已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P在过 A 且斜率为为（）A的直线上，PF
12、1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C 的离心率BCD解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线 AP 的方程为：y（x+a），由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则 P（2c，代入直线 AP：cc），（2c+a），整理得：a4c，题意的离心率 e故选：D二.多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.）9过点 P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）Ax+y50B2x+y40C3x2y0D4x2y+50解：当直线经过原点时，直线的
13、斜率为k，所以直线的方程为 yx，即 3x2y0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+ya，代入点 P（2，3）可得 a5，所以所求直线方程为 x+y5，即 x+y50综上可得，所求直线方程为：x+y50 或 3x2y0故选：AC10已知曲线 C：mx2+ny21（）A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 x 轴上C若 mn0，则 C 是圆，其半径为D若 m0，n0，则 C 是两条直线解：曲线 C：mx2+ny21若 mn0，方程化为正确；B 错误；若 mn0，方程化为若 m0，n0，方程化为故选：AD11已知圆 C：（x3）2+（y4）21 和
14、两点 A（m，0），B（m，0）（m0）若圆 C上存在点 P，使得APB90，则 m 的可能取值为（）A7B6C5D8，则 C 是圆，其半径为，即 y，故 C 错误；，得0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上，故A，则 C 是两条直线，故D 正确解：圆 C：（x3）2+（y4）21 的圆心 C（3，4），半径为 1，圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4，再由APB90，可得以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，得 PO|AB|m，即 4m6，结合选项可得，m 的值可能取 6 和 5故选：BC12已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭
15、圆上，F1PF2的平分线与 x 轴交于点 M（m，0），则 m 的可能取值为（）A1B2，0），F2（C0），D1解：由椭圆方程可得 F1（由 y1，可得x1，则直线 PF1的方程为，即，直线 PF2的方程为M（m，0）在F1PF2的平分线，即，m，式转化为，即 m，又x1，m结合选项可得 m 的可能取值为 1，0，1，故选：ACD三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知平面 的一个法向量，则 yx1解：平面 的一个法向量平面 的一个法向量x+y10，平面 的一个法向量，若解得 yx1故答案为：114E 是线段 DD1的中点， F 是线段 BB1的中点，在棱长为 1
16、 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，则直线 FC1到平面 AB1E 的距离为解：如图，取 C1C 的中点 G，连接 BG，可得 BFC1G，BFC1G，则四边形 BGC1F 为平行四边形，C1FBG连接 EG，得 EGCDAB，EGCDAB，则四边形 ABGE 为平行四边形，得BGAE，则 FC1AE，AE平面 AB1E，FC1平面 AB1E，FC1平面 AB1E，直线 FC1到平面 AB1E 的距离等于 F 到平面 AB1E 的距离，正方体 ABCDA1B1C1D1中的棱长为 1，AE，则 cosEAB1，sin设 F 到平面 AB1E 的距离为 h，由，得，则，即 h直线 FC1到平面
17、 AB1E 的距离为故答案为：15已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦 AB 过点 F1，若ABF2的内切圆的周长为 2，A，B 两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1y2|解：由椭圆，得 a225，b216，a5，b4，c3，椭圆的焦点分别为 F1（3，0）、F2（3，0），设ABF2的内切圆半径为 r，ABF2的内切圆周长为 2 ，r1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）4a20ABF2的面积 S（|AB|+|AF2|+|BF2|）r20110，又ABF2的面积 S+|y1|F1F2|+|y2|F1F2|（
18、|y1|+|y2|）|F1F2|3|y2y1|（A、B 在 x 轴的两侧），3|y1y2|10，解得|y1y2|故答案为：162020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q（0，3）是圆 Q 的圆心，圆 Q 过坐标原点 O；点 L、S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O（1）若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为3；（2）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（4，0），（4，0），设公切线
19、方程为 ykx+m（k0）且 k 存在，则，解得 k，m0，故公切线方程为 y故 l 截圆 Q 的弦长2x，则 Q 到直线 l 的距离 d3；，（2）设方程为 ykx+m（k0）且 k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1，d2，d3，则 d24（4d12）4（4d22）4（9d32），即有（）2（）2，4（）29（）2，解得 m0，代入得 k2，则 d24（4），即 d，故答案为：3；四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10 分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为A（1，4），B（2，1），C（2，3）（）在ABC 中，求
20、边 AC 中线所在直线方程；（）求平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标及边 BC 的长度；（）求ABC 的面积解：（1）设 AC 边的中点为 M，则 M（，），直线 BM 斜率 k，直线 BM 的方程为 y+1（x+2），化为一般式可得 9x5y+130，AC 边中线所在直线的方程为：9x5y+130（2）设点 D 坐标为（x，y），由已知得 M 为线段 BD 中点，有，解得，D（3，8），B（2，1），C（2，3）；（3）由 B（2，1），C（2，3）可得直线 BC 的方程为 xy+10，点 A 到直线 BC 的距离 dABC 的面积 S4228，18M0）（12 分） 已知ABC 的边
21、 AB 边所在直线的方程为x3y60， （2，满足点 T（1，1）在 AC 边所在直线上且满足（1）求 AC 边所在直线的方程；（2）求ABC 外接圆的方程；，（3）若动圆 P 过点 N（2，0），且与ABC 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程解：（1）ATAB，又 T 在 AC 上ACAB，ABC 为 RtABC，又 AB 边所在直线的方程为x3y60，所以直线 AC 的斜率为3又因为点 T（1，1）在直线 AC 上，所以 AC 边所在直线的方程为 y13（x+1）即 3x+y+20（2）AC 与 AB 的交点为 A，所以由解得点 A 的坐标为（0，2），M（2，0）为 RtABC
22、的外接圆的圆心又 r从ABC 外接圆的方程为：（x2）2+y28（3）因为动圆 P 过点 N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P 与圆 M 外切，所以，即的双曲线的左支故点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长为因为实半轴长，半焦距 c2所以虚半轴长从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为19（12 分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且CM 和 BN 的长度保持相等，记CMBNa（0a（）求 MN 的长；（）a 为何值时，MN 的长最小并求出最小值；（）当 MN 的
23、长最小时，求平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值）解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），CMBNa，M（）（）当 a时，|MN|最小，最小值为；，0，1），N（，0）；（）由（）可知，当M，N 为中点时，MN 最短，则 M（，0，），N（，0），取 MN 的中点 G，连接 AG，BG，则 G（，），AMAN，BMBN，AGMN，BGMN，AGB 是平面 MNA 与平面 MNB 的夹角或其补角cos，平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值是20（12 分）椭圆 C1：的长轴长等于圆 C2：x2+y24 的直径，且C1的离心率
24、等于，已知直线 l：xy10 交 C1于 A、B 两点（）求 C1的标准方程；（）求弦 AB 的长解：（）由题意可得 2a4，a2，b，c1，椭圆 C1的标准方程为：（）联立直线 l 与椭圆方程设 A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|，消去 y 得：7x28x80，21 （12 分）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为菱形，AA1B1平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，AC（）求证：B1C1平面 ABB1A1；（）求平面 EB1C1与平面 BB1C1C 所成角的大小，E 为 AC 的中点【解答】（）证明：四边形ABB1A1为菱形，ABBC，ACAC2
25、AB2+BC2，得 ABBC，又平面 ABB1A1平面 ABC，平面 ABB1A1平面 ABCAB，BC平面 ABB1A1，又 B1C1BC，B1C1平面 ABB1A1；（）取 A1B1的中点 O，A1C1的中点 N，连接 OA，ON，B1C1平面 ABB1A1，ON平面 ABB1A1，得 ONOA1，ONOA，又四边形 ABB1A1为菱形，故 OA1，ON，OA 两两互相垂直以 O 为坐标原点，分别以OA1、ON、OA 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，B1（1，0，0），C1（1，2，0），E1（1，1，由图可知，平面 EB1C1的一个法向量为设平面 BB1C1C 的一个法向量
26、为，），B（2，0，），O 是 A1B1的中点，OAA1B1，则，取 z1，得设平面 EB1C1与平面 BB1C1C 所成角的大小为 ，则 cos|cos|，又（0，故平面 EB1C1与平面 BB1C1C 所成角的大小为22（12 分）已知点A（1，0），点P 是圆 C：（x+1）2+y28 上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线 CP 交于点 E（）求点 E 的轨迹方程；（）过点 A 的直线 l 与轨迹 E 交于不同的两点 M，N，则CMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由解：（）由题意可知：|EP|EA|，|CE|+|EP|2|CE|+|EA|2|CA|2，c1，点 E 的轨迹是以 C，A 为焦点的椭圆，且 2a2其轨迹方程为（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设 y10，y20，由题意可知，直线 l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为 xmy+1，联立方程，消去 x 得：（m2+2）y2+2my10，则，当且仅当即 m0 时，CMN 的面积取得最大值，此时直线 l 的方程为 x1