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1、-第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个
2、为下三角矩阵L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见
3、p53，符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数| A|1，| A|2，| A|，| A|1与| A|2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有从定义可知，更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设为非奇异阵，称数 （）为矩阵A的条件数当时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩
4、阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2）注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、判断下列命题是否正确：（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。 答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。（2）对称正定的线性方程组总是良态的。 答：正确。（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 答：正确。（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。 答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。（5）如果三对角矩阵
5、的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。 （6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。 答：正确。（7）奇异矩阵的范数一定是零。 答：错误， 可以不为0。（8）如果矩阵对称，则| A|1 = | A| 。 答：根据范数的定义，正确。（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。 答：错误，不选主元时，可能除数为0。（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。 答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。（11）| A |1 = | AT | 。答：根据范数的定义，正确。（12）若A是n n的非奇异矩阵，则。答：正确。A是n n的非奇异矩阵，则A
6、存在逆矩阵。根据条件数的定义有：习题1、设A是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A约化为，证明是对称矩阵。证明：设对称矩阵 ，则经过1次高斯校区法后，有所以 所以A2为对称矩阵。2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为，其中，；证明：（1）A的对角元素；（2）是对称正定矩阵；（1）依次取，则因为A是对称正定矩阵，所以有。（2）中的元素满足，又因为A是对称正定矩阵，满足，所以，即是对称矩阵。3、设为指标为的初等下三角矩阵（除第列对角元以下元素外，和单位阵 相同），即 求证当时， 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中为初等置换矩阵。4、试推导矩阵 的Crout分解A=LU的计算公式，
7、其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。本题不推导。参见书上例题。P147页。5、设 ，其中为三角矩阵。（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法（2）计算解三角方程组的乘除法次数（3）设为非奇异矩阵，试推导求的计算公式本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,1时对应的求解公式。解法，略。6、证明：（1）如果是对称正定矩阵，则也是对称正定矩阵（2）如果是对称正定矩阵，则可以唯一地写成，其中是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组 并求出系数矩阵A的行列式的值 使用列主元消去法，有A的行列式为-66方程组的
8、解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解本题考查LU分解。解：9、用追赶法解三对角方程组，其中，。解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有（1）计算的递推公式（2）解Ly=f（3）解UX=y10、用改进的平方根法解方程组。本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157。11、下列矩阵能否分解为（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。，。LU分解存在的条件一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。
9、同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。解：因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。12、设，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。本题考查的是矩阵范数的定义及求法行范数0.6+0.5=1.1列范数0.5+0.3=0
10、.82-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。的最大特征值为0.3690所以2-范数为0.6074F-范数0.842613、求证：（a）；（b）。根据定义求证。14、设且非奇异，又设为上一向量范数，定义。试证明是上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然，、，从而是上向量的一种范数。15、设为对称正定，定义，试证明是上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然，16、设A为非奇异矩阵，求证。因为，所以得证17、矩阵第一行乘以一数，成为，证明当时，有最小值。本题考查条件数的计算首先计算A的逆阵，当，取得最小值为2，当取值越大，则最小值为2从而，又当时，。当时，。综上所述，时最小，这时，即。18、设，计算A的条件数由可知，从而，由，由，可得，从而。，从而。19、证明：如果是正交矩阵，则 若A是正交阵，则，从而，故，。20、设，且为上矩阵的算子范数，证明： 21、设，其中为非奇异矩阵，证明：（1）为对称正定矩阵；（2），所以为对称正定矩阵。由于为对称正定矩阵，所以则-第 13 页-