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1、-&5.3 统计量及其分布习题与解答5.31. 在一本书上我们随机地检查了10页,发现每页上的错误数为4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算其样本均值,样本方差和样本标准差.解 样本均值样本方差样本标准差2.证明:对任意常数c,d,有证 由 得因而结论成立.3.设和是两组样本观测值,且有如下关系: 试求样本均值和间的关系以及样本方差 和 的关系.解 因而得与.4.记 证明证 由得5.从同一总体中抽取两个容量分别为n,m的样本,样本均值分别为,样本方差分别为,将两组样本合并,其均值,方差分别为证明:证 设取自同一总体的两个样本为 由得由 6.设有容量为n的样本A,它的样本均值为,样本标准差
2、为,样本极差为,样本中位数为.现对样本中每一个观测值施行如下变换，如此得到样本B,试写出样本B的均值,标准差,极差和中位数.解 不妨设样本A为样本B为且 7.证明:容量为2的样本的方差为证:8.设是来自的样本,试求和解 均匀分布的均值和方差分别为0和1/3,该样本容量为n,因而得9.设总体二阶矩存在是样本,证明也的相关系数为对次你能够给予解释吗?证 不妨设总体的方差为,则由由于, 因而所以由于 ,故其中任意一个偏差的增加,都会使另一个偏差减少的机会增加,因而两者的相关系数为负.10.利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在(0.4,0.6)间的概率至少为0.9.如何才能更精
3、确地计算这个次数?是多少?解 均匀硬币正面朝上的概率p=0.5,设为n次抛硬币中正面朝上的次数,则有据题意选取次数n应满足此式等价于 ,利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界再由不等式可得粗糙的估计.即抛均匀硬币250次后可满足要求.事实上,利用的渐近正态性可以得到更精确的结论.由中心极限定理知样本均值故即故这就给出较精确的上界,这表明只需抛均匀硬币68次就可满足要求.两个结果差异很大,说明切比雪夫不等式是一个较为粗糙的不等式,在能够使用大样本结果的情况下应尽量使用中心极限定理.11.从指数总体抽取了40个样品,试求的渐近分布.解 由于指数总体的均值为,方差为,于是的渐近分布为.12.设是从
4、均匀分布抽取的样本,试求样本均值的渐近分布.解 均匀分布的均值和方差分别为5/2和25/12,样本容量为25,因而样本均值的渐近分布为13.设是从二点分布抽取的样本,试求样本均值 的渐近分布.解 二点分布的均值和方差分别为p和p(1-p),样本容量为20,因而样本均值的渐近分布为14.设是从正态总体中抽取的样本,试求样本均值 的标准差.解 来自正态分布的样本均值仍服从正态分布,均值保持不变,方差为原来方差的1/n,此处总体方差为9，样本容量为8，因而的标准差为15切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而剩下的当中的值来计算样本均值，其计算公式是其中是切尾系数
5、, 是有序样本。现我们在某高校采访了16 名大学生,了解他们平时的学习情况,以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 15 5 8取,试计算其切尾均值： 解 将样本进行排序得,当时，由题意得,切尾均值16有一个分组样本如下区间组中值频数(154,155)1504(155,165)1608(165,175)1706(175,185)1802试求该分组样本的样本均值.样本标准差,样本偏度和样本峰度.解 计算过程列表如下:1504600676-87881142441608128072-216648170610202942058144061802
6、3605789826167042和20326016202880296340因而可得样本均值,样本偏度和样本峰度分别为17.检查四批产品,其批量与不合格率如下批号批量不合格品率11000.0523000.0632500.0441500.03试求这四批产品的总不合格率. 解 这批产品的总不合格率为18.设总体一等概率取1,2,3,4,5,现从中抽取一个容量为4的样本,试分别求和的分布. 解 由古典概率可得这就给出了的分布列12345P0.59040.280.1040.0240.0016类似的, 从而,这就给出的分布列12345P0.59040.280.1040.0240.001619.设是来自的样
7、本,试求下列概率(1) 解 (1) 20.设总体为韦布尔分布,其密度函数为现从中得到样本,证明仍服从韦布尔分布,并指出其参数.解 由总体分布的密度函数可得总体的分布函数为 因而最小次序统计量的分布函数为这说明21.设总体密度函数为是来自该总体的样本,试求样本中位数的分布.解 总体分布函数为故样本中位数的精度分布密度函数为这个精确密度函数是26次多项式,使用是不方便的,譬如用上述密度函数是可以求的,可就是不方便,寻求近似计算就十分必要.下面来寻求的渐进分布,由于总体中位数是且故在时的渐近分布为利用此渐进分布容易算出概率22.设是来自的样本, 为其次序统计,令证明相互独立.证 令则的联合密度函数为作变换 其逆变换为 其中其行列式绝对值为联合密度函数为该联合密度函数为可分离变量,因而相互独立,且 -第 12 页-