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1、-目 录摘 要2一、问题重述与分析31、问题的重述32、问题分析3二、模型假设与符号说明41、模型假设42、符号说明4三、模型的分析、建立与求解51、关于问题（1）的分析与求解：52、关于问题（2）模型的分析、建立和求解63、关于问题（3）的分析与求解：114、关于问题（4）的分析和模型的建立、求解：14四、模型的评价与改进17参考文献：17附录18摘 要防洪物资调运问题实质是个运筹学网络规划中的最短路问题。由于灾害发生地点和时间具有较大随机性，结合实际情况，我们对其建立了相应的模型。前三问是提前做好物资的储备，所以我们假设时间相对较宽裕。将运输分为三个阶段，分别为：“使储备库优先达到预测库存
2、”、“使各库存都达到预测值”和“使各库存在允许最大库存范围内尽可能的多”。使用图论中的方法将交通网络图转化成数学图形，并用Floyd算法求出企业至各储备库及仓库的运输资金最少的各条路线，即将高等公路转化为普通路线后的等效最短路线。第一阶段：使储备库达到预测值，以总运费最少为目标建立模型，求出具体调运量。第二阶段：达到预测库存前以调运时间最少为目标建立模型，求出每条路线前期的调运量。再按照以当天库存与预测库存相对差值的最大值尽可能小为原则建立模型，如果相对差值相同，远距离优先运输建立模型，求出各路线每天的具体调运量。第三阶段：达到预测后以调运费用最少为目标建立模型，求出每条路线后期的调运量。在同
3、等考虑储备库的情况下，以同样的原则建立模型，求出各路线每天的具体调运量。同时根据问题三的要求，求得20天后各仓库和储存库的物资量如下表所示：储备库1储备库2仓库1仓库2仓库331592500697698455仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8350777379559606问题四中的紧急调运的问题，我们的首要目标是使防洪物资尽可能早的运输到储备库及仓库。此时，我们不再考虑运费资金问题，以实际路程最短为目标求出各企业与仓库间的最优路线。同样将运输分为两个阶段（第一阶段为到达库存前，第二阶段达到预测库存后）都以调运时间最短即以最短路为目标建立模型，求出各路线的调运量。本文通过以上模型结合处理实际问题时目
4、标不同，分别求出了合理的运输路线和调运量以及调运时间和费用，同时还考虑到路线中断等其它情况，具有较大的灵活性和实用性。关键词防洪物资调运 线性规划模型 LINGO软件 Floyd算法一、问题重述与分析1、问题的重述我国是一个气候多变的国家，各种自然灾害频频发生，其中各流域的洪涝灾害尤其严重。为了尽可能的减小国家和人民的损失，各级政府通过气象预报及历史经验要提前做好防洪物资的储备工作。该地区生产该物资的三家企业和八个大小物资仓库、两个国家级储备库，以及附件1中各库库存、需求情况和附件2中其分布情况。另外已知各路段的运输成本，高等级公路2元/公里百件，普通公路1.2元/公里百件。研究如下问题：（1
5、）根据附件2中给出的生产企业、物资仓库及国家级储备库分布图，建立该地区交通网数学模型。（2）在优先保证国家级储备库的情况下，建立一种调运量及调运路线的方案模型。（3）根据自己所建立的调运方案，求出20天后各库存量。31239-2726-2511-14-（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。中断路段： ， ， ， 2、问题分析（1） 我们可以根据题目及附件2的数据信息加以分析，把实际图形（曲线图）转化为理想的纯数学图，再根据图论知识，想办法把理想的纯数学图放在图论中，加以假设，从而得到可以求解的数学模型。（2） 合理的调运方案实际上
6、就是在满足仓库、储备库各自的需求下，要求总运费最少，其实是一个线性规划问题。路线可以根据模型图统计出来。（3） 20天后，先求出每个企业总的生产量，根据（2）的方案得出各个库的物质量。（4） 根据（2）的调运方案中的调运路线看是否经过断桥的地方，如果不经过（2）的调运方案是可行的，如果经过那么要再考虑其它的路线，我们可以在图一的模型中去掉桥所对应的边，再重复（2）的步骤求解。二、模型假设与符号说明1、模型假设1.假定该预测值是科学的可靠的。2.假设公路交汇点27为储备库1，交汇点30为储备库2，将交汇点15与28之间的交汇点9改为42。（参考资料2）3.假设车辆在高等级公路和普通公路的调运速度
7、相同。4.假设政府有能力雇佣足够多的车辆将每天所要运的物资一次性的运往目的地。5.假设每次调运均以百件为单位。6.为了表述方便假设将两储备库分别处理为仓库9、10。2、符号说明：表示企业的日产量；：仓库的预测库存；：表示企业的现有库存；：表示仓库的预测库存；：表示第天仓库的库存量；：表示第天仓库的相对差量；：表示企业向仓库的调运量；：八天后企业运往仓库的总量；：第天相对差量（）的最大值；：表示第个企业在第天运往第个仓库的量；：表示处理后企业到仓库的最短路程；三、模型的分析、建立与求解1、关于问题（1）的分析与求解：要求建立公路交通网数学模型，即用数学语言来描述各段公路的距离。附件2中的点经过假
8、设处理后，得到42个公路交汇点，其中包括三个企业、八个仓库和两个储备库等。我们用两个顶点及边线图表来描述这个交通网，把两点之间有直接公路连接的描述为如下表格（顶点无向图）： 表-1：起点终点路程起点终点路程起点终点路程起点终点路程1240.00 10780.00 202280.00 313250.00 13360.00 101252.00 202450.00 323150.00 13445.00 11653.33 212245.00 323425.00 2140.00 111593.33 221972.00 323598.00 2335.00 112566.67 222080.00 32386
9、8.00 2750.00 112780.00 222145.00 323962.00 2962.00 121052.00 231450.00 33160.00 3235.00 121380.00 231665.00 333640.00 31042.00 131280.00 231752.00 333738.00 33650.00 132068.00 231845.00 34145.00 4516.67 132783.34 242050.00 343225.00 4630.00 14860.00 242630.00 353298.00 42966.67 141793.34 251166.67 3
10、539170.00 43070.00 142350.00 251546.00 36350.00 5416.67 15863.33 251850.01 363340.00 5646.67 151193.33 252618.00 373338.00 539141.67 151858.00 261928.00 373835.00 54063.33 152546.00 262430.00 383268.00 6430.00 154228.00 262518.00 383735.00 6546.67 1618125.00 262770.00 395141.67 61153.33 162058.00 27
11、7116.69 393015.00 64030.00 162365.00 27940.00 393262.00 64148.00 171493.34 271180.00 3935170.00 7250.00 172352.00 271383.34 40563.33 71080.00 181558.00 272670.00 40630.00 727116.69 1816125.00 274053.33 40928.00 81460.00 181922.00 28883.33 402753.33 81563.33 182345.00 282960.00 41648.00 82883.33 1825
12、50.01 284242.00 414226.00 9262.00 191822.00 29466.67 421528.00 92740.00 192272.00 292860.00 422842.00 93152.00 192628.00 30470.00 424126.00 94028.00 201368.00 303915.00 10342.00 201658.00 31952.00 2、关于问题（2）模型的分析、建立和求解由于发洪水具有随机性，为有效预防，要在最短的时间里保证各仓库的预测库存，也就是说在达到预测库存前我们以时间为第一目标建立模型。而在达到预测库存后，各地区已有一定的防备
13、能力，所以我们以经济为第一目标建立模型。首先进行数据处理，将高等级公路长度按运费折算成普通公路的等效长度，采用Floyd算法用C语言编程求出各企业到各仓库等效路程最短的路线。其结果如下： 表-2：起点目的地路程最优路线企业1储备库110024-26-27储备库226824-26-25-11-6-4-30仓库116424-26-25-15-42-28仓库212524-26-19-18-23仓库334024-26-27-9-31-32-35仓库419224-26-27-9-31仓库513024-20-22仓库628724-26-27-9-2-3-36仓库722424-26-25-15-42-28-
14、29仓库831024-26-27-9-31-32-38企业2储备库1131.341-6-40-27储备库214841-6-4-30仓库16841-42-28仓库215741-42-15-18-23仓库330641-6-40-9-31-32-35仓库415841-6-40-9-31仓库520641-42-15-18-19-22仓库625341-6-40-9-2-3-36仓库712841-42-28-29仓库827641-6-40-9-31-32-38企业3储备库116134-32-31-9-27储备库215234-32-39-30仓库1298.734-32-39-30-4-29-28仓库2332
15、34-32-31-9-27-26-19-18-23仓库312334-32-35仓库47534-32-31仓库533734-32-31-9-27-21-19-22仓库614534-1-33-36仓库7238.6734-32-39-30-4-29仓库89334-32-38仓库3储备库124035-32-31-9-27储备库217535-32-39-30仓库1371.6735-32-39-30-4-29-28仓库240535-32-31-9-27-26-19-18-23仓库414835-32-31仓库541035-32-31-9-27-26-19-22仓库626835-32-34-1-33-36仓库
16、7311.6735-32-39-30-4-29仓库816635-32-38仓库5储备库117022-19-26-27储备库233822-19-26-25-11-6-4-30仓库122222-19-18-15-42-28仓库213922-19-18-23仓库341022-19-26-27-9-31-32-35仓库426222-19-26-27-9-31仓库635722-19-26-27-9-2-3-36仓库728222-19-18-15-42-28-29仓库838022-19-26-27-9-31-32-38第一阶段：我们使储备库达到预测库存，由企业和超过预测库存的仓库3、5向储备库提供。对该阶
17、段初步计算，企业现存量和仓库超过预测的量能够满足储备库的需求，所以此时不再以总调运时间最小为目标，而以该阶段的调用费用最少为目标求各企业的调运路线及分配量。模型1的建立：目标函数： 总的调运费用最小，约束条件：各企业(包括仓库3、5)向外运输量不大于现有的库存量， 使储备库要达到预测库存， 用LINGO求解,得到第一阶段各企业向各储备库的具体分配量如下: 表-3： 分配量可运输量储备库1储备库2企业16006000企业236031050企业3 5000500仓库31500150仓库5400900 第二阶段：使其他各个仓库达到预测库存。通过分析第一阶段的结果，发现三个企业现存量已全部运完，仓库3
18、刚好达到预测库存，而仓库5超过预测库存310。通过公式（）得到各库存都达到预测值时间为7.44天，即至少需要8天。然后我们把8天后各企业总产量处理为其在8天可调运的总量，建立以运费最少为目标的模型，得到每个企业向各仓库8天的总分配量。模型2的建立： 目标函数:约束条件：各企业(包括仓库5)向外运输量不大于现有的库存量， 被运输的各仓库要达到预备库存， 用LINGO求解,得到第二阶段各企业向各仓库的具体分配量如下:表-4：分配量仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业1170700800000企业2130000001100企业3000400200100仓库50260000000第三阶
19、段：在达到预测库存之后，该地区已经具备了防御一般洪水的能力，为了防御更大的洪水，应该使库存物资尽可能多。通过公式（）得到各库存都达到预测值时间为38.8889天，即至少需要39天。然后我们把39天后各企业总产量处理为其在39天可调运的总量，建立以运费最少为目标的模型，得到每个企业向各仓库39天的总分配量。建立模型3如下： 目标函数： 约束条件： 企业1、2、3在达到预测库存后39天向外运输的总量分别不应超过、，各库存不超过其最大储存量， 模型3求解的企业后期调运分配方案如下：表-5：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业17100030000550000企业
20、2290470300000001000企业30300030050020002003、关于问题（3）的分析与求解：在模型2、3中我们已经求得了各企业在两个阶段向各仓库的调运总量，现在的目的就是求出每天调运的先后顺序和分配量。我们认为相关部门有能力将现有库存及第一天的产量都运送出去,即第一天就能够使储备库达到预测库存值。对于调运的先后顺序问题，在优先使储备库达到预测库存之后，我们考虑到仓库的现有库存与预测库存的相对差值越大，则说明它抵抗洪涝灾害的能力越小，应该优先给予调运，提高整体防洪水平。如果上述相对差值相同时，我们又考虑到调运路线越长，则因洪水导致交通中断的概率越大，同时发生洪灾时紧急调运的时
21、间就越长，因此应该先给路程远的优先调运。根据上述思路，我们对二、三阶段建立调运先后顺序和分配量的模型4：使每天各仓库与预测值（后期为最大值）的相对差值中的最大值尽可能的小（相对差值相同时，路程远的优先调运）。目标函数:约束条件：每一天各企业的产量都分配完，八天后各企业运输都要到位，即各仓库至少要达到预测库存，的求解表达式，的求解方法，每一天的最大差量，用LINGO求解得到，。进一步分析出前八天具体的分配方案模型5。目标函数：约束条件：其他约束同模型4。同理可求出后39天的分配方案。最终可得到47天的分配方案。下图是前20天的分配方案：表-6：时间/天企业至仓库调运量时间/天企业至仓库调运量11
22、储160011 1740 12储131011 213 1仓5储19011 2927 12储25011 3520 13储250012 1740 1仓3储215012 215 1仓5仓226012 2925 11140 12 3520 12130 13 1740 13420 13 218 21140 13 2322 22130 13 3515 23420 13 385 31133 14 1415 3147 14 1725 32124 14 215 3276 14 2325 33820 14 3511 41122 14 389 41418 15 1436 4214 15 174 42726 15 2
23、15 43820 15 2325 51118 15 3511 5125 15 389 51417 16 143 5216 16 1737 52724 16 215 53610 16 2325 53810 16 3511 6116 16 389 61222 17 144 61413 17 1736 62112 17 215 62718 17 2325 6369 17 3511 63811 17 389 7116 18 1140 71222 18 215 71413 182325 72112 183511 72718 18389 73820 191111 8116 191429 81222 192
24、15 81413 192325 82112 193511 82718 19389 91740 20114 92121 201410 9231 201726 9298 20215 9357 202325 93813 20357 101740 20386 10 2130 203106 10 3520 进而得到20天后各库存量分别为：表-7：储备库1储备库2仓库1仓库2仓库331592500697698455仓库4仓库5仓库6仓库7仓库83507773795606064、关于问题（4）的分析和模型的建立、求解：在汛期时,相当于紧急调运。与问题（2）的模型有所不同，此时，无论在什么情况下，都要以时间为
25、第一目标，即要满足调运时所走路线的实际距离最短,不仅不用考虑调用的经济问题,而且不用考虑储备库优先的情况。分达到预测前和预测后两个阶段考虑。其中，我们要把中断路程处理为无路，再按照问题（2）中的Floyd算法求出相应的最短路程和具体路线。 表-8：起点目的地路程最优路线企业1储备库116824-20-13-27储备库228224-26-25-15-11-6-4-30仓库116424-26-25-15-42-28仓库212324-26-25-18-23仓库339724-26-25-15-11-6-5-39-35仓库440724-26-25-15-11-6-5-39-32-31仓库513024-2
26、0-22仓库634224-20-13-12-10-3-36仓库722424-26-25-15-42-28-29仓库842524-26-25-11-6-5-39-32-38企业2储备库111041-6-40-27储备库214841-6-4-30仓库16841-42-28仓库215741-42-15-18-23仓库326341-6-5-39-35仓库427341-6-5-39-32-31仓库520641-42-15-18-19-22仓库625341-6-40-9-2-3-36仓库711841-6-4-29仓库829141-6-5-39-32-38企业3储备库118734-1-2-9-27储备库21
27、0234-32-39-30仓库127234-32-39-30-4-29-28仓库239134-32-39-5-6-11-15-18-23仓库312334-32-35仓库47534-32-31仓库538534-1-2-9-27-13-20-22仓库614534-1-33-36仓库721234-32-39-30-4-29仓库89334-32-38仓库3储备库131035-32-34-1-2-9-27储备库217535-32-39-30仓库1371.6735-32-39-30-4-29-28仓库251035-32-34-1-2-9-27-11-25-18-23仓库414835-32-31仓库5411
28、35-39-5-6-11-25-18-19-22仓库626835-32-34-1-33-36仓库7311.6735-32-39-30-4-29仓库816635-32-38仓库5储备库119822-20-13-27储备库233822-19-26-25-11-6-4-30仓库122222-19-18-15-42-28仓库213922-19-18-23仓库341122-19-18-25-11-6-5-39-35仓库441522-19-26-25-11-6-5-39-32-31仓库639322-19-26-25-11-27-9-2-3-36仓库728222-19-18-15-42-28-29仓库843
29、322-19-26-25-11-6-5-39-32-38第一阶段，到达预测库存前。（模型6）目标函数：调运总时间最短，约束条件：各企业(包括仓库3、5)向外运输量不大于现有的库存量， 被运输的各仓库要达到预备库存，用LINGO求解,在达到预备前各企业向各仓库的具体分配量如下:表-9：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库4仓库6仓库7仓库8企业19200000000企业2601303000001100企业3042000120200100仓库30150000000仓库520000330000第二阶段，达到预测库存后。（模型7）在问题（2）的基础上要加以改进，目标有所不同。目标函数：调运总时间最短
30、，约束条件与问题（2）中的第三阶段相同。求解得到分配量如下：表-10：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业17000030000550000企业2300470300000001000企业3030003005002000200四、模型的评价与改进本文采用了线性规划的方法，从实际问情况出发,针对不同情况下的要求和不同侧重点建立了不同的模型，把问题分阶段考虑，让结果更合理。此外，模型的实用性强、速度快，可以对突发事件作出及时的调整。模型的改进，在本文中我们假设了车辆在高等级公路和普通公路的速度相同，而在实际过程中速度是不可能相同的。根据两者速度的比值对交通网络图
31、中的路程数据作相应的处理，然后在按同样的模型求解，可以得到更好的实际调运方案。对于提前作好防洪物资储备的情况，利用模型2及模型3调运一段时间之后，如果此时发生洪涝灾害需要紧急调运时，我们可以以此时的库存量为起点，调整为按模型5进行紧急调运，以此来应对突发事件。在实际问题中，对于紧急调运问题，还可以考虑让发生灾害地区附近的仓库、企业及储备库都向灾区提供适量的物资援助，节省救助时间，尽量减小灾害所造成的损失。参考文献：1 朱求长. 运筹学及其应用 武汉大学出版社 2006.12 谢兆鸿，范正森，王艮远. 数学建模技术 中国水利水电出版社 2003.93 沙特 M.H.Alsuwaiyel 算法设计
32、技巧与分析 2007年6月4 数学建模网： 2008-6-23附录附件1：各库库存及需求情况（单位：百件）库存单位现有库存预测库存最低库存最大库存产量（/天）企业160080040企业236060030企业350060020仓库1200500100800仓库2270600200900仓库3450300200600仓库4230350100400仓库58004003001000仓库6280300200500仓库7390500300600仓库8500600400800储备库12000300010004000储备库21800250010003000附件2：生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图注：13
33、12123高等级公路 普通公路 河流 等表示公路交汇点；30，50，28等表示公路区间距离，单位：公里，如 与 之间距离为80公里。l FLOYD算法FLOYD(int *L,int n)int *D=(int *)malloc(n+1)*(n+1)*sizeof(int);int i,j;for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=n;j+) Dij=Lij;for(k=0;kn;k+) for(i=0;in;i+) for(j=0;jn;j+) Di*n+j=min(Di*n+j, Di*n+k+Dk*n+j);l 模型一程序LINGO代码：model:sets:z/1,2/:c;
34、x/1.5/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j);for(x(i):sum(z(j):y(i,j)d(i);for(z(j):sum(x(i):y(i,j)=c(j);data:d=600,360,500,450,800;c=3000 2500;l=100 268 131.3 148 161 152 240 175 170 338;enddataendl 模型二程序LINGO代码：model:sets:z/1.8/:c;x/1.4/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=sum(links(i,j)
35、:l(i,j)*y(i,j);for(x(i):sum(z(j):y(i,j)d(i);for(z(j):sum(x(i):y(i,j)=c(j);data:d=600,360,500,800;c=500 600 300 350 400 300 500 600;l=164 125 340 192 130 287 224 310 68 157 306 158 206 253 128 276 298.7 332 123 75 337 145 238.67 93 222 139 410 262 0 357 282 380;enddataendl 模型三程序LINGO代码：model:sets:z/1
36、.10/:m;x/1.3/;links(x,z):l,y;endsetsmin=sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j);sum(z(j):y(1,j)40*39;sum(z(j):y(2,j)30*39;sum(z(j):y(3,j)20*39;for(z(j):sum(x(i):y(i,j)m(j);data:m=800 900 600 400 1000 500 600 800 4000 3000;l=164 125 340 192 130 287 224 310 100 268 68 157 306 158 206 253 128 276 131.3 148 298.7 332 123 75 337 145 238.67 93 161 152;enddataendl 模型六程序LINGO代码：model:sets:z/1.8 /:c;x/1.5/:d;links(x,z):l,y;endse