期中复习：圆周运动(13页).doc

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1、-圆周运动基础知识一、基本概念1、匀速圆周运动描述匀速圆周运动快慢的物理量:（1）线速度 = （一周） 单位 。（2）角速度 = （一周） 单位 。（3）周期： 周期长，表示运动 ；周期短，表示运动 （4）转数：单位时间内质点做圆周运动的圈数（定义）（5）频率：单位时间内质点做周期性运动的次数（定义）角速度与线速度、周期、频率、转数关系：= = = = 下图个点线速度和角速度大小关系：同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等。线速度： VA VB = Vc 角速度：A = B C 2、向心力、向心加速度F= = = = a= = = = 向心加速度是描述 物理量，产生向心

2、加速度的力叫向心力。向心力只改变速度 ，不改变速度 。 二、典型例题匀速圆周运动基本思路： 合外力=向心力水平面上的圆周运动：1、 圆锥摆： 质量为m 小球，长为L的细线，细线与竖直方向夹角为 ，求：（1）轨道半径 ？（2）绳子拉力？（3）线速度？（4）角速度？例题：长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如下图所示，则( )A.它们的周期相同 B.较长的绳所系小球的周期较大C.两球的向心力与半径成正比 D.两绳张力与绳长成正比2、 旋转盘：物体A距离中心为R，接触面摩擦因数为，求物体的最大速度？例题： 如下图所示，细绳一端系着质量M0.

3、6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态?(g10m/s2)3、 飞车走壁：人与墙壁摩擦因数为，人距中心轴距为r，求若使人不落下时的最小角速度？h例题：小球B在圆锥形曲面内做圆周运动，如图夹角为，小球距离底部高位h，求：v=？；=？4、 汽车（摩托车）拐弯：(1)水平面:什么力提供向心力？最大安全速度？（2）倾斜路面：为了更安全的转弯，路面设计成外侧路面高于内侧路面。什么力提供向心力？设计速度是多大？例题：在高速公路的拐弯处，路面造得外

4、高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，车速v应多大？汽车在此处转弯时，能否超过这个速度？若低于这个速度呢？5、火车拐弯（1）火车在水平轨道面拐弯：火车在水平方向上受到哪些力？什么力提供向心力？长期使用会导致的后果？（2）在倾斜的轨道处拐弯：为了便于更好的拐弯，火车轨道设计成外轨道与内轨,如图。什么力提供向心力？设计转弯速度多大？例题：火车转弯轨道处的路面设计成外高内低，这样更有利于火车转弯。某段弯道半径为1000m，设计速度为72km/h，则弯道上路轨与水平面夹角多大

5、？火车能否超过72km/h的速度转弯？竖直面上的圆周运动：1、过桥： 受力分析方程： （1）恰好能达到最高点：（2）当车对桥压力为零时，速度？若超过这个速度会有什么情况？例题：质量为m的汽车，以速度V通过半径R的凸形桥最高点时对桥的压力为 ，当速度V 时对桥的压力为零，以速度V通过半径为R凹型最低点时对桥的压力为 .2、绳拉球：（圆轨道）最高点： 达到最高点的临界条件： 临界速度： 能通过最高点速度 例题：如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远?求在C点的速度大小.3、杆拉

6、球（圆管形轨道）（1）最高点： 能达到最高点的临界条件： 临界速度： 能通过最高点速度 （2）当拉力为零时： 速度v= 当v 时，杆对球为 , 圆管轨道对球为 。当v 时，杆对球为 ，圆管轨道对球为 。例题：杆长L=0.5m，m=2kg，它绕O点在竖直面做圆周运动，当通过最高点时：求：（1）当v=1m/s时，杆受到多大的力？是什么力？ （2）当v=4m/s时，杆受到的力多大？是什么力？典型例题：1、 如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过

7、程中，皮带不打滑；则角速度_；线速度=_；向心加速度_。2、质量相等的小球A、占分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，如图426所示，求杆的O段及AB段对球的拉力之比.3、若火车按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则以较小速率转弯时( )A.仅内轨对车轮有侧压力 B.仅外轨对车轮有侧压力C.内、外轨对车轮都有侧压力D.内、外轨对车轮均无侧压力竖直面上的圆周运动：1、 过桥问题2、 绳拉球问题（环形轨道）3、 杆拉球问题（圆管轨道）4、万有引力定律万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的，它是自然科学最伟大的成果之一，宇宙间一切物体都是相互吸引的任何

8、两个物体间引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比这就是万有引力定律，用公式来表示为：F=Gm1m2/r2式中G为引力常量，G的单位从上述公式中可推导出是Nm2kg2，G的数值为6.6710-11这个数值等于两个质量1kg的物体相距1m时相互之间万有引力的牛顿数它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.普通两个物体之间的万有引力是微不足道的，我们一般不予考虑但在天体系统中，由于天体质量很大，所以它们之间的万有引力十分强大，天体之间的万有引力是这些天体做什么运动、怎样运动的直接的、决定性的因素月亮绕地球运转，地球绕太阳公转，月亮、地球在运动过程中所需要的向心力就是由万有引力来提供的。练

9、习一（1）以下说法是否正确l 因为 (n为转数)，所以角速度与转数成正比l 向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢l 向心加速度描述的是质点在圆周运动中，向心力变化的快慢（2）如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像其中A为双曲线的一个分支由图可知：AA物体运动的线速度大小不变 BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变 DB物体运动的线速度大小不变答案：AC（3）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为-F，关于此后物体的运动情况，下列说法正确的是：A物体不可能沿曲线Ba运动； B物体不可能沿直线Bb

10、运动；C物体不可能沿曲线Bc运动； D物体不可能沿原曲线B返回A。（4）物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的关系是：A速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的；B速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合力方向相同；C速度方向总是和合外力方向相同，加速度方向可能和合外力相同，也可能不同；D速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角（5）如图所示，在匀强电场内将一质量为m、电量为q的摆球拉至与悬点O同一水平面处，由静止释放，则在开始的一小段时间内摆球将作：A匀速直线运动； B匀加速直线运动；C匀减速直线运动； D变速圆周运动二、向心力应用问题1、向心力的来

11、源向心力是合外力在指向圆心方向的分力，它不是某种性质力的名称，而是根据力的作用效果来命名的。向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。如果合外力始终指向圆心且大小不变，则物体作匀速圆周运动。2、向心力公式的应用应用方法：l 以指向圆心方向为正方向。l 将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。l 求出指向圆心的各个分力的合力，即为向心力。l 据牛顿第二定律列方程F向=ma向例在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩

12、擦力等于零，车速v应多大？解答如图所示，为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。重力与路面的弹力的合力提供向心力，由平行四边形定则及牛顿第二定律得：F合/G=tg F合=mv2/R 练习二（1）关于向心力，下列说法中正确的是：A物体受到向心力作用才可能做圆周运动B向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的C向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可能是其中某一种力或某一种力的分力D向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢（2）放置在地面上的物体，由于地球自转A都具有向心加速度B向心加速度大小随纬度增加而减小C向心加速度方向都指向地球中心D产生此向心加速度的力都

13、是由地球对物体的引力提供的解答物体做匀速圆周运动，随着纬度的增加，半径减小，由a=2R可知，a减小，向心力由引力与地球的弹力的合力提供，答案：AB。（3）如图所示，小球用长为L的细绳悬于O点，使之在竖直平面内做圆周运动，小球通过最低点时速率为v，则小球在最低点时细绳的张力大小为。(小球质量为m)（4）如图，质量为m的滑块滑到弧形底端时速率为v，已知圆弧形轨道的半径为R，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为。（5）如图示，质量为m的小球用细绳悬于O点，绳长为L，在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v，则此时绳子的张力为三、求解匀速圆周运动的思路和步骤匀速圆周运动的求解应在动力学问题

14、的框架范围内它的核心仍是F=ma(1)确定研究对象，分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤(2)以指向圆心的方向为正方向，来确定各个力的正、负号。建立起牛顿第二定律的方程，并结合运用a=v2/R=2R等有关知识求解例如图所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P在水平板内绕O作半径为a角速度为的匀速圆周运动.求：(1)此时拉绳的力多大；(2)若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使P绕O作半径为b的匀速圆周运动从放松到拉直这段过程经过了多长时间?(3)P作半径为b的匀速圆周运动时，绳子拉力又为多大?解答（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的

15、大小是相等的，故有F=m2a(2)松手后，绳子拉力消失小球将从刚松手的位置，沿圆周的切线方向，在光滑的水平面上作匀速直线运动当绳在水平板上长为b时，绳又被拉紧在这一段匀速直线运动的过程中，球运动的距离为(如图b所示)，故t=s/v=/（a）(3)将刚拉紧绳时球的速度a1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。在绳被拉紧的短暂过程中，球损失了沿线的分速度，保留着垂直于绳的分速度作匀速圆周运动被保留的速度的大小为：v=va/b= a2/b所以绳子后来的拉力F为：四、竖直面上圆周运动最高点：恰能通过最高点的临界速度最低点：最大速度、最大拉（压）力联系最高点和最低点：机械能守恒定律例如图，轻杆长，质量可忽略不计

16、，杆的一端连接着一质量为的小球，另一端装在固定转轴上设小球在竖直平面内作圆周运动(1)当它在圆周的最低点，速率为时，求其对杆作用力的大小和方向；(2)当它在圆周最高点，速率为时，求其对杆作用力的大小和方向解答小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运动。但在最低点和最高点这两个特殊位置，我们仍可用求解匀速圆周运动的方法和公式求解，因为在这两个位置。小球受的外力都在圆周半径方向上，它们的合力就是向心力在最低点：此位置杆对球作用力的方向只可能向上，并且，故有：，/L在最高点：此位置杆对球作用力的方向尚不能确定，我们可暂时假设N与mg同向，即杆对球有向下拉力作用则有+=,如果确与同向，方向指向圆心

17、，则0，即， 若，则由的表达式可得0，即此时杆对球无作用力，重力唯一地起着向心力的作用；若，可得0，则说明杆对球有向上托力作用，这个力的方向与正方向相反，背离圆心根据上述分析，我们可以得到这样的结论：在最低点，不管小球以多大的速度运动，杆对球的拉力都是向上的但在最高点，杆对球作用力的大小和方向取决于v的大小是一个临界值当时，因速度大，所需的向心力就大，不能满足向心力的需要，需要杆向下的拉力来补充；当时，因速度小，所需的向心力也小，超过了向心力的需要，故杆产生了向上的托力来抵消的一部分作用；若，这说明重力恰能满足向心力的需要，故此时杆对球没有作用力如果此题小球不是固定在轻杆的下端，而是系在细线下

18、端，让它在竖直平面内做圆周运动则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为，若，如前所述，重力己超过了向心力的需要，而细绳在最高点又不可能象轻杆那样对球有向上的托力，所以此时小球不可能到达圆周最高点，它到达最高点前就已离开圆周了。五、万有引力定律这里列出的五个式子中，左边两个代表万有引力（重力），它们是天体运动向心力的来源；右边三个式子代表向心力；依据万有引力（重力）作为天体运动的向心力的思路，可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两个组成方程，通过求解方程得到所需要的结果。式中r为轨道半径，r=R+h；g为高度为h的轨道上的重力加速度，例求第一宇宙速度，（1）已知M、R；（2）已知g、R解答由，

19、得 (1)由，可得 (2)将(1)、(2)两式中的R都用地球半径、M用地球质量、g用地面附近重力加速度数值9.8m/s2代入，均可得到第一宇宙速度v1=7.9103m/s例试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的平方根成反比。解答由 和，解得：六、天体和卫星的运动我们把月亮绕地球的运转、地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运动都近似地处理成匀速圆周运动的问题研究这一类问题的基础是万有引力定律、牛顿第二定律以及有关匀速圆周运动线速度、角速度、周期以及向心加速度的一些公式天体、卫星所需要的向心力就是它们受到的万有引力1、三个宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)是人造地球卫星在地面附近环绕

20、地球运转的必须具有的速度，第一宇宙速度v1=7.9103m/s 第二宇宙速度(脱离速度)是卫星挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运转行星的最小速度v2=11.2103ms第三宇宙速度(逃逸速度)是卫星挣脱太阳的束缚，飞出太阳系运动的最小速度V3=16.7103ms2、在不同轨道上运动的卫星的讨论以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的，其轨道半径被认为是地球半径还有许多卫星(如气象卫星、通讯卫星等)在地面上方很高处运行，其轨道半径远比地球半径大，这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的变化而变化呢?我们可根据万有引力定律和牛顿运动定律加以讨论(1)卫星的运行速度：由，可得上式的r是卫星的轨道半径，它应

21、等于地球半径R与卫星离地面的高度h之和从此式可看出，由于引力常量G和地球质量M一定，所以卫星离地面越远，轨道半径越大，其运行的速度就越小需要说明的是，这里的速度是卫星在远轨道上的运行速度，不是从地面把卫星送上天的发射速度实际上把卫星发送到较远的轨道上，耗费的能量要大，从地面发射的速度也要大(2)卫星运行的角速度：由，可得，由此式可看出，卫星离地越远，r越大，就越小(3)卫星运行的周期：，同样可以看出，r越大，T就越大若卫星的周期与地球自转周期T0相同，则此卫星叫同步卫星同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合其离地面高度由，可求得：(4)卫星的加速度：卫星的加速度是由地球的万有引力产生的，它就是卫星

22、做匀速圆周运动的向心加速度a=F万/m=GM/R2 (1)卫星的加速度与地面上物体的重力加速度本质上是一致的，它们都是由地球万有引力产生的不过卫星的重力加速度g的数值远比地面附近的重力加速度g(9.8ms2)的数值小由平方反比关系可得： (2)(1)、(2)两式中的加速度是同一个加速度所不同的仅是考虑问题的角度不同罢了。(5)完全失重和卫星的重量当卫星在轨道上运行时，舱内的宇航员及其它物体都处于完全失重状态这里所指的完全失重状态并非指人和物体不受地球引力作用，仅是反映了人和物对支持物(地板)没有压力，用测力计去称他们的重力，读数为零。毫无疑问，人和物仍要受到地球万有引力(重力)的作用不过比其在

23、地面附近所受的重力要小3、双星的运动两颗离得较近的天体称为双星双星都是以它们连线上的某点为公共圆心，以相同的角速度做匀速圆周运动这时万有引力作为向心力起着只改变它们的速度方向，不改变速度大小的作用也只有这样，它们才能处于稳定的状态，不至于因巨大的吸引作用而导致碰撞、毁灭求解双星问题有两点值得注意：它们做匀速圆周运动的向心力是相等的；它们运行的周期是相同的因为只有周期相同，它们之间的距离才可能保持不变它们才可能稳定运行的状态之中例质量分别为m1和m2、相距为L的双星，绕其连线上的O点匀速旋转求它们各自的轨道半径和周期解答由万有引力定律和牛顿第二定律可得：对m1： (1)对m2： (2)将(1)、(2)化简后再相除，便可得：再将R1数值代人(1)可得：-第 13 页-