最短路径问题总动员(含答案)(37页).doc

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1、-最短路径问题专题练习 1. 如图，长方体 中，一蚂蚁从 点出发，沿长方体表面爬到 点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为 A. B. C. D. 2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是 ， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点有一只壁虎，它想到 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从 点出发，沿着台阶面爬到 点，至少需爬 A. B. C. D. 3. 如图， 个边长为 的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从 点到 点只能沿图中的线段走，那么从 点到 点的最短距离的走法共有 A. 种B. 种C. 种D. 种 4. 如图所示，圆柱的底面周长为 ， 是底面圆的直径，高 ，点

2、是母线 上一点且 一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短距离是 A. B. C. D. 5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 是这个台阶两个相对的端点， 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 点的最短路程是 A. B. C. D. 6. 如图，已知 ，要在长方体上系一根绳子连接 ，绳子与 交于点 ，当所用绳子最短时，绳子 的长为 A. B. C. D. 7. 已知蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方形纸箱的 点沿纸箱爬到 点，那么它所行的最短路线的长是 A. B. C. D. 8. 如图所示，一圆柱高 ，底面半径长 ，一只蚂蚁从点 爬到

3、点 处吃食，要爬行的最短路程（ 取 ）是 A. B. C. D. 无法确定 9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点 ， 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 ， 在同一母线上，用一棉线从 顶着圆柱侧面绕 圈到 ，则棉线最短为 A. cmB. cmC. cmD. cm 10. 如图，点 为正方体左侧面的中心，点 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 ，一蚂蚁从点 沿其表面爬到点 的最短路程是 A. B. C. D. 11. 如图所示是一棱长为 的正方体，把它分成 个小正方体，每个小正方体的边长都是 .如果一只蚂蚁从点 爬到点 ，那么 ， 间的最短距离 满足 A. B. C. D. 或 12. 如

4、图所示，圆柱形玻璃杯的高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 A. B. C. D. 13. 如图，点 的正方体左侧面的中心，点 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 ，一蚂蚁从点 沿其表面爬到点 的最短路程是 A. B. C. D. 14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处QQ

5、群450116225则问题中葛藤的最短长度是 尺 15. 如图，已知圆柱体底面的半径为 ，高为 ， 分别是两底面的直径若一只小虫从 点出发，沿圆柱侧面爬行到 点，则小虫爬行的最短路线长度是 （结果保留根号） 16. 如图，圆柱形容器高 ，底面周长为 ， 在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到达内壁 处的最短距离为 . 17. 如图所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图中的几何体表面从顶点 爬行到顶点 的最短距离为 .QQ群450116225 18. 如图，长

6、方体的底面边长分别为 和 ，高为 如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要 19. 如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 距离 点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，蚂蚁爬行的最短距离是 20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中的葛藤的最短的长度是 尺 21. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，若一只蚂

7、蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 . 22. 一只蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方体纸箱的 点沿纸箱爬到 点，那么它爬行的最短路线的长是 23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 ， 和 是这段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到 点的最短路程为 ，则以 为边长的正方形的面积为 .QQ群450116225 24. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 如果用一根细线从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要 ；如果从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ，那么所用细线最短需要

8、25. 在一个长为 米，宽为 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽 平行且大于 ，木块的正视图是边长为 米的正方形，一只蚂蚁从点 处，到达 处需要走的最短路程是 米（精确到 米） 26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为 ，高为 ，从点 出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点 ，则该装饰线最短长为 27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为 ，底面圆的周长为 ，点 距离下底面 ，一只位于圆柱盒外表面点 处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点 处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为 28. 图 1 所示的正方体木块棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图 2

9、 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点 爬行到顶点 的最短距离为 29. 一只蚂蚁沿棱长为 的正方体表面从顶点 爬到顶点 ，则它走过的最短路程为 30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 ，假若点 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线 的中点 处的食物，那么它爬行的最短路程是 31. 如图，圆锥的母线长是 ，底面半径是 ， 是底面圆周上一点，从 点出发绕侧面一周，再回到 点的最短的路线长是 QQ群450116225 32. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 处沿着木柜表面爬到柜角 处（1）请你在正方体木柜的表面展开图

10、中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长 33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的（1）如果树的周长为 ，绕一圈升高 ，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为 ，绕一圈爬行 ，则爬行一圈升高多少 ?如果爬行 圈到达树顶，则树干多高? 34. 如图所示，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 之间相距 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是多少? 35. 图，图为同一长方体房间的示意图，图为该长方体的表面展

11、开图（1）已知蜘蛛在顶点 处；苍蝇在顶点 处时，试在图中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇在顶点 处时，图中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 爬行的最近路线 和往墙面 爬行的最近路线 ，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图中，半径为 的 与 相切，圆心 到边 的距离为 ，蜘蛛 在线段 上，苍蝇 在 的圆周上，线段 为蜘蛛爬行路线若 与 相切，试求 的长度的范围QQ群450116225 36. 如图，直四棱柱侧棱长为 ，底面是长为 ，宽为 的长方形一只蚂蚁从顶点 出发沿棱柱的表面爬到顶点 求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程 3

12、7. 如图，观察图形解答下面的问题：（1）此图形的名称为 （2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个 （3）如果点 是 的中点，在 处有一只蜗牛，在 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿 爬到 处，只能沿此立体图形的表面爬行你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?（4） 的长为 ，侧面展开图的圆心角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程 38. 如图，一只虫子从圆柱上点 处绕圆柱爬一圈到点 处，圆柱的高为 ，圆柱底面圆的周长为 ，求虫子爬行的最短路程 39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角 处沿着木

13、柜表面爬到柜角 处.（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当 ， 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； 40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角 处当 ， 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长 41. 一只蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方体纸箱的 点沿纸箱爬到 点，如图，求它爬行的最短路线的长 42. 如图所示是一段楼梯，已知 ， ，楼梯宽 .一只蚂蚁要从 点爬到 点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群450116225 43. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角 处

14、（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径（2）当 ， 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长（3）求点 到最短路径的距离 44. 已知圆锥的底面半径为 ，高 ，现在有一只蚂蚁从底边上一点 出发在侧面上爬行一周又回到 点，求蚂蚁爬行的最短距离 45. 如图 ，是一个长方体盒子，长 ，宽 ，高 （1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 沿盒子表面爬到点 ，求它所行走的最短路线的长（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少? 46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展开图（1）蜘蛛在顶点 处苍蝇在顶点 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线苍蝇在顶点 处时，图2

15、中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 爬行的最近路线 和往墙面 爬行的最近路线 ，试通过计算判断哪条路线更近（2）在图中，半径为 的 与 相切，圆心 到边 的距离为 ，蜘蛛 在线段 上，苍蝇 在 的圆周上，线段 为蜘蛛爬行路线，若 与 相切，试求 长度的范围 47. 如图，长方体 中，一只蚂蚁从 点出发，沿长方体表面爬到 点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少? 48. 如图，平行四边形 中，将平行四边形 沿过点 的直线 折叠，使点 落到 边上的点 处，折痕交 边于点 （1）求证：四边形 是菱形；（2）若点 时直线 上的一个动点，请计算 的最小值 49. 实践操作在矩形 中，现将纸片折叠，点

16、 的对应点记为点 ，折痕为 （点 ， 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原QQ群450116225（1）初步思考若点 落在矩形 的边 上（如图）当点 与点 重合时， ，当点 与点 重合时， ；当点 在 上，点 在 上时（如图），求证：四边形 为菱形，并直接写出当 时菱形 的边长（2）深入探究若点 落在矩形 的内部（如图），且点 ， 分别在 ， 边上，请直接写出 的最小值（3）拓展延伸若点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 （如图）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段 与线段 的长度相等?若存在，请直接写出线段 的长度；若不存在，请说明理由答案1. B2. C【解析

17、】将台阶面展开，连接 ，如图，线段 即为壁虎所爬的最短路线因为 ，在 中，根据勾股定理，得 ，所以 所以壁虎至少爬行 3. C【解析】4. B5. D6. A【解析】 . 7. B8. B9. B10. C11. B12. A13. C【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可如图，14. 15. 【解析】将圆柱的侧面沿 剪开并铺平得长方形 ，连接 ，如图线段 就是小虫爬行的最短路线根据题意得 在 中，由勾股定理，得， 所以 16. 17. 18. 19. 【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1： 长方体的宽为 ，高为

18、 ，点 离点 的距离是 ， ，在直角三角形 中，根据勾股定理得： ；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2： 长方体的宽为 ，高为 ，点 离点 的距离是 ， ，在直角三角形 中，根据勾股定理得： ；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3： 长方体的宽为 ，高为 ，点 离点 的距离是 ， ，在直角三角形 中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是 20. 21. 【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.如图 ， ， 22. 23. 24. ，【解析】如图，依题

19、意，得从点 开始经过 个侧面缠绕一圈到达点 时，最短距离为 ，此时，由勾股定理，得 ，即所用细线最短为 若从点 开始经过 个侧面缠绕 圈到达点 ，则长方体的侧面展开图的一边长由 变成 ，即 ，由勾股定理，得 ，即所用细线最短为 ，或 25. 【解析】由题意可知，将木块展开，相当于是 个正方形的宽， 长为 米；宽为 米于是最短路径为： 米26. 【解析】沿 剪开可得矩形. 圆柱的高为 ，底面圆的周长为 ， ，在 中， .即装饰线的最短路线长是 27. 28. 29. 30. 【解析】 圆锥的底面周长是 ，则 ， 即圆锥侧面展开图的圆心角是 ， 在圆锥侧面展开图中 ， 在圆锥侧面展开图中 ， 这只

20、蚂蚁爬行的最短距离是 31. 【解析】 图中扇形的弧长是 ，根据弧长公式得到 ， ，即扇形的圆心角是 ， ， . 32. （1） 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 和 （2） 如图， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 33. （1） （2） ；34. 35. （1） 如图，连接 ，线段 就是所求作的最近路线两种爬行路线如图所示，由题意可得：在 中，；在 中， ， 路线 更近（2） 如图中，连接 ， 为 的切线，点 为切点， 在 中，有 ，当 时， 最短， 取得最小值，此时 ， 当点 与点 重合时， 最长， 取得最大值，如图，过点 作 ，垂足为 ， 由题意可得 ， 在 中， 在 中，综上所示

21、， 长度的取值范围是 36. （1） 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 ；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 或 所以蚂蚁经过的最短路程是 （2） 蚂蚁爬过的棱长依次为 ， 时，其路程为最长，最长路程是 37. （1） 圆锥（2） 扇形（3） 把此立体图形的侧面展开，如图所示， 为蜗牛爬行的最短路线（4） 在 中，由勾股定理，得 ，所以 故蜗牛爬行的最短路程为 38. 如图，是圆柱的展开图，连接 由题意可知虫子爬行的最短路径为 . 此时 答：虫子爬行的最短路程为 39. （1） 如图，木柜的表面展开图是两个矩形 和 .故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径为图中的 和 .（2） 蚂蚁沿着木柜表

22、面经线段 到 ，爬过的最短路径的长是 .蚂蚁沿着木柜表面经线段 到 ，爬过的最短路径的长是 .因为 ，所以蚂蚁爬过的最短路径的长为 .40. 如图所示，木柜的部分表面展开图示两个矩形 或矩形 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径是如图的 或 若爬过的路径的长是 ，则 ；若爬过的路径的长是 ，则 . ， 最短路径的长是 41. 蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图所示），得到矩形 .根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是半个侧面展开图矩形对角线 之长在 中， 底面边长 ， 答：最短路程约为 42. 如图 ；如图、如图 . 蚂蚁爬行的最短路程为 .43. （1） 木

23、柜的部分表面展开图如图：蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有 和 （2） 蚂蚁沿着木柜表面经线段 到 ，爬过的路径长为 蚂蚁沿着木柜表面经线段 到 ，爬过的路径长为 ， 最短路径为 （3） 过点 作 于点 ，连接 ，则 点 到最短路径的长为 44. 设扇形的圆心角为 ，圆锥的顶点为 ， ， 由勾股定理可得母线 ，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为 ， 即 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：答：蚂蚁爬行的最短距离为 45. （1） 蚂蚁从点 爬到点 有三种可能，展开成平面图形如图 所示，由勾股定理计算出 的值分别为 ，比较后得 最小为 ，即最短路线的长是 （2） 如图 ， ，即能容下的最长木棒的长度为

24、 46. （1） 如图所示线段 为最近路线.将长方体展开，使得长方形 和长方形 在同一平面内，如图. 在 中， 将长方体展开，使得长方形 和长方形 在同一平面内，如图.在 中， . ， 往天花板 爬行的最近路线 更近.（2） 过点 作 于 ，连接 ， . 半径为 的 与 相切，圆心 到边 的距离为 ， ， .根据勾股定理可得 ， ， 与 相切于点 ， ， . 当 时，；当 时， 长度的范围是 47. 如图1所示：由题意得：，在 中，由勾股定理得 ，如图2所示：由题意得：，在 中，由勾股定理得：， 第一种方法蚂蚁爬行的路程最短，最短路程是 48. （1） 将平行四边形 沿过点 的直线 折叠，使点

25、 落到 边上的点 处， ， . ， . . . 四边形 是菱形. ， . 四边形 是菱形.（2） 四边形 是菱形， 与 关于 对称，连接 交 于 ，则 的长即为 的最小值，过点 作 于 . ， ， ， ， . . . 的最小值为 49. （1） ； 翻折的性质， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形，当 时，菱形边长为 ，（2） （3） 存在，最短路径问题专题练习1. 如图，长方体 中，一蚂蚁从 点出发，沿长方体表面爬到 点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为 A. B. C. D. 2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是 ，

26、 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点有一只壁虎，它想到 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从 点出发，沿着台阶面爬到 点，至少需爬 A. B. C. D. 3. 如图， 个边长为 的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从 点到 点只能沿图中的线段走，那么从 点到 点的最短距离的走法共有 A. 种B. 种C. 种D. 种 4. 如图所示，圆柱的底面周长为 ， 是底面圆的直径，高 ，点 是母线 上一点且 一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短距离是 A. B. C. D. 正方形专题练习1、小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件： ； ； ； 中选出两

27、个作为补充条件，使平行四边形 为正方形（如图）现有下列四种选法，你认为其中错误的是 A. B. C. D. 2、，大正方形中有 个小正方形，如果它们的面积分别是 ，那么 ， 的大小关系是 A. B. C. D. ， 的大小关系不确定 3、如图，在正方形 和正方形 中，点 在 上，将正方形 绕点 顺时针旋转 ，得到正方形 ，此时点 在 上，连接 ，则 A. B. C. D. 4五个边长都为 的正方形按如图所示摆放，点 ， 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为 A. B. C. D. 旋转专题练习1. 如图，在矩形 中，已知 ，将矩形 绕着点 在桌面上顺针旋砖至 ，使其停靠在矩形

28、的点 处，若 ，则点 的运动路径长为 （1题） （2题A. B. C. D. 2. 在 中，把这个直角三角形绕顶点 旋转后得到 ，其中点 正好落在 上， 与 相交于点 ，那么 等于 A. B. C. D. 3. 在锐角 中，（如图），将 绕点 按逆时针方向旋转得到 （顶点 、 分别与 、 对应），当点 在线段 的延长线上时，则 的长度为 QQ群450116225 （3题） （4题）A. B. C. D. 4. 边长一定的正方形 ， 是 上一动点， 交 于点 ，过 作 交 于 点，作 于点 ，连接 ，下列结论： ； ； ； 为定值其中一定成立的是 11.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安

29、全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？12.如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程（千米）和行驶时间（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：（1）写出甲的行驶路程和行驶时间之间的函数关系式（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条 1234554321678Ot/小时s/千米QP甲乙-第 38 页-