《2021届山东省实验中学高三下学期一模数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届山东省实验中学高三下学期一模数学试题(解析版).pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20212021 届山东省实验中学高三下学期一模数学试题届山东省实验中学高三下学期一模数学试题一、单选题一、单选题x1 1已知集合已知集合A x x 1,B x 2 4，则，则AB A A0,2C C1,【答案】BB B1,2D D,2【分析】利用指数函数的单调性求出集合B，再利用集合的交运算即可求解.x【详解】由A x x 1,B x 2 4x x 2，则AB 1,2.故选：B【点睛】本题考查了集合的角运算，同时考查了利用指数函数的单调性解不等式，属于基础题.2 2设设i为虚数单位，复数为虚数单位，复数z满足满足1iz 2i，则，则z A A1 1【答案】B【分析】 把已知等式变形， 利用复
2、数代数形式的乘除运算， 再由复数模的计算公式求解【详解】由 z（1i）2i，得 z|z|2故选 B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题B B2C C3D D2 22i1i2i 1i，1i1i1i)2ex1,x 13 3已知函数已知函数f (x) 3则则 f f f f( (x x)2)2 的解集为（的解集为（）x x,x 1A A(1(1lnln2 2，)C C(1(1lnln2 2，1)1)【答案】B【分析】根据题意，由分段函数的解析式分段分析函数的单调性， 综合可得函数f (x)在B B( ( ，1 1lnln2)2)D D(1(1，1 1lnln2)2)R上
3、为增函数，设t f (x)，若f ( f (x) 2，分析可得t 1，即f (x) 1，结合函数的单调性分析可得2ex11，解可得x的取值范围，即可得答案2ex1,x 1【详解】根据题意，函数f (x) 3，x x,x 1当x 1时，f (x) 2ex1，为增函数，且f (x) f（1） 2，当x 1时，f (x) x3 x，为增函数，且f (x) f（1）2，则函数f (x)在R上为增函数，设t f (x)若f ( f (x) 2，即f (t) 2，则有t 1，即f (x) 1，则有2ex11，解可得x 1ln2，则f ( f (x) 2的解集为(,1ln2)；故选：B【点睛】本题考查分段函
4、数及运用，涉及不等式的解法，注意分析函数f (x)的单调性4 4如图，在如图，在ABC中，中，AB 2，AC 3，BAC 则则CN AB=3，M、N分别为分别为BC、AM的中点，的中点，A A2【答案】C3B B45C C45D D4131【分析】设AB a，AC b，则AM (ab)，根据线性运算可得CN ab，代442入CN AB根据数量积运算可得结果.1【详解】设AB a，AC b，则AM (ab)，2113AM AC ab，2443 1231315 1CN AB aba a ab 423 .44444244CN AN AC 故选：C.【点睛】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的应用，
5、解题关键是用已知向量将未知向量代换，再进行数量积运算即可，属于中等题.2 5 5若若x 2的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是xA A210210【答案】B【分析】根据题意，得出二项式的指数n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少B B180180C C160160D D175175n2 【详解】解：x 2展开式中只有第六项的二项式系数最大，x展开式中共有 11 项，n10；展开式的通项公式为Tr1 C ( x)令55r 0，得r2r1010r5r52rrrr(2) C10(1) 2 x2xn222，常数项是
6、T21 2 C10180，故选 B【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目6 6 从混有从混有5张假钞的张假钞的20张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出2张，张， 将其中将其中1张放到验钞机上检验发现张放到验钞机上检验发现是假钞，则另是假钞，则另1张也是假钞的概率为（张也是假钞的概率为（）A AC C119217B BD D4191738【答案】C【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件A:抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B:抽到的2张钞票都是假钞，11C5C15C528517C521P AB 则PA，22C2019038C2019
7、因此，PB A故选：C.PABPA1382.191717【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率PB A的步骤：（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算PA、PAB；（3）代入公式求PB APABPA.log1(x1),0 x 17 7已知已知fx是定义在是定义在 R R 上的奇函数，当上的奇函数，当x 0时，时，f (x) 2，则关，则关1 x3 ,x 1于的函数于的函数Fx fxa0 a 1的所有零点之和为（的所有零点之和为（）A A2a1【答案】CB B2a1C C12aD D12ay a的【分析】 函数Fx fxa0 a 1的零点转化为在同一坐标系内y fx，图象交点的横坐标.作出两函数图
8、象，利用对称性求解.log1x1,x0,1【详解】x 0时，fx2，1 x3 ,x1,即x0,1时，fxlog1x10,1；2x1,3时，fx x21,1；x3,时，fx 4 x,1；画出x 0时y fx的图象，再利用奇函数的对称性，画出x 0时y fx的图像，如图所示：直线y a与y fx共有 5 个交点，则方程fxa 0共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为 6，x0,1时，x0,1，fx log1x1，又fx fx，2fx log1x1 log11 x log21 x，221中间的一个根满足log21 x a，即1 x 2a，得x 12a，所有根的和为12a.故选：C8 8若
9、存在若存在a 0，使得函数使得函数f (x) 6a2lnx与与g(x) x24ax b的图象在这两个函数图象的的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则公共点处的切线相同，则b的最大值为的最大值为()A A13e2B B16e2C C16e2D D13e2【答案】D【分析】 设曲线y f (x)与y g(x)的公共点为(x0，y0)， 利用f(x) g(x)解得x0 a或3a，又x0 0，且a 0，则x0 3a再由f (x0) g(x0)，得到b 3a26a2ln3a(a 0)设hab，再由导数求最值得答案【详解】解：设曲线y f (x)与y g(x)的公共点为(x0，y0)，f (x)
10、6a2，g(x) 2x4a，x6a22x04a ，则x02 2ax03a2 0，x0解得x0 a或3a，又x0 0，且a 0，则x0 3af (x0) g(x0)，x024ax0b 6a2lnx0，b 3a26a2ln3a(a 0)设hab，ha 12a(1ln3a)，令ha0，得a 当0 a 13e1时，ha0；3e当a 1时，ha03e 1 1b的最大值为h23e3e故选：D【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，属于中档题二、多选题二、多选题9 9关于函数关于函数f (x) 3sin2x1(xR)，下列命题正确的是（，下列命题正确的是（）3A A由由f
11、x1 fx21可得可得x1 x2是是的整数倍的整数倍5B By f (x)的表达式可改写成的表达式可改写成f (x) 3cos2x63C Cy f (x)的图象关于点的图象关于点,1对称对称41D Dy f (x)的图象关于直线的图象关于直线x 【答案】BD【分析】举出反例x112对称对称6，x22可判断 A；通过诱导公式可判断 B；根据正弦型函数3的对称中心在曲线上可判断C；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D.【详解】函数f (x) 3sin2x1(xR)，32，周期T 2对于 A：当x16，x22时，满足fx1 fx21，但是不满足x1 x2是的整数3倍，故 A 错误；5对于 B：由
12、诱导公式，3sin2x13cos2x13cos2x3362B 正确；对于 C：令x 33，可得f441，故5311 31 ，故 C 错误； 3sin24322对于 D：当x 关于直线x 故选：BD.时，可得f 3sin1 131 2，fx的图象12126312对称；【点睛】本题主要考查利用y Asinx的信息特征，判断各选项的正误，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.1010若非零实数若非零实数a，b满足满足a b，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A Aa b 2 abC Cab 2a2b2【答案】BC【分析】对于 A：取a,b均为负数，否定结论；对于 B:就是基本不等
13、式；对于 C：两边平方后，利用基本不等式证明；对于 D：取a 2,b 1,验证结论不成立.【详解】对于 A，若a,b均为负数，则不等式显然不成立，则A 错误；对于 B，显然成立，则 B 正确；222对于 C，在a2b2 2ab两边同时加上a2b2,得2 a b (ab) ,则B Ba2b2 2ab 11D Dab 4abab 2 a2b2成立，则 C 正确；1 11 11 对于 D:取a 2,b 1,则ab21 4,所以221ab11ab 4不成立，则 D 错误.ab故选：BC【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立：（1）直接利用不等式的性质；（2）要判断一个不等式正确，需要进行证明；要否定一个
14、不等式，只需举出一个反例即可.（3）运用基本不等式进行证明.1111 如图，如图， 正方体正方体 ABCDABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2 2， 线段线段B1D1上有两个动点上有两个动点M,N，且且MN 1，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（）A AAC BMC C三棱锥三棱锥 A ABMNBMN 的体积为定值的体积为定值【答案】ABCB BMNMN平面平面 ABCDABCDD D AMNAMN 的面积与的面积与 BMNBMN 的面积相等的面积相等A 正确，MN/BD，【分析】 如图所示， 连接BD， 根据AC 平面BDD1B1得到AC BM，故 MN平面 ABCD，B 正确
15、，计算VAMNB误，得到答案.【详解】如图所示：连接BD，易知AC BD，DD1平面ABCD，AC 平面ABCD，故AC DD1，故AC 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，故AC BM，A 正确；易知D1B1/BD，故MN/BD，故 MN平面 ABCD，B 正确；1112为定值，故 C 正确；VAMNBSBMN AO 122 33231hSBMN1，SAMNMN h ，其中h为点A到直线B1D1的距离，根据图像知h 2，222，C 正确，SBMN1，SAMN1，D 错3故SAMN1，故 D 错误；故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计
16、算能力和空间想象能力.1212 德国著名数学家狄利克雷德国著名数学家狄利克雷( (DirichletDirichlet,18051859),18051859)在数学领域成就显著在数学领域成就显著.19.19 世纪世纪, ,狄利克狄利克1,xQ雷定义了一个雷定义了一个“ “奇怪的函数奇怪的函数” ”y fx其中其中R R为实数集为实数集, ,Q Q为有理数集为有理数集. .则关则关0,xC QR于函数于函数fx有如下四个命题有如下四个命题, ,正确的为正确的为A A函数函数fx是偶函数是偶函数B Bx1, ,x2CRQ, ,fx1 x2 fx1 fx2恒成立恒成立C C任取一个不为零的有理数任取
17、一个不为零的有理数 T T, ,fx Tfx对任意的对任意的xR R恒成立恒成立D D不存在三个点不存在三个点Ax1, fx1, ,Bx2, fx2, ,Cx3，fx3, ,使得使得ABC为等腰直角三角为等腰直角三角形形【答案】ACD【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可【详解】对于 A，若xQ，则xQ，满足f (x) f (x)；若xCRQ，则xCRQ，满足f (x) f (x)；故函数f (x)为偶函数，选项 A 正确；对于 B，取x1CRQ,x2 CRQ，则fx1 x2 f01，fx1 fx20，故选项 B 错误；对于 C，若xQ，则xT Q，满足fx fxT；若xCRQ，则xT
18、 CRQ，满足fx fxT，故选项 C 正确；对于 D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点A在y 1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数， 那么点A的横坐标也为无理数， 这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在y 1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边在y 1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数， 那么点A的横坐标也应为有理数， 这与点A的纵坐标为 0 矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边不
19、在y 1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为 1 矛盾，故不成立综上，不存在三个点Ax1, fx1，Bx2, fx2，Cx3，fx3，使得ABC为等腰直角三角形，故选项 D 正确故选：ACD【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题三、填空题三、填空题1313已知直线已知直线l : x y 4 0与圆与圆C :x1y1 2，则，则C上各点到上各点到l的距离的最小的距离的最小值为值为_，【答案】2【详解】如图可知：过圆心作直线l : x y 4 0的垂线，则AD长即
20、为所求；22的圆心为，半径为2点C到直线l : x y 4 0的距离为AD CD AC 2 2 2 2，故C上各点到l的距离的最小值为1414已知已知sincos1【答案】93，则，则cos4_._.3【分析】将sincos即可求得结果【详解】由sincos3两边平方，即可求得sin2，再利用余弦的二倍角公式，3123，得sincos12sincos1sin233221 2所以 sin2，从而 cos412sin22129331故答案为：9x2y21515已知双曲线已知双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F1、F2，过，过F1且斜率为且斜率为ab1的直线与双曲线的直线
21、与双曲线C的渐近线在第一象限交于点的渐近线在第一象限交于点P，若，若PF1 PF2，则双曲线，则双曲线C的离心的离心3率为率为_._.5【答案】4【分析】求得直线PF2的方程为y 3xc，联立直线PF1、PF2的方程，求出点P的bbb坐标，将点P的坐标代入直线方程y x，求出的值，即可得出e 1，即为aaa2所求.【详解】易知直线PF1的方程为y 1xc，因为PF1 PF2，则直线PF2的方程为3y 3xc，41x c 43 y xc53联立，解得，即点Pc,c，55y 3cy 3xc5易知点P在直线y b33b 4bx，可得c c，a5a 5a42cc2a2b25 b .因此，该双曲线的离心
22、率为e 122aaa4a5故答案为：.4【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得a、c，直接利用e c求解；a2b（2）若已知a、b，可直接利用e 1得解；a（3） 若得到的是关于a、c的齐次方程pc2qac ra2 0（p、q、r为常数， 且p 0） ，则转化为关于e的方程pe2qer 0求解.1616三棱锥三棱锥P ABC中，中，PA平面平面ABC，BAC 2，AP 3，AB 2 3，Q是是BC3边上的一个动点，且直线边上的一个动点，且直线PQ与面与面ABC所成角的最大值为所成角的最大值为面积为面积为_【答案】57，则该三棱锥外接球的表，则该三棱锥外接球的表3【分析】根据题意
23、画出图形，结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥P ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.【详解】由题意，三棱锥P ABC中，PA平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为，如图所示，则sinPA33，且sin的最大值是，PQPQ2所以(PQ)min 2 3，所以AQ的最小值是3，即A到BC的距离为3，所以AQ BC，因为AB 2 3，在RtABQ中可得ABC 取ABC的外接圆圆心为O，作OO/ /PA，所以6 2r，解得r 2 3，所以OA 2 3,sin12003，26，即可得BC 6,取H为PA的中点，所以OH OA 2 3,PH 由勾股定理得OP R PH2OH257
24、，2572) 57.2所以三棱锥P ABC的外接球的表面积是S 4R2 4(【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.四、解答题四、解答题1717已知已知ABC的内角的内角A、B、C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c,在以下三个条件中任先一个：在以下三
25、个条件中任先一个：(sinB sinC)2 sin2AsinBsinC；sinBCA6 2 asinB；bsin244并解答以下问题：并解答以下问题：（1 1）若选）若选_(填序号填序号)，求，求A的值；的值；（2 2）在在（1 1）的条件下，的条件下，若若a 3,b m(m 0)，当当ABC有且只有一解时，有且只有一解时，求实数求实数m的的范围及范围及ABC面积面积 S S 的最大值的最大值. .3 3 2 .【答案】 （1）条件选择见解析；A 60； （2）m 0, 3，Smax4【分析】 （1）若选，先化简，再结合正弦定理进行边化角，再利用余弦定理求得1AcosA，结合范围即得结果；若选
26、，利用二倍角以此计算cos、cosA，结合范围22即得结果；若选，利用正弦定理进行边化角，再结合sinsinA1,结合范围即得结果；22BC sinA，进行化简求得2（2）先根据三角形有一解知a bsin A或a b，解得参数 m 的取值范围，再分别讨论m 在不同取值下面积的取值范围，即得最值.【详解】解： （1）若选，由已知化简得sin2Bsin2C sin2AsinBsinC，由正弦定理得b2c2a2 bc，b2c2a21.由余弦定理得cosA 2bc2因为0 A180，所以A60；1AA32A1，故cosA 2cos12sin222242若选，由二倍角公式cos因为0 A180，所以A6
27、0；B C sinAsinB.2若选，由题设及正弦定理得sinBsin因为0 A180，sinB 0,所以sinB C sinA.2由A BC 180 ,可得sinB CAAAA cos,故cos 2sincos，22222因为0AA1AA 90，cos 0,故sin,，因此A 60；222262（2）由已知A60，当ABC有且只有一解时，a bsin A或a b，即3 msin3或3 m 0，故m 2或0 m3，m 0, 32，当m 2时，ABC为直角三角形，B 为直角，b 2,a 2sin 60 3，故c 1，所以S 113；ac 1 3 222当0 m3时,a 3, A 3，由余弦定理可
28、得a2 b2c22bccosA 2bc bc bc,bc 3,当且仅当b c时等号成立，三角形面积为S 1bcsinA1333 3，即ABC面积的最大值Smax3 3.22244综上，ABC面积的最大值Smax【点睛】方法点睛：3 3.4求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立ab，ab，a2b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.1818如图，已知长方体如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，中，AB 1，BC 2，CC1 2，E，F分别为分别为BC，CC1的中点的中点. .（1 1）求过）求过E，F，D1三
29、点的截面的面积；三点的截面的面积；（2 2） 一只小虫从一只小虫从A点经点经BB1上一点上一点P到达到达C1点，点， 求小虫所经过路程最短时，求小虫所经过路程最短时， 直线直线ED1与与平面平面APC1所成的角的正弦值所成的角的正弦值. .【答案】 （1）1023 3.； （2）172【分析】 （1） 连接AD1，AE，BC1， 则四边形ABC1D1为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点，利用平行的传递性，得到所求截面为梯形EFD1A，进而利用勾股定理和梯形的面积公式求解即可；（2）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.若所经过路程最短， 则APB与C
30、1PB1相似， 所以B1PB1C12， 进而求出P点坐标，BPAB1进而求出平面APC1的法向量，最后利用线面角正弦值的向量公式求解即可【详解】解： （1）连接AD1，AE，BC1，则四边形ABC1D1为平行四边形，又因为E，F分别为BC，CC1的中点，所以AD1/ /BC1，EF / BC1/ AD1，所以所求截面为梯形EFD1A.EF EC2CF22，AD1 2 2，AE D1F 2，16梯形的高h D1F2(AD EF)2，22163 3.所以所求截面面积S ( 2 2 2)222（2）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则A2,0,0，C10,1,
31、2，D10,0,2，E1,1,0，若所经过路程最短，则APB与C1PB1相似，所以2AP 0,1,，AC12,1,2，32B1PB1C12，所以P2,1,.3BPAB12yz 03设平面APC1的法向量n x, y,z，则，2x y2z 0令z 3，则y 2，x 2，所以n 2,2,3，ED11,1,2.cos n,D1E 226102，17449 114102.17所以直线ED1与平面APC1所成的角的正弦值是【点睛】关键点睛： （1）解题的关键在于利用平行的传递性，找出所求的截面，进而求解； （2）解题的关键在于根据题意所指的经过路程最短，得到APB与C1PB1相似，进而求出P点坐标，最后
32、利用空间向量的相关公式进行求解1919已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，S3 2S21，a2n1 2an3，nN*. .（1 1）求）求an的通项公式；的通项公式；（2 2） 设数列设数列bn满足满足b13b2n4nbn(2n1)bn nnN*， 记数列记数列1的前的前n项项an1和为和为Tn，求，求Tn. .2n,n 2k2n1kN*【答案】 （1）an 2n1； （2）Tn2n2,n 2k 12n1【分析】 （1）因为a2n1 2an3，nN*，所以取n 1，得a3 2a13，又S3 2S21，利用等差数列通项公式及前n 项和公式，将上面两式用首项a1与公差d表示，联
33、立方程组即可求解；（2）先求出bn的通项公式，然后把(1)n4nbn11n裂项为(1)，最后对nan12n 12n 1分奇偶讨论，再用裂项相消求和法即可求解.【详解】解： （1）设等差数列an的公差为d，由S3 2S21，可得3a13d 2(2a1d)1，即a1d 1 0记为.*又因为a2n1 2an3,n N，取n 1，所以a3 2a13，即a12d 3 0记为，由可得a11，d 2.故an的通项公式为an 2n1.（2）由b13b2 (2n1)bn n，n 1，可得b11，n 2时，b13b2 (2n1)bn n，b13b2 (2n3)bn1 n1(n 2)，上述两式作差可得bn由b11可
34、知bn1(n 2)，2n11nN*.2n14n11n4nbn (1)n (1)n所以(1).an1(2n1)(2n1)2n12n1*当n 2kkN时11111111 1Tn 1 ，335572n32n12n12n1Tn 112n .2n12n11111111*当n 2k 1kN时，Tn 1 ，335572n12n112n2 Tn 1.2n12n12n,n 2k2n1kN*.故Tn2n2,n 2k 12n1【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是将(1)n4nbn11n裂项为(1)，an12n 12n 1然后对n分奇偶讨论，再用裂项相消求和法求解.202020202020 年春天随着疫情的有效控制，
35、高三学生开始返校复课学习年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习. .为了减少学生就餐为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B两种套餐（每人两种套餐（每人每次只能选择其中一种）每次只能选择其中一种） ，经过统计分析发现：学生第一天选择，经过统计分析发现：学生第一天选择A类套餐的概率为类套餐的概率为2、311选择选择B类套餐的概率为类套餐的概率为而前一天选择了而前一天选择了A类套餐第二天选择类套餐第二天选择A类套餐的概率为类套餐的概率为、3431选择选择B套餐的概率为套餐的概率为；前一天选择；
36、前一天选择B类套餐第二天选择类套餐第二天选择A类套餐的概率为类套餐的概率为2、选择、选择B4类套餐的概率也是类套餐的概率也是2，如此往复记某同学第，如此往复记某同学第n天选择天选择A类套餐的概率为类套餐的概率为Pn2（1 1）证明数列）证明数列Pn是等比数列，并求数列是等比数列，并求数列Pn的通项公式；的通项公式；51（2 2）记高三某宿舍的记高三某宿舍的 3 3 名同学在复课第二天选择名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为类套餐的人数为X，求求X的分布列的分布列并求并求EX；（3 3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生
37、的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有用课余时间参加志愿者服务活动，其中有 2020 位学生负责为全体同学分发套餐如果你位学生负责为全体同学分发套餐如果你是组长，如何安排分发是组长，如何安排分发A、B套餐的同学的人数呢，说明理由套餐的同学的人数呢，说明理由216 1【答案】 （1）证明见解析，Pn； （2）分布列见解析，1； （3）A套餐的5154n8 人，B套餐的 12 人；理由见解析211【分析】 （1）依题意得Pn1 Pn1 Pn，根据递推关系即可证明Pn是等比5422数列，利用等比数列通项公式求得Pn的通项，即可求得Pn的通项公式；5（2）依题意求得第二
38、天选择A、B类套餐的概率，列出X的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；2（3）由Pn的通项公式得P30，根据总人数即可求得分发A、B套餐的同学的人数511【详解】 （1）依题意，Pn1 Pn1 Pn，42则Pn1212 Pn(n 1,nN).545当n 1时，可得P124，515241数列Pn是首项为公比为的等比数列.5415216 1Pn.5154n21111（2）第二天选择A类套餐的概率PA；3432323112第二天选择B类套餐的概率PB，343233 人在第二天的有X个人选择A套餐，X的所有可能取值为 0、1、2、3，1 2有P(X k) C3k 3 3k3k(k 0,1,2,
39、3)，X的分布列为XP08271492293127故E(X) 084211 231.279927n216 1（3）由（1）知：Pn，515422P30，即第 30 次以后购买A套餐的概率约为.552则208，208125负责A套餐的 8 人，负责B套餐的 12 人.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）2
40、2121已知椭圆已知椭圆C的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，离心率为，过点，过点F2且与且与x轴垂直的直轴垂直的直3线与椭圆线与椭圆C在第一象限交于点在第一象限交于点P，且，且F1PF2的面积为的面积为（1 1）求椭圆的标准方程；）求椭圆的标准方程；10. .3（2 2）过点）过点A3,0的直线与的直线与y轴正半轴交于点轴正半轴交于点S，与曲线，与曲线C交于点交于点E，EF1 x轴，过点轴，过点S的另一直线与曲线的另一直线与曲线C交于交于M，N两点，若两点，若SSMA 2SSEN，求，求MN所在的直线方程所在的直线方程. .x2y255【答案】 （1）（2）y 1；x1
41、或y x1.9533【分析】 （1）根据题意，列方程求解即可；（2）根据题意，作图如下：明显地，SAOAEF1，得到点S0,1，利用，得到ca23SA3，进而得到SE2SSMASSEN1SM SA sinMSA3 SM23，SM 2 SN，即SM 2SN，13 SNSN SE sinESN2进而得到，Mx1,y1，Nx2, y2，则SM x1, y11，SN x2, y21，然后联立方程，利用韦达定理进行消参求解即可得到答案c2b210【详解】 （1）由题意知e ，c，a3a3又a2b2c2，b25，c 2，x2y2椭圆标准方程为1.955（2）EF1 x轴，E2,，3y03设S0,y0，则5
42、5，y01，即S0,1，3ca23，SA3S，SE2SSMASEN1SM SA sinMSA3 SM2 3，12 SNSN SE sinESN2SM 2 SN，即SM 2SN，设Mx1,y1，Nx2, y2，则SM x1, y11，SN x2, y21，x1 2x2.当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x 0，此时件.SMSN5 1 2不符合条5 1当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y kx1，y kx122联立x2y2得59kx 18kx 36 0.15 918kx x 1259k218kx 23659k2得，x1x221859k2x 259k2x1 2x2185 18k.，解得k
43、 22359k59k2故直线MN的方程为y 55x1或y x1.33AEF1，得到点S0,1，得到【点睛】关键点睛：解题关键就是利用SAOSA3，SE2进而得到SSMASM3，SM 2 SN，即SM 2SN，然后联立方程，消参求解，SSENSNSSMA难点在于由得到SM 2SN，属于难题SSEN22222已知函数已知函数f (x) xlnxaxaR. .（1 1）若）若f (x)在其定义域上为单调递减函数，求实数在其定义域上为单调递减函数，求实数a的取值范围；的取值范围；（2 2）设函数）设函数g(x) f (x) xcos xsin x xln x. .若若g(x)在在0,上恰有上恰有 1
44、1 个零点，求实数个零点，求实数a的取值范围；的取值范围；2证明：当证明：当a1时，时，f (x) x2ex x. .14【答案】 （1）a ； （2）0 a 2；证明见解析.2【分析】 （1）将问题转化为“2a lnx1ln x1恒成立”，构造函数h(x) ，分析其xx单调性和最值，由此求解出hx的最小值，则a的取值范围可求；a 先求解出gx，（2）然后根据三角函数的有界性对a进行分类讨论：110 a 、22a 0，分别确定出gx的单调性并分析其最值由此确定出零点个数并求解出a的取值范围；先将不等式变形为“ln x ax xex1”，然后结合（1）的结论ln x x1进行证明.【详解】解：
45、（1）法一：f (x) ln x1 2ax 0在0,上恒成立，所以2a 由由lnx1ln x1ln x，令h(x) ，则h(x) 2，xxxln x 0，得x 1，所以h(x)在1,单调递增，2xln x 0，得0 x 1，所以h(x)在0,1单调递减，x2所以当x 1时，h(x)取得最小值h11，1所以a .2法二：f (x) ln x1 2ax 0在0,上恒成立，f (x) 当a 0时，f 1 0，不满足题设，当a 0时，令f (x) 112a 0，x ，x2a12a，x1 1在0,上f (x) 0，f(x)单调递增；在,上f (x) 0，f(x)单调递减；2a2af (x)max ln(
46、1111)12a() ln() 0，所以a .22a2a2a（2）g(x) ax2 xcosxsin x，x0,，2所以g(x) x(2a sin x)，1时，2asinx0，所以g(x)在0,单调递增，22又因为g00，所以g(x)在0,上无零点.21当0 a 时，x00,，使得sin x0 2a，22当a 当xx0,时，gx 0，当x0,x0时，gx 0，2所以g(x)在x0,单调递减，在0,x0单调递增，2a2又因为g00，g() 1，244a21 0，即a 2时，g(x)在0,上无零点，所以若244a21 0，即0 a 2时，g(x)在0,上有一个零点，若24当a 0时，g(x) 2a
47、 xsin x 0，g(x)在0,上单调递减且g00，所以g(x)在20,上无零点，24综上：当0 a 2时，g(x)在0,上有一个零点.2证明：f (x) x2ex x，等价于ln x ax xex1，即证exlnx ln x ax1，由（1）得ln x x1，可得ex x1，所以exlnx ln x x1，又当a1时，lnx x1lnxax1，所以exlnx ln x ax 1，所以f (x) x2ex x恒成立.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.