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1、-概率统计在实际生活中的应用 摘要 : 介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕数学期望、全概率公式、二项分布、泊松分布、正态分布假设检验、极限定理等有关知识!探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。关键词 : 概率 ；统计 ；生活 ；应用我们在日常生活中的好多事情都多多少少牵扯到了统计或者概率计算的问题，例如人口普查，粮食生产状况的研究，交通状况的研究，体育项目成绩的研究；天气预报中的降水概率，买彩票的中奖概率，患有某种遗传病的概率等。生活中的概率问题往往让我们意想不到，学会怎样运用概率，可以让我们简单的解决生活中遇到的一些问题，有时候还可
2、以把它当做一种兴趣来发展，增加生活的乐趣。1概率问题在生活中的应用概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。1.1风险决
3、策中的应用 定理1 设是随机变量的函数(1)当是离散型随机变量时，如果它的概率分布为，且绝对收敛，则有；(2)当是连续型随机变量时，如果它的概率密度为，且绝对收敛，则有。例1 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量服从区间上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？解 令预备这种商品吨，则收益为 由定理得 当时，上式达到最大值，所以预备吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为万元。在风险决策中，用了随机事件的概率和数学期望。概率表示随机事件发生的可能性的大小，在决策中还引用了概率统计的原理
4、，利用数学期望的最大值进行决策，比直观的想象更为科学合理。1.2产品次品率问题定理2 设, ,是一列互不相容的事件，且有，, ，则对任一事件有。以下为上述公式在检验产品中的应用。例2 工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15，20，30和35，又这四条流水线的不合格率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格的概率为多少？解 令 于是由公式可得 其中，由题意知分别为以及。1.3在比赛方面的应用定义1 如果试验只有两个可能的结果：与,并且,把独立地重复进行次的试验构成了一个试验，这个试验称作重伯努利试验或伯努利概型。在重
5、伯努利试验中事件出现次的概率为 下面我们应用伯努利概型来解决日常生活中遇到的问题。例3 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队进行对抗比赛。校队的实力比系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为。现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：（1）双方各出人，比三局（2）双方各出人，比五局；（3）双方各出人，比七局。三种方案均以比赛中得胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪种方案有利？解 设系队得胜人数为，则在上述三种方案中，系队获胜的概率为（1）；（2）；（3）。由此可知第一种方案对系队最有利（当然，对校队最为不利）。这在直觉上是容易理解的，因为参加比赛的人数愈少，系
6、队侥幸获胜的可能性也就愈大。很显然，如果双方只出一个人比赛，则系队获胜的概率就是。所以，当两方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方就越有利。1.4在销售方面的应用定义2 若随机变量的可能取值为且取各可能的值的概率为其中为常数且,则称服从参数为的泊松分布，记为。例4 某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数的泊松分布来描述，为了以以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应该进多少件这种商品（假定上个月无存货）？解 设该店每月销售这种商品件，月底应进货件，则当时，才不会脱销。因为，而依题意，要求，即查泊松分布表，得满足上述不等式的最小值,故因而，这家商店只要在月底进件这种
7、商品，就可以有以上的把握，保证这种商品在下个月内不会脱销。1.5确定公共汽车门的高度定义3 若连续型随机变量的概率密度为 其中为常数，则称服从参数为的正态分布，记为。习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态变量。例5 公共汽车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在以下来设计的，设男子身高服从正态分布,试确定车门的高度。解 设车门的高度为。依题意应有即 因为,所以,从而查标准正态分布表，得 所以取，即，故车门的设计高度至少应为方可保证男子与车门碰头的概率在0.01以下。2统计在实际生活中的应用 统计是一门与数据打交道的学问，同时也是描述数据特征、探索数据内在规律的方法，随着信息时代的到来，统计与实际
8、生活息息相关，在科学研究、生产管理和日常生活中起着越来越重要的作用。工作和生活中到处都有数据，例如一个班级的考试成绩和名次、学校的升学情况和就业情况、工厂生产产品的合格率、人口的出生率和增长情况等，各个部门都离不开统计。统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域学术研究、实际工作、日常生活中都能展现它的生命力和重要作用。2.1关于男女色盲比例的问题例6 从随机抽取的名男性中发现有名色盲，而名女性中发现人色盲，在水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？解 设男性色盲的比例为
9、,女性色盲的比例为，那么要检验的假设为 由备择假设，利用大样本的正态近似得，在=0.01水平的拒绝域为由样本得到的结果知：则 未落在拒绝域中，因此在水平上可以认为女性色盲的比例低于男性。2.2我国出生人口性别比出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数。世纪年代中期，在其出版的用于总体估计的基本数据质量鉴定方法（手册）（Methods of Appraisal of Quality of Basic for Population Estimate ，Manual ）认为：出生性别比偏向于男性。一般来说，每出生名女婴，其男婴出生数置于之间。此分析明确认定了出生
10、性别比的通常值域为之间。从此出生性别比值下限不低于、上限不超过的值域一直被公认为通常理论值，其他值域则被视为异常。例7近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开。下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况。由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了公认为通常理论值102-107很多。2.3检验汽车轮胎寿命 例8 一汽车轮胎制造商声称，他们生产的某一等级的轮胎平均寿命在一定汽车重量和正常行驶条件下大于50 000。现对这一等级的120个轮胎组成的随机样本进行了测试，测得平均每一个轮胎的寿命为51 0
11、00，样本标准差是5000.已知这种轮胎寿命服从正态分布。试根据抽样数据在显著水平下判断该制造商的产品是否与他所说的标准相符合。解 设表示制造商生产的某一等级轮胎的寿命。由题意知，方差未知。设统计假设 设时，临界值拒绝域为由于，所以拒绝域,接受，即认为该制造商的声称可信，其生产的轮胎平均寿命显著地大于50 000。2.4电影院的座位问题定理3 设，则对任意,有 记为这一结果称为Lindeberg-Levy定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的。历史上最早的中心极限定理是1716年建立的De Moivre-Laplace 定理，它是前一个结果的特例，具体为 例9 设某地扩建电影院，据分析平均
12、每场观众数人，预计扩建后，平均的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？解 把每日看电影的人编号为，且令 则由题意又假定各观众去电影院是独立选择，则是独立随机变量，现设座位数为，则按要求在这个条件下取最大。当上式取等号时，取最大，因为，由定理第二个式子知，应满足查正态分布表即可确定，所以，应该设1377个座位。3结束语上面列举了概率统计在实际生活中的一些简单应用，其实日常生活中到处都有概率统计的影子。通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等。概率统计的足迹可以说是已经深入
13、到每一个领域，在实际问题的应用随处可见。相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献。参考文献1施雨,李耀武.概率论与数理统计应用M.西安：西安交通大学出版社,1998.2梅长林,周家良.实用统计方法M.北京：科学出版社,2002.3杨虎,钟波,刘琼荪.应用数理统计M.北京：清华大学出版社,2006.4张国权.应用概率统计M. 北京：科学出版社,2003.5吴传志.应用概率统计M.重庆：重庆大学出版社,2004.6郑长波.生活中的概率问题举例J.沈阳师范大学学报,2007,7(5):23-26.7魏宗舒,等.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社,2008.8王梓坤.概率论基础及其应用M.北京：科学出版社,1976.-第 8 页-