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1、-数学同步练习题考试题试卷教案点直线平面之间的位置关系练习题-第 47 页第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为假命题的是ABCD为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D43已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若； 若；若；若m、n是异面直线，。其中真命题是A和B和C和D和4已知直线及平面，下列命题中的假命题是 A若，则. B若，则. C若，则. D若，则.5在正四
2、面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为A0 B1 C2 D37下列命题中，正确的是A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行8已知直线m、n与平面，给出下列三个命题： 若 若 若 其中真命题的个数是A0 B1 C2 D
3、39已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题： 若；若；若；若a与b异面，且相交； 若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是A1B2C3D410过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A18对 B24对 C30对 D36对11正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是A三角形 B四边形 C五边形 D六边形12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有A3个 B4个 C6个 D7个13设为平面，为直线，则的一个充分条件是ABC D14设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：若，则lm；若lm，则那么A
4、是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题C 都是真命题 D都是假命题15对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有A1个B2个C3个D4个二、填空题1已知平面和直线m，给出条件：；.（i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有（填所选条件的序号）2在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 （写出所有
5、正确结论的编号）3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）4已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则 若则若,则m、n是两条异面直线，若则上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题： 若，则平行于平面内的任意一条直线 若则 若,则若,则 上
6、面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形有3条边相等的四边形梯形平行四边形有一组对角相等的四边形三、计算题如图11 如图1所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB. （）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.解（I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知
7、PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小为2如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）； 证明：BC平面SAB； 用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出解答过程）解（）连结BE，延长BC、ED交于点F，则DCF=CDF=600，CDF为正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE为正三角形，FBE
8、=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，从而，cosSBE=，SBE=arccos所以异面直线CD与SB所成的角是arccos() 由题意，ABE为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3 已知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点,ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）证明PC平面PA
9、B； （）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若点P、A、B、C在一个表面积为12的 球面上，求ABC的边长.解 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。（）证明： 连结CF. （）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 为所求二面角的平面角.设AB=a，则 （）解法一：设PA=x，球半径为R. ，的边长为. 解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知PAD为直角三角形. 设AB=x
10、，球半径为R.4. 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为。 （1）证明：； （2）求底面中心到侧面的距离. 证明（1）取边的中点，连接、， 则，故平面. （2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点作为垂足，则就是点到侧面的距离. 设为，由题意可知点在上， 即底面中心到侧面的距离为3. 5如图,在直四棱柱 中,，垂足为()求证;()求二面角的大小;()求异面直线与所成角的大小 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 与（I）
11、同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1，则C1BF就是AD与BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=，BC1，在BFC1 中，, C1BF=即异面直线AD与BC1所成角的大小为解法二：（）同解法一（）如
12、图，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 连结与(1)同理可证, 为二面角的平面角.由得 即二面角的大小为（）如图,由,得异面直线与所成角的大小为解法三：（）同解法一.与（）同理可证为二面角的平面角由得即二面角的大小为6如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点 ()求证;() 求证;()求异面直线与所成角的余弦值 解（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平
13、面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.解法二： 直三棱锥底面三边长，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)()设与的交点为E，则E(0,2,2)异面直线与所成角的余弦值为7如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M求：（1）二面角的大小；（2）异
14、面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 （）连接AM，A1GG是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点，A，G，M三点共线，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角点A1在平面BB1C1C上的射影为M，A1MMG，A1MG=90在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=90即二面角A1B1C1M的大小是60（）过B1作C1C的平行线交BC于P，则A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角由PB1C1C是平行四边形得B1P
15、=C1C=1=BP，PM=BMBP=A1B1=AB1=2A1M面BB1C1C于M， A1MBC，A1MP=90在RtA1GM中，A1M=A1G在RtA1MP中，在A1B1P中，由余弦定理得，异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos8如图，正三棱锥SABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（）的值；（）二面角SBCA的大小；（）正三棱锥SABC的体积.解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 （）SB=SC，AB=AC，M为BC中点， SMBC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即（）作正三棱
16、锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，SMBC，AMBC， SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中， SMA=SMG=60，即二面角SBCA的大小为60。（）ABC的边长是3，9如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（）求点D到平面ACE的距离.解本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力（I）（II）连结AC、BD交于G，连结FG，ABCD为正方形，BDAC，BF平面ACE，FGAC，FGB为二面角
17、B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直角三角形BCE中，CE=在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，二面角B-AC-E为（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为另法：过点E作交AB于点O. OE=1.二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， 点D到平面ACE的距离为解法二：（）同解法一.（）以线段AB的中点为原点O，
18、OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图.面BCE，BE面BCE， ，在的中点， 设平面AEC的一个法向量为，则 解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，二面角BACE的大小为（III）AD/z轴，AD=2，点D到平面ACE的距离10 如图，在四棱锥PABC中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点（）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离 解 解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、
19、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）从而=（，1，0），=（，0，-2）设与的夹角为，则，AC与PB所成角的余弦值为（）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则由NE面PAC可得：即化简得即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，解法二：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的角或其补角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，即AC与PB所成角的余弦值为（）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则连PF，则在RtADF中DF=设N
20、为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC从而NE面PACN点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=11如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （）求BF的长； （）求点C到平面AEC1F的距离解 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力解法1：（）过E作EH/BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延长C1E与CB交于G，连AG，则平
21、面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CMAG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.AEC1F为平行四边形，（II）设为平面AEC1F的法向量，的夹角为a，则C到平面AEC1F的距离为12图1 图2如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯
22、形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.解 解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，图3如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II） 因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以cos，
23、=即二面角OACO1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影.因为 ，图4所以OO1B=60，O1OC=30，从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.设OCO1B=E，过点E作EFAC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1E在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，从而，又O1E=OO1sin30=，所以 即二
24、面角OACO1的大小是13 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为. 解 解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立
25、空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.14 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小解 方案一：（）
26、证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD. （）解：过点B作BE/CA，且BE=CA， 则PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足为N，连结BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC,BNCM，故ANB为所求二面角的平面角CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰
27、三角形AMC中，ANMC=，. AB=2，故所求的二面角为方法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）证明：因又由题设知ADDC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因由此得AC与PB所成的角为（）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.15 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=P
28、D，E、F分别为CD、PB的中点（）求证：EF垂直于平面PAB；（）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小解 本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。方法一：（）证明：连接EP。PD底面ABCD，DE在平面ABCD内， PDDE，又CE=ED，PD=AD=BC。RtBCERtPDE PE=BE.F为PB的中点 EFPB。由三垂线定理得：PAAB。 在RtPAB中，PF=AF，又PE=BE=EA，EFPEFA。EFFAPB、FA为平面PAB内的相交直线。 EF平面PAB。（II）解：不妨设BC=1，则AD=PD
29、=1。 方法二： 以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。（）解：16 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小解 证明：（）作AD的中点O，则VO底面ABCD 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1， 则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），由 又ABAV=AAB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量设是面VDB的法向量，则又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为 17 如图，已知长方体，直线
30、与平面所成的角为，垂直于为的中点（）求异面直线与所成的角；（）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小；（）求点到平面的距离解 (考查知识点：立体几何)解法一：（向量法）在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图由已知，可得又平面，从面与平面所成的角即为又从而易得即异面直线、所成的角为（）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量由 取即平面与平面所成二面角（锐角）大小为（）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值所以距离所以点A到平面BDF的距离为解法二：(几何法)（）连结，过F作的垂线，垂足为K，与两底面ABCD，都垂直，又因此为异面直线与
31、所成的角 连结BK，由FK面得， 从而 为 在 和中， 由得 又， 异面直线与所成的角为（）由于面由作的垂线，垂足为，连结，由三垂线定理知即为平面与平面所成二面角的平面角且，在平面中，延长与；交于点为的中点、分别为、的中点 即，为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合易得，在中，即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为（）由（）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面面在中，由作AHDF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离 由AHDF=ADAF，得所以点A到平面BDF的距离为18 已知直四棱柱中，底面是直角梯形，求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）解 由题意A
32、BCD,C1BA是异面直线BC1与DCAC1与AC,在RtADC中,可得AC=. 又在RtACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,过C作CHAD交AB于H,得CHB=90,CH=2,HB=3, CB=.又在RtCBC1中,可得BC1=,在ABC1中,cosC1BA=,C1BA=arccos异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 则C1(0,1,2),B(2,4,0), =(2,3,2),=(0,1,0),设与所成的角为,则cos=,= arccos.异面直线BC1与DC所成角的大小为arc
33、cos19如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积 解 （）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积20如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、P
34、C的中点，OP底面ABC ()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的大小； () 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？解 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力方法一：() O、D分别为AC、PC 又， PA与平面PBC所成的角的大小等于，（）由()知， F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点，若点F是的重心，则B，F，D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，即反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心方法二：以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系（如图）设则，设，则()D为P
35、C的中点，又， ()，即，可求得平面PBC的法向量， ，设PA与平面PBC所成的角为，则，（）的重心， ，又，即，反之，当时，三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心21 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解 解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB1BE，因此BE是异面直线AB与EB1的公垂线，在平行四
36、边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=，作BDCC1，交CC1于D，则BD=BC在BEB1中，由面积关系得.（负根舍去）解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去.因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1. （）过E作EG/B1A1，则GE面BCC1B1，故GEEB1且GE在面A1B1E内，又已知AEEB1 故AEG是二面角AEB1A1的平面角.因EG/B1A1/BA，AEG=BAE，故解法二：而BB1C1C得ABEB1从而=0.设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在RtBEB1中，EO=BB1=OB1=1，因为在OB1C1中，B1C1=1，OB1C1=，故OB1C1是正三角形
37、，所以OC1=OB1=1，又因OC1E=B1C1CB1C1O=故OC1E是正三角形，所以C1E=1，故CE=1，易见BCE是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB与EB1的距离是1.（）由（I）可得AEB是二面角AEB1B的平面角，在RtABE中，由AB=，BE=1，得tanAEB=. 又由已知得平面A1B1E平面BB1C1C，故二面角AEB1A1的平面角，故解法三： （I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），设又AB面BCC1B1，故ABBE. 因此
38、BE是异面直线AB、EB1的公垂线，则，故异面直线AB、EB1的距离为1.（II）由已知有故二面角AEB1A1的平面角的大小为向量的夹角. 22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC. 已知求 （）异面直线PD与EC的距离； （）二面角EPCD的大小. 解 解法一：（）因PD底面，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知ECDE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.设DE=x，因DAECED，故（负根舍去）.从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1. （）过E作EGCD交CD于G，作GHPC交
39、PC于H，连接EH. 因PD底面，故PDEG，从而EG面PCD.因GHPC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EHPC.因此EHG为二面角的平面角.在面PDC中，PD=，CD=2，GC=因PDCGHC，故，又故在即二面角EPCD的大小为解法二：（）以D为原点，、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得D（0，0，0），P（0，0，C（0，2，0）设由，即 由，又PDDE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、CE的距离为1.（）作DGPC，可设G（0，y，z）.由得即作EFPC于F，设F（0，m，n），则由，又由F在PC上得因故平面EPCD的平面角的大小为向量的夹角.故 即二面角EPCD的大小为选择题、填空题答案一、选择题1C 2. B 3D 4D 5 C 6C 7C 8C9A 10D 11D 12B 13D