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1、二次二次函数函数 的图象和性质的图象和性质 抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对对 称称 轴轴开口方向开口方向增增 减减 性性最大最大（小）（小）值值向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. (a0)(a0(a0)时，抛物线时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低的顶点是最低（高）点；也就是说：（高）点；也就是说： 当当 时，时， abx2ab
2、acy442二次函数值二次函数值y=ax2+bx+c有最小（最大）值有最小（最大）值向上向下函数的最大（小）值函数的最大（小）值1小2 3大45问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：单位：m)与小球的运动时间与小球的运动时间t（单位：（单位：s）之间的关系式是）之间的关系式是 h=30t5t 2(0t6)小球的运动时间是多少时，小球最高？小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？小球运动中的最大高度是多少？分析：从题意可知，分析：从题意可知，h与与t的关系是的的关系是的二次函数的关系，可以借助图像解决这个问题。二次函数
3、的关系，可以借助图像解决这个问题。3)5(2302abt45)5(4304422abac答：小球运动的时间是答：小球运动的时间是3 s时，小球时，小球 最高最高.小球运动中的最大高度是小球运动中的最大高度是45 m.解：解：当当时时S有最大值有最大值Oy204061 23 4545二、创设情境二、创设情境本题就是利用了二次函数解决了本题就是利用了二次函数解决了一个最大值问题（求最大高度），一个最大值问题（求最大高度），因此二次函数是一类解决最大值、因此二次函数是一类解决最大值、最小值问题的一个重要的数学模最小值问题的一个重要的数学模型，很多图形类最大值（最小值）型，很多图形类最大值（最小值）问
4、题都可以转化为二次函数解决。问题都可以转化为二次函数解决。三、探究新知三、探究新知探究探究1：用总长为：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，的篱笆围成矩形场地，已知矩形已知矩形面积面积S随矩形一边长随矩形一边长l 的变化而变化，的变化而变化，当当l是多少米时，是多少米时，场地的面积场地的面积S最大？最大？l解：矩形场地的周长是解：矩形场地的周长是60 m，一边长，一边长为为 l m，所以另一边长为，所以另一边长为_场地面积场地面积S=_(30l )l(30l )=l 2 +30 l当当15) 1(2302abl时，时，S有最大值有最大值225) 1(4)30(225244422abac答：当答
5、：当l是是15 m时，面积和时，面积和S最大为最大为225 m2 (0l 30) 30Oy2152225三、探究新知三、探究新知（1）列出）列出二次函数解析式二次函数解析式，确定，确定自变量范围自变量范围(切记不要忽略了切记不要忽略了)；（2）求出二次函数的最大值或最小值（结合函数图像）求出二次函数的最大值或最小值（结合函数图像）. 当当 时，时， abx2abacy442二次函数值二次函数值y=ax2+bx+c有最小（最大）值有最小（最大）值问题：问题： 如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？归纳总结：归纳总结：变式一变式一 将总长为将总长为
6、60 m的篱笆分成两段，的篱笆分成两段，每一段围成一个每一段围成一个正方形，则得到的这两个正方形的面积之和正方形，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值的最小值是多少？是多少？ 解：设其中一个正方形边长为解：设其中一个正方形边长为 x m，则：，则： 另一正方形的边长为另一正方形的边长为_场地面积场地面积S=_x2+(15-x)2=2x2-30 x+225 当当21522302abx时，时，S有最小值有最小值222524)30(225244422abac2152225答：当答：当x是是 m时，面积和时，面积和S最小为最小为(604 4x )4 4=15-x(0 x 15)x15Oy21522
7、25变式一变式一 将总长为将总长为60 m的篱笆分成两段，的篱笆分成两段，每一段围成一个每一段围成一个正方形，则得到的这两个正方形的面积之和正方形，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值的最小值是多少？是多少？变式二变式二 将总长为将总长为60 m的篱笆分成两段，的篱笆分成两段，每一段围成一个每一段围成一个正方形正方形，若要求其中一个正方形的边长不小于若要求其中一个正方形的边长不小于8 m，则则得到的这两个正方形的面积之和得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？的最小值是多少？变式二变式二 将总长为将总长为60 m的篱笆分成两段，的篱笆分成两段，每一段围成一个每一段围成一个正方形正方形
8、，若要求其中一个正方形的边长不小于若要求其中一个正方形的边长不小于8 m，则则得到的这两个正方形的面积之和得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？的最小值是多少？ 解：设其中一个正方形边长为解：设其中一个正方形边长为 x m，则：，则： 另一正方形的边长为另一正方形的边长为_场地面积场地面积S=_x2+(15-x)2=2x2-30 x+225 当当21522302abx时，时，S有最小值有最小值222524)30(225244422abac答：当答：当x是是 8 m时，面积和时，面积和S最小为最小为113 m2(604 4x )4 4=15-x(8x 15)8x1132258308228
9、15ABOy2152225 如图正方形如图正方形ABCD的边长为的边长为1，E、F、G、H分别在分别在AD，AB，BC，CD上，且上，且AE=BF=CG=DH=x，当，当x为为何值时，四边形何值时，四边形EFGH的面积的面积S最小？最小？ AEBDGCFH分析：方法一：分析：方法一：S=S正方形正方形-4SRt方法二：方法二：S=EH 2=AH 2+AE 2解：由题意得：解：由题意得：S=S正方形正方形-4SRt =1-4 x(1-x)21 =2x2-2x+1x(1-x)当当212222abx时，时，S有最小值有最小值2124)2(1244422abac2121答：当答：当x是是 时，面积和时
10、，面积和S最小为最小为四、应用新知四、应用新知五、本课小结五、本课小结 二次函数是初中数学一个重要数学模型，常用来解决实际问题中一类最大（小）值问题。本节课主要涉及的思想方法有：本节课主要涉及的思想方法有：（1）建模的思想；(建立二次函数数学模型)（2）数形结合的思想；(二次函数图像及性质)利用二次函数解决实际问题的最大（小）值问题基本步骤是什么？利用二次函数解决实际问题的最大（小）值问题基本步骤是什么？（1）列出函数解析式，确定自变量范围；（2）求出二次函数的最大值或最小值（结合图像分析）；六、作业布置六、作业布置P51 第第1题题P52 第第5题题1、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一
11、边、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住若设绿化带的的栅栏围住若设绿化带的BC边长为边长为x m，绿，绿化带的面积为化带的面积为y m2（1）求）求y与与x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；的取值范围；（2）当）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积为何值时，满足条件的绿化带的面积最大最大LOGO江西省重点中学于都第二中学江西省重点中学于都第二中学 欧阳荣欧阳荣LOGO江西省重点中学
12、于都第二中学江西省重点中学于都第二中学 欧阳荣欧阳荣自动围成小正方形自动围成小正方形自制课件素材自制课件素材围成大正方形围成大正方形变式一（没有动画）变式一（没有动画） 将总长为将总长为60 m的篱笆分成两段，的篱笆分成两段，每一段围成一个每一段围成一个正方形，则得到的这两个正方形的面积之和正方形，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值的最小值是多少？是多少？x解：设其中一个正方形边长为解：设其中一个正方形边长为 x m，则：，则： 另一正方形的边长为另一正方形的边长为_场地面积场地面积S=_x2+(15-x)2=2x2-30 x+225 当当21522302abx时，时，S有最小值有最小值222524)30(225244422abac2152225答：当答：当x是是 m时，面积和时，面积和S最小为最小为 (604 4x )4 4=15-x(0 x 15)