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1、小学数学常用的十一种解题思路“ “直接思路直接思路” ”是解题中的常规思路是解题中的常规思路 它一般是通过分析、综合、归纳等它一般是通过分析、综合、归纳等班别：姓名：座号：分数：亲爱的同学们：我们又见面了，一份耕耘，一份收获，上苍从来不会忘记努力学习的人！尽量去考，因为天道酬勤（试卷可以编辑）方法，直接找到解题的途径方法，直接找到解题的途径【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已
2、知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止为止 这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“ “综合法综合法” ”例例 1 1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟 200200 米，弟弟米，弟弟出发出发 5 5 分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟 250250 米的速度追赶弟弟，而狗以米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟每分钟 300300 米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，
3、立即返回，见到哥哥后又立即米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析（按顺向综合思路探索）：分析（按顺向综合思路探索）：（1 1） 根据弟弟速度为每分钟根据弟弟速度为每分钟 200200 米，米， 出发出发 5 5 分钟的条件，分钟的条件， 可以求什么？可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离（2 2）根据弟弟速度为每分钟）根据弟弟速度为每分钟 200200 米，哥哥速度为每分钟米，哥哥速度为每分钟 2502
4、50 米，可以米，可以求什么？求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米（3 3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为 10001000 米，每分钟可米，每分钟可追上的距离为追上的距离为 5050 米，根据这两个条件，可以求什么？米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间（4 4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，看起来很复杂，仔细想一想，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与
5、哥哥追上弟弟所用的时间是相同的狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的（5 5）已知狗以每分钟）已知狗以每分钟 300300 米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用下图（图这个分析思路可以用下图（图 2.12.1）表示）表示例例 2 2 下面图形（图下面图形（图 2.22.2）中有多少条线段？）中有多少条线段？分析（仍可用综合思路考虑）：分析（仍可用综合思路考
6、虑）：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数两点间的线段叫做基本线段，那么就可以这样来计数（1 1）左端点是）左端点是 A A 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 ABAB ACAC ADAD AEAE AFAF AGAG 共共 6 6 条条（2 2）左端点是）左端点是 B B 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 BCBC、BDBD、BEBE、BFBF、BGBG 共共 5 5 条条（3 3）左端点是）左端点是 C C 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 CDCD、CECE、
7、CFCF、CGCG 共共 4 4 条条（4 4）左端点是）左端点是 D D 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 DEDE、DFDF、DGDG 共共 3 3 条条（5 5）左端点是）左端点是 E E 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 EFEF、EGEG 共共 2 2 条条（6 6）左端点是）左端点是 F F 的线段有哪些？的线段有哪些？有有 FGFG 共共 1 1 条条然后把这些线段加起来就是所要求的线段然后把这些线段加起来就是所要求的线段二、逆向分析思路二、逆向分析思路从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，
8、然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法例例 1 1 两只船分别从上游的两只船分别从上游的 A A 地和下游的地和下游的 B B 地同时相向而行，地同时相向而行， 水的流速水的流速为每分钟为每分钟 3030 米，两船在静水中的速度都是每分钟米，两船在静
9、水中的速度都是每分钟 600600 米，有一天，两船又分别米，有一天，两船又分别从从 A A、B B 两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的 2 2 倍，所以两船相遇的倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差地点比平时相遇点相差 6060 米，求米，求 A A、B B 两地间的距离两地间的距离分析（用分析思路考虑）：分析（用分析思路考虑）：（1 1）要求）要求 A A、B B 两地间的距离，根据题意需要什么条件？两地间的距离，根据题意需要什么条件？需要知道两船的速度和与两船相遇的时间需要知道两船的速度和与两船相遇的时间（2 2）要求两船的速度和，必要什么
10、条件？）要求两船的速度和，必要什么条件？两船分别的速度各是多少两船分别的速度各是多少 题中已告之在静水中两船都是每分钟题中已告之在静水中两船都是每分钟600600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600600+600）米，这是因为顺水船）米，这是因为顺水船速为：船速速为：船速+ +水速，逆水船速为：船速水速，逆水船速为：船速- -水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速速+ +水速水速+ +船速船速- -水速水速=2=2 个船速（实为船在静水中的速度）个船速（实为船在静水中的速度）（3 3）要求相遇的时
11、间，根据题意要什么条件？）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了 3030 米，仍不会改变相遇米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点 6060 米，由此可知两船相遇的时间为米，由此可知两船相遇的时间为606030=230=2（小时）（小时）此分析思路可以用下图（图此分析思路可以用下图（图 2.32.3）表示：）表示：例例 2 2
12、 五环图由内径为五环图由内径为 4 4，外径为，外径为 5 5 的五个圆环组成，其中两两相交的的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图 2.42.4），已知五个圆环盖住的总），已知五个圆环盖住的总面积是面积是 122.5122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率，求每个小曲边四边形的面积（圆周率 取取 3.143.14）分析（仍用逆向分析思路探索）：分析（仍用逆向分析思路探索）：（1 1）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？）要求每个小曲边四边形的面积，根据题意必须知道什么条件？曲边四边形的面积，没有
13、公式可求，但若知道曲边四边形的面积，没有公式可求，但若知道 8 8 个小曲边四边形的总个小曲边四边形的总面积，面积，则只要用则只要用 8 8 个曲边四边形总面积除以个曲边四边形总面积除以 8 8，就可以得到每个小曲边四边形的就可以得到每个小曲边四边形的面积了面积了（2 2）要求）要求 8 8 个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？个小曲边四边形的总面积，根据题意需要什么条件？8 8 个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分， 因此只要因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住
14、的总面积就可以了（3 3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件？求出一个圆环的面积，然后乘以求出一个圆环的面积，然后乘以 5 5，就是五个圆环的总面积，就是五个圆环的总面积（4 4）要求每个圆环的面积，需要什么条件？）要求每个圆环的面积，需要什么条件？已知圆环的内径（已知圆环的内径（4 4）和外径（）和外径（5 5），然后按圆环面积公式求就是了），然后按圆环面积公式求就是了圆环面积公式为：圆环面积公式为：S S 圆环圆环=（R2-r2R2-r2）=（R Rr r）（）（R Rr r）其思路可用下图（图其思路可用下图（图 2.52.5）表示：）
15、表示：三、一步倒推思路三、一步倒推思路顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的 在解题时，两种思在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫双方在中间接通，我们把这种思路叫“ “一步倒推思路一步倒推思路” ” 这种思路简明实用这种思路简明实用例例 1 1 一只桶装满一只桶装满 1010 千克水，另外有可装千克水，另外有可装 3 3 千克和千克和 7 7 千克水的两只空千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎
16、样才能把桶，利用这三只桶，怎样才能把 1010 千克水分为千克水分为 5 5 千克的两份？千克的两份？分析（用一步倒推思路考虑）：分析（用一步倒推思路考虑）：（1 1）逆推第一步：把）逆推第一步：把 1010 千克水平分为千克水平分为 5 5 千克的两份，根据题意，关千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？键是要找到什么条件？因为有一只可装因为有一只可装 3 3 千克水的桶，千克水的桶，只要在另一只桶里剩只要在另一只桶里剩 2 2 千克水，千克水， 利用利用 3 32=52=5，就可以把水分成，就可以把水分成 5 5 千克一桶，所以关键是要先倒出一个千克一桶，所以关键是要先倒出一个 2 2
17、 千克水千克水（2 2）按条件顺推）按条件顺推 第一次：第一次：1010 千克水倒入千克水倒入 7 7 千克桶，千克桶，1010 千克水桶剩千克水桶剩 3 3千克水，千克水，7 7 千克水倒入千克水倒入 3 3 千克桶，千克桶，7 7 千克水桶剩千克水桶剩 4 4 千克水，千克水，3 3 千克水桶里有水千克水桶里有水 3 3千克；第二次：千克；第二次：3 3 千克桶的水倒入千克桶的水倒入 1010 千克水桶，这时千克水桶，这时 1010 千克水桶里有水千克水桶里有水 6 6 千千克，把克，把 7 7 千克桶里的千克桶里的 4 4 千克水倒入千克水倒入 3 3 千克水桶里，这时千克水桶里，这时
18、7 7 千克水桶里剩水千克水桶里剩水 1 1 千千克，克，3 3 千克水桶里有水千克水桶里有水 3 3 千克；第三次：千克；第三次：3 3 千克桶里的水倒入千克桶里的水倒入 1010 千克桶里，这千克桶里，这时时 1010 千克桶里有水千克桶里有水 9 9 千克，千克，7 7 千克桶里的千克桶里的 1 1 千克水倒入千克水倒入 3 3 千克桶里，这时千克桶里，这时 7 7 千千克桶里无水，克桶里无水，3 3 千克桶里有水千克桶里有水 1 1 千克；第四次：千克；第四次：1010 千克桶里的千克桶里的 9 9 千克水倒入千克水倒入 7 7千克桶里，千克桶里，1010 千克水桶里剩下千克水桶里剩下
19、 2 2 千克水，千克水，7 7 千克桶里的水倒入千克桶里的水倒入 3 3 千克桶里（原千克桶里（原有有 1 1 千克水），只倒出千克水），只倒出2 2 千克水，千克水，7 7 千克桶里剩水千克桶里剩水 5 5 千克，千克，3 3 千克桶里有水千克桶里有水 3 3 千千克，然后把克，然后把3 3 千克桶里的千克桶里的 3 3 千克水倒千克水倒 1010 千克桶里，因为原有千克桶里，因为原有2 2 千克水，这时也千克水，这时也正好是正好是 5 5 千克水了千克水了其思路可用下图（图其思路可用下图（图 2.62.6 和图和图 2.72.7）表示：）表示：问题：问题：例例 2 2 今有长度分别为今有
20、长度分别为 1 1、2 2、3939 厘米的线段各一条，可用多少种厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：（1 1）逆推第一步逆推第一步 要求能用多少种不同方法，要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？正方形必须的条件是什么？根据题意，必须知道两个条件根据题意，必须知道两个条件 一是确定正方形边长的长度范围，二是一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法每一种边长有几种组成方法（2 2）从
21、条件顺推）从条件顺推因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要要 7 7 条，最多用了条，最多用了 9 9 条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+1+2+当边长为当边长为 7 7 厘米时，各边分别由厘米时，各边分别由 1+61+6、2+52+5、3+43+4 及及 7 7 组成，只有一组成，只有一种组成方法种组成方法当边长为当边长为 8 8 厘米时，各边分别由厘米时，各边分别由 1+71+7、2+62+6、3+53+5 及及 8 8 组成，也只有组成，也只有一种组成
22、方法一种组成方法当边长为当边长为 9 9 厘米时，厘米时，各边分别由各边分别由 1+81+8、2+72+7、3+63+6 及及 9 9；1 18 8、2 27 7、4+54+5 及及 9 9；2 27 7、3 36 6、4+54+5 及及 9 9；1 18 8、3 36 6、4 45 5 及及 9 9；1 18 8、2+72+7、3 36 6 及及 4 45 5 共共 5 5 种组成方法种组成方法当边长为当边长为 1010 厘米时，各边分别由厘米时，各边分别由 1+91+9、2 28 8、3 37 7 及及 4 46 6 组成，组成，也只有一种组成方法也只有一种组成方法当边长为当边长为 111
23、1 厘米时，各边分别由厘米时，各边分别由 2+92+9、 3 38 8、4 47 7 及及 5+65+6 组成，组成，也只有一种组成方法也只有一种组成方法将上述各种组成法相加，就是所求问题了将上述各种组成法相加，就是所求问题了此题的思路图如下（图此题的思路图如下（图 2.82.8）：）：问题：问题：四、还原思路四、还原思路从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路题，这种解题思路叫还原思路 解这类问题，解这类问题，从最后结果往回算，从最后结果往回算，原来加的用减、原来加的用减、原来减
24、的用加，原来减的用加，原来乘的用除，原来乘的用除，原来除的用乘原来除的用乘 运用还原思路解题的方法叫运用还原思路解题的方法叫“ “还原还原法法” ”例例 1 1 一个数加上一个数加上 2 2，减去，减去 3 3，乘以，乘以 4 4，除以，除以 5 5 等于等于 1212，你猜这个数是，你猜这个数是多少？多少？分析（用还原思路考虑）：分析（用还原思路考虑）：从运算结果从运算结果 1212 逐步逆推，逐步逆推， 这个数没除以这个数没除以 5 5 时应等于多少？没乘以时应等于多少？没乘以 4 4 时时应等于多少？不减去应等于多少？不减去 3 3 时应等于多少？不加上时应等于多少？不加上 2 2 时又
25、是多少？这里分别利用了时又是多少？这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案加与减，乘与除之间的逆运算关系，一步步倒推还原，直找到答案其思路图如下（图其思路图如下（图 2.92.9）：）：条件：条件：例例 2 2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒花，喝光壶中酒 试问酒壶中，原有多少酒？试问酒壶中，原有多少酒？分析（用还原思路探索）：分析（用还原思路探索）：李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名
26、算题题 题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添 1 1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒 1 1 斗斗 这样他遇店、见花经过这样他遇店、见花经过 3 3 次，便次，便把所有的酒全喝光了把所有的酒全喝光了 问：李白的酒壶中原有酒多少？问：李白的酒壶中原有酒多少？下面我们运用还原思路，从下面我们运用还原思路，从“ “三遇店和花，喝光壶中酒三遇店和花，喝光壶中酒” ”开始推算开始推算见花前见花前有有 1 1 斗酒斗酒第三次：见花后第三次：见花后壶中酒全喝光壶中酒全喝光第三次
27、：遇店前第三次：遇店前壶中有酒半斗壶中有酒半斗第一次：见花前第一次：见花前壶中有酒为第二次遇店前的再加壶中有酒为第二次遇店前的再加 1 1 斗斗遇店前遇店前壶中有酒为第一次见花前的一半壶中有酒为第一次见花前的一半其思路图如下其思路图如下五、假设思路五、假设思路在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“ “首先提出首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实假设、猜想，然后再进行检验、证实 ” ”的过程中建立起来的的过程中建立起来的 数学解题中，也离不数学解题中，也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂的题目时，如能用开假设思路，尤
28、其是在解比较复杂的题目时，如能用 “ “假设假设” ”的办法去思考，往的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便往比其他思路简捷、方便 我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路思路，叫假设思路例例 1 1 中山百货商店，委托运输队包运中山百货商店，委托运输队包运 10001000 只花瓶，议定每只花瓶运只花瓶，议定每只花瓶运费费 0.40.4 元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失 5.15.1 元元 结果运输结果运输队获得运费队获得运费 382.5382.5 元元 问：损
29、坏了花瓶多少只？问：损坏了花瓶多少只？分析（用假设思路考虑）：分析（用假设思路考虑）：（1 1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是多少？少？0.40.41000=4001000=400（元）（元）（2 2）而实际只有）而实际只有 383.5383.5 元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，一只花瓶，不但不给运费，不但不给运费，而且还要赔偿损失而且还要赔偿损失 5.15.1 元，元，这就是说损坏一只花瓶比这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元？不损坏一
30、只花瓶的差额应该是多少元？0.40.45.1=5.55.1=5.5（元）（元）（3 3）总差额中含有一个）总差额中含有一个 5.55.5 元，就损坏了一只花瓶，含有几个元，就损坏了一只花瓶，含有几个5.55.5 元，元，就是损坏了几只花瓶就是损坏了几只花瓶 由此便可求得本题的答案由此便可求得本题的答案例例 2 2 有有 100100 名学生在车站准备乘车去离车站名学生在车站准备乘车去离车站 600600 米的烈士纪念馆搞活米的烈士纪念馆搞活动，动， 等最后一人到达纪念馆等最后一人到达纪念馆 4545 分钟以后，分钟以后， 再去离纪念馆再去离纪念馆 900900 米的公园搞活动米的公园搞活动 现
31、现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟 300300 米和米和 150150 米，而中巴和米，而中巴和大巴分别可乘坐大巴分别可乘坐 1010 人和人和 2525 人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？人，问最后一批学生到达公园最少需要多少时间？分析（用假设思路思索）；分析（用假设思路思索）；假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600600900900）米）米 把在把在最后最后 1 1 人到达纪念馆后停留人到达纪念馆后停留 4545 分钟，假设为在公园停留分钟，假设为在公园停留 4545
32、 分钟，则问题将大分钟，则问题将大大简化大简化（1 1）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时）从车站经烈士纪念馆到达公园，中巴、大巴往返一次各要多少时间？间？中巴：（中巴：（600+900600+900） 3003002=102=10（分钟）（分钟）大巴：（大巴：（600+900600+900） 1501502=202=20（分钟）（分钟）（2 2）中巴和大巴在）中巴和大巴在 2020 分钟内共可运多少人？分钟内共可运多少人？中巴每次可坐中巴每次可坐 1010 人，往返一次要人，往返一次要 1010 分钟，故分钟，故 2020 分钟可运分钟可运 2020 人人大巴每次可坐大
33、巴每次可坐 2525 人，往返一次要人，往返一次要 2020 分钟，故分钟，故 2020 分钟可运分钟可运 2525 人人所以在所以在 2020 分钟内中巴、大巴共运分钟内中巴、大巴共运 4545 人人（3 3）中巴和大巴）中巴和大巴 2020 分钟可运分钟可运 4545 人，那么人，那么 4040 分钟就可运分钟就可运 45452=902=90（人），（人），100100 人运走人运走 9090 人还剩下人还剩下 1010 人，还需中巴再花人，还需中巴再花 1010 分钟运一次就够了分钟运一次就够了（4 4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把
34、运 9090 人所需的时间，人所需的时间，运运 1010 人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可六、消去思路六、消去思路对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法思路，运用消去思路解题的方法叫消去法 二元一次方程组的解法，就是沿着这二元一次方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的条思路考虑的例例 1
35、 1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了师徒两人合做一批零件，徒弟做了 6 6 小时，师傅做了小时，师傅做了 8 8 小时，一小时，一共做了共做了 312312 个零件，徒弟个零件，徒弟 5 5 小时的工作量等于师傅小时的工作量等于师傅 2 2 小时的工作量，师徒每小小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？时各做多少个零件？分析（用消去思路考虑）：分析（用消去思路考虑）：这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量 如果以徒弟每小时工如果以徒弟每小时工作量为作量为 1 1 份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替
36、，那么师傅 8 8 小时的工作小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅量相当于这样的几份呢？很明显，师傅 2 2 小时的工作量相当于徒弟小时的工作量相当于徒弟 5 5 小时的工小时的工作量，那么作量，那么 8 8 小时里有几个小时里有几个 2 2 小时就是几个小时就是几个 5 5 小时工作量，这样就把师傅的工小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看然后再看 3 31212 个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少
37、个就是徒弟应做多少个 求出求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了师傅的工作量了例例 2 2 小明买小明买 2 2 本练习本、本练习本、2 2 枝铅笔、枝铅笔、2 2 块橡皮，共用块橡皮，共用 0.360.36 元，小军买元，小军买4 4 本练习本、本练习本、3 3 枝铅笔、枝铅笔、2 2 块橡皮，共用去块橡皮，共用去 0.600.60 元，小庆买元，小庆买 5 5 本练习本、本练习本、4 4 枝铅枝铅笔、笔、2 2 块橡皮，共用去块橡皮，共用去 0.750.75 元，问练习本、铅
38、笔、橡皮的单价各是多少钱？元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？分析（用消去法思考）：分析（用消去法思考）：这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？我们要同时求出三个未知数是有困难的要同时求出三个未知数是有困难的应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数，只留下一个未知数就好了数，只留下一个未知数就好了如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，如何消去一个未知数或两个未知数？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量
39、，再不能直接消去，就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量，再用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：用加减法即可消去，本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：小明小明 2 2 本本 2 2 枝枝 2 2 块块 0.360.36 元元小军小军 4 4 本本 3 3 枝枝 2 2 块块 0.600.60 元元小庆小庆 5 5 本本 4 4 枝枝 2 2 块块 0.750.75 元元现在把小明的各数分别除以现在把小明的各数分别除以 2 2，可得到，可得到 1 1 本练习本、本练习本、1 1 枝铅笔、枝铅笔、1 1 块橡块橡皮共皮共 0.180.18 元元接着用小庆的
40、各数减去小军的各数，得接着用小庆的各数减去小军的各数，得 1 1 本练习本、本练习本、1 1 枝铅笔为枝铅笔为 0.150.15元元再把小明各数除以再把小明各数除以 2 2 所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两所得的各数减去上数，就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到个未知数，得到 1 1 块橡皮块橡皮 0.030.03 元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价元，采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价七、转化思路七、转化思路解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问
41、题，这就是转化思路或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路 运用转化思路解运用转化思路解题就叫转化法题就叫转化法各养兔多少只？各养兔多少只？分析（用转化思路思索）：分析（用转化思路思索）：题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：总只数应是：100-16100-163=523=52（只）（只）分析（用转化思路分析）：分析（用转化思路分析）：本题求和，题中每个分数
42、的分子都是本题求和，题中每个分数的分子都是 1 1，分母是几个连续自然数的和，分母是几个连续自然数的和，好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数好像不能把每个分数分成两个分数相减，然后相加抵消一些数 但是只要我们按但是只要我们按等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连等差数列求和公式，求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式续自然数积的形式然后再相加，抵消中间的各个分数即可然后再相加，抵消中间的各个分数即可八、类比思路八、类比思路类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题 例如从等差数列求
43、和公式想例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路的思想方法，也是解题的一种重要思路例例 1 1 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲 6 6 下，下，5 5秒钟敲完；钟敲秒钟敲完；钟敲 1212 下，几秒敲完？下，几秒敲完？分析（用类比思路探讨）：分析（用类比思路探讨）：有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为 1010 秒钟敲完，那就完全错了秒钟敲完
44、，那就完全错了其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植其实此题只要运用类比思路，与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（树分成几段（株距），如果不包括两个端点，共需植（n-1n-1）棵树，如果包括两）棵树，如果包括两个端点，共需植树（个端点，共需植树（n n1 1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树，把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了作棵距，此题就迎刃而解了例例 2 2 从时针指向从时针指向 4 4 点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合点开始，再经过多少分钟，时针正好
45、与分钟重合分析（用类比思路讨论）：分析（用类比思路讨论）：本题可以与行程问题进行类比本题可以与行程问题进行类比 如图如图 2.112.11，如果用时针如果用时针 1 1 小时所走的一小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距 4 4 格，分格，分如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了与行程问题中的追及问题相似了 4 4 为距离差，速度差为，重合的时间，就是追为距离差，速度差为，重合的时间，就是
46、追上的时间上的时间九、分类思路九、分类思路把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路问题得到解决，这就是分类思路 这种思路在解决数图形个数问题中经常用到这种思路在解决数图形个数问题中经常用到例例 1 1 如图如图 2.122.12，共有多少个三角形？，共有多少个三角形？分析（用分类思路考虑）：分析（用分类思路考虑）：这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的比较困难的 怎么办？可以把图中所有三角
47、形按大小分成几类，然后分类去数，怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了再相加就是总数了 本题根据条件，可以分为五类（如图本题根据条件，可以分为五类（如图 2.132.13）例例 2 2 如图如图 2.142.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“ “将将” ”处，这小卒有多少种不同的走法？处，这小卒有多少种不同的走法？分析（运用分类思路分析）：分析（运用分类思路分析）：小卒过河后，首先到达小卒过河后，首先到达 A A 点，因此，题目实际上是问：从点，因此，题目实际上是问：从 A A 点出发，点出发，
48、沿最短路径有多少种走法可以到达沿最短路径有多少种走法可以到达“ “将将” ”处，所谓最短，是指不走回头路处，所谓最短，是指不走回头路因为因为“ “将将” ”直接相通的是直接相通的是 P P 点和点和 K K 点，所以要求从点，所以要求从A A 点到点到“ “将将” ”处有多少处有多少种走法，就必须是求出从种走法，就必须是求出从 A A 到到 P P 和从和从 A A 到到 K K 各有多少种走法各有多少种走法分类分类 一种走法：一种走法：A A 到到 B B、C C、D D、E E、F F、G G 都是各有一种走法都是各有一种走法二种走法：从二种走法：从 A A 到到 H H 有两种走法有两种
49、走法三种走法：从三种走法：从 A A 到到 MM 及从及从 A A 到到 I I 各有三种走法各有三种走法其他各类的走法：因为从其他各类的走法：因为从 A A 到到 MM、到、到 I I 各有各有 3 3 种走法，所以从种走法，所以从 A A 到到 N N就有就有 3 33 36 6 种走法了，因为从种走法了，因为从 A A 到到 I I 有有 3 3 种走法，从种走法，从 A A 到到 D D 有有 1 1 种走法，所种走法，所以从以从 A A 到到 J J 就有就有 3 31=41=4 种走法了；种走法了；P P 与与 N N、J J 相邻，而相邻，而A A 到到 N N 有有 6 6 种
50、走法，种走法，A A到到 J J 有有 4 4 种走法，所以从种走法，所以从A A 到到 P P 就有就有 6+4=106+4=10 种走法了；同理种走法了；同理K K 与与 J J、E E 相邻，相邻，而而 A A 到到 J J 有有 4 4 种走法，到种走法，到 E E 有有 1 1 种走法，所以种走法，所以 A A 到到 K K 就有就有 4+1=54+1=5 种走法种走法再求从再求从 A A 到到“ “将将” ”处共有多少种走法就非常容易了处共有多少种走法就非常容易了十、等量代换思路十、等量代换思路( (本文选自：本文选自：小学数学解题方法、思路、技巧汇编小学数学解题方法、思路、技巧汇