《平面向量在解析几何的应用策略(9页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量在解析几何的应用策略(9页).doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-平面向量在解析几何的应用策略-第 9 页平面向量在解析几何中的应用与求解策略 一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是： （一）、直线的方向向量：直线L的方向向量为=（a,b),则该直线的斜率为k= （二）、利用向量处理平行问题：对非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),的充要条件是：有且仅有一个实数l，使得 = l；亦即 ()的充要条件是x1y2-x2y1=0；（三）、利用向量求角：设=(x1,y1),=(x2,y2), 则两向量、的夹角：cosq = cos = = 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),的充要条件是=
2、0x1x2- y1y2=0； （四）、利用向量求距离：设=(x,y),则有|=；若则|=二、典例分析：【题1】、点P（-3,1）在椭圆=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( )（A） （B） (C) （D）解析：如图,过点P（-3，1）的方向向量=(2,-5);所以；即;联立：， 由光线反射的对称性知：所以，即;令y=0,得F1（-1，0）;综上所述得： c=1，;所以椭圆的离心率故选A。点拨：本题中光线所处直线的方向向量是=(2,-5)，则立即有直线的斜率为。【题2】设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则解：依据椭圆的第
3、二定义则有：|PF|=6，再由第一定义则|PF |=4；由于，由向量加法的平行四边形法则，则点M处于PF的中点处，故由中位线定理可知2。点拨：本题中的向量条件，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点M处于PF的中点位置。【例题3】已知A,B为椭圆(ab0)和双曲线的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于A,B的动点,且有+=l(+)(lR,|l|1),设AP,BP,AQ,BQ斜率分别为k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4为一个定值.解、点A(-a,0)；B(a,0)；由+=l(+),依据向量加法的平行四边形法则,则有O、Q、P三点共线；设P(x1,y1)、Q（x2，y
4、2）,则 - =1,则x12-a2 = y12； k1+k2 = + = = ；同样有k3+k4= ；由于 = ， 所求的定值为0。 点拨：本题中的向量条件:+=l(+)，通过向量加法的平行四边形法则,从而转化得出了O、Q、P三点共线；然后再继续进行推理、求解，从而得出结论。【例题4】(2007年全国高考理科12题)设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A9B6C4D3解：抛物线的焦点F（1，0）设 A、B、C 三点的坐标分别为、；则有=，=，=，；+=0；x1+x2+x3=3,又由抛物线的定义可知 x1+1+x2+1+x3+1=6，从而选（B)。点拨：本题中，向量条件；利用向量的坐
5、标运算规律进行转化后可得x1+x2+x3=3,再由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为（B）。【例题5】、（2004年全国高考）给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（）设的斜率为1，求夹角的大小；（）设，求在轴上截距的变化范围.解：（）C的焦点为F（1，0），直线L的斜率为1，所以L的方程为将代入方程，并整理得设则有所以夹角的大小为（）由题设 得即又由于点F为抛物线的焦点，则有依据抛物线的定义有：x2+1=l(x1+1)；联立方程和可求得x1= ；则点A（，）或求得点；又F（1，0），则可得直线L的方程为： 当时，l在方程y轴上的截距为由 可知
6、在4，9上是递减的， 直线L在y轴上截距的变化范围为点拔：本题主要是将向量相等的条件，转化为向量坐标关系等式：即然后可以此去求出交点A的坐标数值，再往下进行转化推理，从而使问题得以解决。【例题6】（2007年湖南高考理科20题）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，（I）设，则，由得即 当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得；当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直
7、时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，于是因为是与无关的常数，所以，即，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化！【例题7】设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 ( )A BC D解：设P（x，y），则Q（x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a0，b0，于是，由可得ax，b3y，所以x0，y0又（a，b）（x，3y），由1可得故选D点拨：本题中的向量
8、条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题8】已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）（A）（B）（C）（D）解答、设，；则由，则，化简整理得 所以选B点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！【例题9】已知点 M（2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |PN |=，记动点 P的轨迹为 W. （）求 W 的方程；（）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求的最小值.OFxyPMH解：（）由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长
9、；又半焦距 c=2，故虚半轴长；所以 W 的方程为, （）设 A，B 的坐标分别为, ；当 ABx轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故 所以 .又因为,所以,从而综上,当AB轴时, 取得最小值2.点拨：向量条件在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算规律的应用与转化。【例题10】（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。【解析】(I) ；整理得: ；设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,
10、则即；整理得:故线段是圆的直径 (II)解:设圆C的圆心为C(x,y),则；又因；所以圆心的轨迹方程为；设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得 . 点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。【例题11】（2006年天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明 证明：（）由题设条件知，故，即；因此，；在， 因此，
11、在中 ，.于是，直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.这时，直线BF与轴的交点为；()由（），得直线BF得方程为且 由已知，设、，则它们的坐标建立方程组 ；由方程组消去，并整理得由式、和；由方程组消去，并整理得 由式和， 综上，得到注意到，得 点拨：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.【例题12】（2005年湖南理19题14分）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设. （）证明：1e2； （）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.解：、因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点M的坐标是（）. 由即（）：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当PF1F2为等腰三角形. 点拨：由向量条件：利用坐标运算性质可，从而便于下面的计算与推理。总之，平面向量在解析几何中的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处理，其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。