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1、-数学选修4-4 坐标系与参数方程（教师版）主干知识一、坐标系1平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。2空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。3极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 设M是平面上的任一点，表示OM的长度，表示以射线OX为
2、始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对称为点M的极坐标。其中称为极径，称为极角。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。4直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和，则 二、曲线的极坐标方程1直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 （3）直线过且平行于极轴图：方程：2圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于 （3
3、）当圆心位于图：方程：3直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化利用： 三、参数方程1参数方程的意义在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（为参数）； （3） （4）（t为参数）（5）（为参数）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！（2）普通方程化为参数方程常见化普通方程为参数方程，1、圆的参数方程。2、经过点P。3、椭圆的参数方程。4、抛物线普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程
4、也不一样。二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。练习1.1、已知曲线的极坐标方程分别为，则曲线与交点的极坐标为 【解析】我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为。12. （宁夏09）已知圆C：，则圆心C的极坐标为_答案：（ ）练习1.2（2009丹东）（1）已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）； （2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。 （2）依题意考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、福建省龙岩市2009年已知曲线的
5、极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求|的最小值解：曲线的极坐标方程可化为,其直角坐标方程为，即. （3分）直线的方程为.所以，圆心到直线的距离 （6分）所以，的最小值为. （10分）练习2.1、（沈阳二中2009）设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1) 求圆C的极坐标方程；(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆的极坐标方程为4分设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点， ， 7分 将，代入圆的极坐标方程，得点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为
6、的圆 10分练习2.2考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3：（2009学年海南省）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为 （1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（1）由得曲线的普通方程为，即曲线的直角坐标方程为（分）（2）圆的圆心为，圆的圆心为两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段公共弦长为（10分） 练习3.1（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.已知曲线C：为参数，02)，（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非
7、负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程（） 5分（） 10分练习3.2（08海南）已知曲线C1：，曲线C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。考点4：利用参数方程求求值域例题4、（2008年宁夏）在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。解：直线C2化成普通方程是x+y-2-1=02分设所求的点为P（1+cos,sin),3分则C到直线C2的距离d=5分 =|sin(+)+2|7分当时，即=
8、时，d取最小值19分此时，点P的坐标是（1-，-）10分练习4.1（09厦门）在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的圆心为 ，求的取值范围. 【解】由题设得（为参数，R）. 3分于是， 6分所以 . 10分练习4.2（宁夏09）（本小题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数） （）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.答案：（本小题满分10分）解：（1）曲线的极坐标方程可化为： 又 .所以，曲线的直角坐标方程为：. （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得： 令 得 即点的坐标为 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则
9、考点5：直线参数方程中的参数的几何意义例题5：2009年泉州已知直线经过点,倾斜角，写出直线的参数方程;设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积. 解 （1）直线的参数方程为，即 3分 （2）把直线代入，得， 6分则点到两点的距离之积为 10分练习5.1抚顺一中2009求直线（）被曲线所截的弦长.解：将方程，分别化为普通方程：，-(5分) -10分练习5.2大连市2009 已知直线 （I）求直线l的参数方程； （II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|PN|的值。解：（）的参数方程为，即。 5分 （）由可将，化简得。将直线的参数方程代入圆方程得，。 10分练习5.3（宁夏09）若直线的参数
10、方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A B C D答案：（C ）3、（宁夏09）极坐标方程=cos和=sin的两个圆的圆心距是（ ）A 2 B C 1 D 答案：（ D）一、选择题1若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A B C D2下列在曲线上的点是（ ）A B C D 3将参数方程化为普通方程为（ ）A B C D 4化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A B C D 5点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A B C D 6极坐标方程表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆7圆的圆心坐标是（ ）A B C D 二、填空题8直线的斜率为_。9参数方程
11、的普通方程为_。10已知直线与直线相交于点，又点，则_。11直线被圆截得的弦长为_。12直线的极坐标方程为_。13极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_。三、解答题1已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。2求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。3在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。4、（宁夏09）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左，右焦点，直线的参数方程为 （1）求直线和曲线C的普通方程； （2）求点F1，F2到直线的距离之和.数学选修4-4 坐标系与参数方程 一、选择题 1D 2B 转化为普通方程：，当时，3C 转化为普通方程：，但是4C5C 都是极坐标6C 则或二、填空题1 2 3 将代入得，则，而，得4 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为5 ，取三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为， （2） 2解：将代入得，得，而，得3解：设椭圆的参数方程为， 当时，此时所求点为。4解: （） 直线普通方程为； 3分曲线的普通方程为 6分（） ,， 7分点到直线的距离 8分点到直线的距离 9分 10分-第 12 页-