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1、-数列大题专题训练)-第 12 页 数列大题专题训练1 已知数列 、 满足：. (1)求; (2)求数列 的通项公式；(3)设，求实数a为何值时恒成立2在平面直角坐标系中，已知、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上. （1）试用与n来表示； （2）设，且12，求数中的最小值的项.3在公差为d（d0）的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3. （1）求数列an与bn的通项公式； （2）令，求数列cn的前n项和Tn.4、在数列(1)求证：数列是等比数列；（2）设数列得公比为，（3）求5设数列； （1）证明：数列是等比数列； （2）设数列的公
2、比求数列的通项公式；6已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x1，且对任意的实数x、yR，有f(x+y)=f(x)f(y)， （）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式； （）数列an满足, 求通项公式an的表达式； 令， 试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.7. 设Sn是正项数列的前n项和，且， （）求数列的通项公式； （）的值8已知二次函数满足条件： ； 的最小值为.(1) 求函数的解析式；(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值。9、设等差数列an的首项a1及公差d都为整
3、数，前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；（2）在（1）的条件下求的表达式并求出取最大值时的值（3）若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式10、设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（）求数列的通项公式（）令求数列的前项和11已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且 （）求； （）设，求数列12、已知（m为常数，m0且）设是首项为4，公差为2的等差数列. （）求证：数列an是等比数列； （）若bn=an，且数列bn的前n项和Sn，当时，求Sn； （）若cn=，问是否存在m，使得cn中每一项恒小于它后
4、面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由. 13已知数列an的前n项和为Sn，且满足 （）判断是否为等差数列？并证明你的结论； （）求Sn和an20070209（）求证：14 已知数列 （I）若存在一个实数的值 （II）在（I）的条件下，求出数列15.设数列的前项和为，且满足=2-，=1，2，3，.()求数列的通项公式；()若数列满足=1，且，求数列的通项公式；()设，求数列的前项和.参考答案1. 解：（1) （2） 数列是以4为首项，1为公差的等差数列 (3) 由条件可知恒成立即可满足条件设 a1时，恒成立, a1时，由二次函数的性质知不可能成立 al时，对称轴 f(n)在为单调递减
5、函数 a1时恒成立 综上知：a1时，恒成立2解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，于是数列是等差数列，故3分共线，当n=1时，上式也成立. 所以8分 （2）把代入上式，得当n=4时，取最小值，最小值为13分3解：（1）由条件得： 6分（2）即 14分4解：（1）由已知，即有 由解得所以当得综上所述，知 因此是等比数列；（2） 由（1）知则所以 因此，是等差数列，且（3）5解：（1）由 相减得：是等比数列4分 （2）， 8分 （3）， 得：， 所以：14分6解：（I）由题意，令y=0，x0，得f(x)1f(0)=0，x1. 1f(0)=0. f(0)=1.2分 适合题意的f(x)的一个解析式为
6、f(x)=()x.4分 （II）由递推关系知f(an+1)f(2an)=1，即f(an+12an)=f(0). f(x)的R上单调，an+1an=2，（nN*），6分 又a1=1，故an=2n1.7分 bn=,Sn=b1+b2+bn=+()3+()2n1 欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小. 由=1，2，3代入可知4n2n+1，猜想4n2n+1.10分 下用数学归纳法证明 （i）当n=1时，4121+1成立 （ii）假设当n=k时命题成立，即4k2k+1当n=k+1时，4k+1=44k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成
7、立.由（i）（ii）可知，4n2n+1 对于nN*都成立.故Sn.12分注：证明4n2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+7解（）当n = 1时，解出a1 = 3, 1分又4sn = an2 + 2an3 当时 4sn1 = + 2an-13 , 即3分 ,（）5分是以3为首项，2为公差的等差数列 7分又 9 分 11分 13分 14分8解： (1) 由题知: , 解得 , 故. 3分(2) , 5分, 7分又满足上式. 所以. 8分(3) 若是与的等差中项, 则, 9分从而, 得. 10分因为是的减函数, 所以当, 即时, 随的增大而减小, 此时最
8、小值为;当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. 12分又, 所以, 即数列中最小, 且. 14分9、解：由得解得：3分4分6分令得8分当时，取得最大值9分（3）法一：由a16，a110，S1477得： 10分 （4） （5） 12分代入（2）、（3）得：14分10解：（）由已知得2分解得设数列的公比为，由，可得4分又，可知，即，解得由题意得7分故数列的通项为（）由于由（1）得又是等差数列10分故14分11解：（I）依题意2分4分5分（II）6分7分9分12分12、解：（）由题意 即 2分 m0且，m2为非零常数，数列an是以m4为首项，m2为公比的等比数列 4分（）由题意，当 6分式两
9、端同乘以2，得 7分并整理，得 -10分（）由题意 要使对一切成立，即 对一切 成立，当m1时， 成立； 12分当0m1时，对一切 成立，只需，解得 ， 考虑到0m1， 0m 综上，当0m1时，数列cn中每一项恒小于它后面的项. -14分13解证：（）1分当n2时，2分故是以2为首项，以2为公差的等差数列.4分（）由（）得5分当n2时，6分当n=1时，8分（）1当n=1时，成立9分2假设n=k时，不等式成立，即成立则当n=k+1时，即当n=k+1时，不等式成立由1，2可知对任意nN*不等式成立.（）另证：14解：（1）假设存在实数无关的常数。 故存在实数为等差数列.6分 （II）由（I）可得得
10、12分15.解：()n=1时，a1+S1=a1+a1=2a1=1 (1分)Sn=2-an即an+Sn=2 an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nN*)(3分)所以，数列an为首项a1=1，公比为n=(nN*)(4分)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 (5分)得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) (7分)将这n-1个等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，) (9分)()cn=n(3-bn)=2n()n-1 (10分)Tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 (11分)而 Tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：Tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) (14分)