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1、第三章第三章 概率概率 单元复习单元复习郭嗣明郭嗣明 2011.10 知识结构知识结构随机事件随机事件古典概型古典概型几何概型几何概型随机数与随机模拟随机数与随机模拟频率频率概率的意义与性质概率的意义与性质概率的实际应用概率的实际应用知识梳理知识梳理1.1.事件的有关概念事件的有关概念（1 1）必然事件：）必然事件：在条件在条件S S下，一定会发下，一定会发生的事件生的事件. .（3 3）随机事件：）随机事件：在条件在条件S S下，可能发生下，可能发生也可能不发生的事件也可能不发生的事件. . （2 2）不可能事件：）不可能事件：在条件在条件S S下，一定不下，一定不会发生的事件会发生的事件.
2、 .2.2.事件事件A A出现的频率出现的频率 在相同的条件在相同的条件S S下重复下重复n n次试验，事件次试验，事件A A出出现的次数为现的次数为n nA A与与n n的比值，即的比值，即 ( )AAnf nn=3.3.事件事件A A发生的概率发生的概率 通过大量重复试验得到事件通过大量重复试验得到事件A A发生的发生的频率的稳定值频率的稳定值. . 4.4.事件的关系与运算事件的关系与运算（1 1）包含事件：）包含事件：如果当事件如果当事件A A发生时，发生时，事件事件B B一定发生，则一定发生，则 （或（或 ）. .BAAB（2 2）相等事件：）相等事件：若若 ，且，且 ， 则则A=B
3、.A=B.BAAB（3 3）并事件（和事件）：）并事件（和事件）：当且仅当事件当且仅当事件A A发生或事件发生或事件B B发生时，事件发生时，事件C C发生，则发生，则C=ABC=AB（或（或A+BA+B）. .（4 4）交事件（积事件）：）交事件（积事件）：当且仅当事件当且仅当事件A A发生且事件发生且事件B B发生时，事件发生时，事件C C发生，则发生，则C=ABC=AB（或（或ABAB）. .（5 5）互斥事件：）互斥事件：事件事件A A与事件与事件B B不同时发不同时发生，即生，即ABAB.（6 6）对立事件：）对立事件：事件事件A A与事件与事件B B有且只有有且只有一个发生，即一个
4、发生，即ABAB为不可能事件，为不可能事件，ABAB为必然事件为必然事件. .5.5.概率的几个基本性质概率的几个基本性质（1 1）0P(A)1.0P(A)1.（2 2）若事件）若事件A A与与B B互斥，则互斥，则 P P（ABAB）P P（A A）P P（B B）. .（3 3）若事件）若事件A A与与B B对立，则对立，则 P P（A A）P P（B B）=1.=1.6.6.基本事件的特点基本事件的特点 （1 1）任何两个基本事件是互斥的）任何两个基本事件是互斥的. .（2 2）任何事件（除不可能事件）都可以）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和表示成基本事件的和. .8.8
5、.古典概型的概率公式古典概型的概率公式事件事件A A所包含的基本事件的个数所包含的基本事件的个数 基本事件的总数基本事件的总数P(A)=P(A)=7.7.古典概型古典概型 一次试验中所有可能出现的基本事一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性），且每个基本件只有有限个（有限性），且每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）事件出现的可能性相等（等可能性）. .9.9.几何概型几何概型 每个事件发生的概率只与构成该事每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例件区域的长度（面积或体积）成比例. .10.10.几何概型的概率公式几何概型的概率公式 构成事件构成事件A A的
6、区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（面积或体积）P P（A A）= =11.11.随机数随机数（1 1）整数随机数：）整数随机数：对于某个指定范围内对于某个指定范围内的整数，每次从中有放回随机取出的一的整数，每次从中有放回随机取出的一个数个数. .（2 2）均匀随机数：）均匀随机数：在区间在区间aa，bb上等可上等可能取到的任意一个值能取到的任意一个值. .12. 12. 随机模拟方法随机模拟方法 利用计算器或计算机产生随机数，利用计算器或计算机产生随机数，从而获得试验结果从而获得试验结果. . 例题分析【例
7、1】袋中有10个球，其中8个白球，2个黄球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是黄球28453245现有一批产品共10件，其中8件正品，2件次品 (1)如果任取一件然后放回，再任取一件然后放回，再任取一件，求连续3次取出的都是正品的概率 (2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率解：(1)有放回地抽取3次按顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z各有10种可能故试验的所有结果即基本事件总数n1031000.设事件A为“连续3次取出的都是正品”，则x，y，z各有8种可能，即事件A包含的基本事件数nA88883.33864
8、)10125AnP An（(2)一次取3件可认为连续取三次且是不放回抽取，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x有10种可能，y还有9种可能，z只有8种可能，故(x，y，z)共有n1098种不同结果设事件B为：“3件都是正品”，则x有8种可能，y还有7种可能，z只有6种可能故事件B包含的基本事件数nB876种8 7 67)10 9 815BnPn （B例题分析【例2】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘船都不需要等待码头空出的概率.解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，则0
9、 x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A的面积的面积集合A为右图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形由几何概型公式得，所求概率为P(A)0.879.答：两船都不需要等待码头空出的概率约为0.879.2221124 1242506.522=24576（）（） 如图，在三角形如图，在三角形AOB中中,已知已知AOB=60,OA=2，OB=5，在线段，在线段OB上任取一点上任取一点C（1）求）求AOC为钝角三角形的概率为钝角三角形的概
10、率（2）求）求AOC为锐角三角形的概率为锐角三角形的概率AOB变式训练一、关于互斥事件与对立事件概念的理解 互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生 所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥 若事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率 求
11、复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P( )求解A二、古典概型二、古典概型三、几何概型三、几何概型四、概率中的数学思想四、概率中的数学思想（1）对于求“至多”“至少”等事件的概率问题，常常利用补集思想，即求对立事件B的概率P(B)，然后利用1P(B)求得原来事件的概率（2）分类讨论思想可将复杂问题分解成几个简单问题，起到化整为零的作用，然后再各个击破比如，在本章中求概率时，要考虑各种情况对应的结果数，就要分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏1下列说法：必然事件的概率为1；如果某种彩票的中奖概率为，那么买1000张
12、这种彩票一定能中奖；某事件的概率为1.1；互斥事件一定是对立事件；在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型其中正确的说法是()A B C D2甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()131412ABCD无法确定4.某城市2008年的空气质量状况如下表所示：污染指数T不大于30(30,60(60,100(100,110(110,130(130,140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T140时，空气质量为轻微污染，该城市2008年空气质量达到良或优的概率为() A B. CD351180119565(2009聊城市模拟)连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n作为点P(m，n)的坐标，那么点P落在圆x2y217外部的概率为()A. B. C. D.1118131823136从(0,2)中，随机地取两个数，两数之和小于0.8的概率为_7.从甲乙丙丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率为_8.从含有两件正品a、b和一件次品c的三件产品中每次任取一件，连续取两次，求下列条件下取出的两件产品中恰有一件次品的概率：(1)每次取出不放回；(2)每次取出后放回.9已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？