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1、-必修四2.4.平面向量的数量积(教案)-第 15 页 2.4 平面向量的数量积教案 A第1课时教学目标 一、知识与技能1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力教学重点、难点教学重点
2、：平面向量数量积的定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算教学准备教师准备: 多媒体、尺规.学生准备: 练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算： W=| F | | s | cos， 其中是F与s的夹角我们知道力和位移都是
3、向量，而功是一个标量（数量） 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念二、主题探究，合作交流提出问题ab的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab=|a|b|cos（0）其中是a与b的夹角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值
4、为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a0=0；（3）符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（4）当00，从而ab0；当时，cos0，从而ab0，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是=0；ABC为斜三角形的充要条件是0其中为真命题的是（ ）A B C D3设|a|=8，e为单位向量，a与e的夹角为60，则a在e方向上的投影为（ ）A4 B4 C42 D8+4设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题:（ab）c-（ca）b=0； |a|-|b| Bm Dm
5、3若a=（cos，sin），b=（cos，sin），则（ ）Aab Bab C（a+b）（a-b） D（a+b）（a-b）4与a=（u，v）垂直的单位向量是（ ）A（） B（）C（） D（）或（）5已知向量a=（cos23，cos67），b=（cos68，cos22），u=a+tb（tR），求u的模的最小值6已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角7已知ABC的三个顶点为A（1，1），B（3，1），C（4，5），求ABC的面积参考答案：1C 2D 3C 4D5|a|=1，同理有|b|=1又ab=cos23cos68+cos67cos22=co
6、s23cos68+sin23sin68=cos45=，|u|2=（a+tb）2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=（t+）2+当t=时，|u|min=6由已知（a+3b）（7a-5b）（a+3b）（7a-5b）=07a2+16ab-15b2=0又 （a-4b）（7a-2b）（a-4b）（7a-2b）=07a2-30ab+8b2=0 -得46ab=23b2，即ab=将代入，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，若记a与b的夹角为，则cos=又0，180，=60，即a与b的夹角为607分析：SABC=|sinBAC，而|，|易求，要求sinBA
7、C可先求出cosBAC解：=（2，0），=（3，4），|=2，|=5，cosBAC=sinBAC=SABC=|sinBAC=25=4教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯教学重点平面向量数量积的
8、定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用教 具多媒体、实物投影仪内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律教学流程概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思提高教学设想：一、情境设置：问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是与的夹角（引导学生认
9、识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并规定：0与任何向量的数量积为0问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a
10、b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0（4）已知实数a、b、c（b0），则ab=bc a=c但是在向量的数量积中，ab = bc 推导不出a = c .如下图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. （5）在实数中，有（ab）c = a（bc），但是在向量中，（ab）c a（bc） 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而
11、右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线（ “投影”的概念）：作图2定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积例1 已知平面上三点A、B、C满足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,从而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.与的夹角为120，与的夹角为90，
12、与的夹角为150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120,而不是60.探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？当0 90时ab为正；当 =90时ab为零；90 180时ab为负.探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量（1）ab ab = 0（2）当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab =
13、-|a|b| 特别的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式变形：cosq =探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a、b、c 和实数，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a（b） （3）（a +b） c = a c+ b c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2）例2 判断正误：a00；0a；0-；aa；若a0，则对任一非零有a；a，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）（）；a与是两个单位向量，则a上述8个命题中只
14、有正确；例3 已知a，当a，a，a与的夹角是60时，分别求a解：当a时，若a与同向，则它们的夹角，aacos036118；若a与反向，则它们的夹角180，aacos18036（-1）-18；当a时，它们的夹角90，a；当a与的夹角是60时，有aacos60369评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当a时，有0或180两种可能评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律三、课堂练习1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b
15、的模为（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|则（a+b）与（a-b） .4已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求ab；（2）若a、b的夹角为45，求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角参考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，则ab=；若a、b方向相反，则ab=；（2）|a+b|=（3）45四、知识小结（1）通过本节课的学习，
16、你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业教材第108页习题24 A组 1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的本节课教学设计按照“问题讨论解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”第2课时教学目标 一、知识与技能掌握平面向量的数量积坐标运算及应用二、过程与方法1.通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性
17、和几何性.2.从具体应用体会向量数量积的作用三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同的方法分析的态度 .教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用.教 具多媒体、实物投影仪.教学设想一、复习引入向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题二、探究新知： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于
18、它们对应坐标的乘积的和即2 平面内两点间的距离公式（1）设，则或如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）（2）向量垂直的判定设，则（3）两非零向量夹角的余弦（） cosq =三、例题讲解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求满足xa = 9与xb = -4的向量x解：设x = （t， s）， 由 . x = （2，-3）.例2 已知a（，），b（，-），则a与b的夹角是多少？ 分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值解：由a（，），b（，-）.有ab（-），a，b记a与b的夹角为，则.又，.评述：已知三角形函数
19、值求角时，应注重角的范围的确定例3 如图，以原点和A（5， 2）为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标解：设B点坐标（x， y），则= （x， y），= （x-5， y-2）. x（x-5） + y（y-2） = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2 = （x-5）2 + （y-2）2即：10x + 4y = 29.由.B点坐标或；=或 .例4在ABC中，=（2， 3），=（1， k），且ABC的一个内角为直角，求k值解：当A = 90时，= 0，21 +3k = 0， k =当B = 90时，= 0，=-= （1-2， k-3） = （-1， k-3），2（-1） +3（k-3） = 0 k =当C = 90时，= 0，-1 + k（k-3） = 0， k =四、小结1本节课的内容：有关公式、结论（由学生归纳、总结）.2本节课的思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、方程（组）思想等.五、课外作业教材第107页练习