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1、-DFT性质及DFT应用的研究-第 7 页DFT性质及DFT应用的研究易长城生物医学工程专业2014级本科指导老师：王燕 李霞摘要：为了掌握DFT正变换及反变换之间的计算关系；观察和分析 DFS 应用中存在的混叠、泄漏、栅栏效应等问题和改善途径、方法；了解 DFT 实部、虚部之对应关系；验证 DFT 的若干性质；学习 Matlab 中子程序的编写和调用；运用matlab编程，研究DFT的性质和以及可能在应用出现的问题；通过上述方法，实现了DFT函数的编程和调用，详细探究了DFT的在时域和K域的能量守恒关系、复数序列的圆周相关定理，观察了DFT在采样频率不够时的混叠现象、没加窗之前的泄露现象以及
2、栅栏效应。关键词： DFT matlab 时域 K域 Abstract：In order to understand the relationship between DFT positive transform and inverse transformation, we can observe and analyze the problems such as aliasing, leakage and fence effect in DFS application, and improve the way and method. We understand the corresponden
3、ce between DFT real part and imaginary part. The use of matlab programming, research the nature of DFT and may be in the application of the problem; through the above method to achieve the DFT function programming and call, a detailed study of the DFT in the Time domain and K domain, the algebraic p
4、henomenon of DFT in the case of insufficient sampling frequency, the leakage phenomenon and the fence effect before windowing are observed.Keywords：DFT matlab time domain K domain1.前言：了掌握DFT正变换及反变换之间的计算关系；观察和分析 DFS 应用中存在的混叠、泄漏、栅栏效应等问题和改善途径、方法；了解 DFT 实部、虚部之对应关系；验证 DFT 的若干性质；学习 Matlab 中子程序的编写和调用。应用前景及
5、研究现状：MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。2.理论和方法2.1理论DFT的定义离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应
6、当将其看作其周期延拓的变换。公式如下0kN-1 0nN-1在用 DFT 计算连续信号时可能出现，频谱混叠；频谱泄露；栅栏效应等问题。MATLABMATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一
7、种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。2.2方法编写一个对,n=0,1,2,.,31进行DFT正变换和逆变换的程序；序列 x(n)的N点DTFT的物理意义是对的在0，2上进行 N 点等间隔采样。 ,绘出相频曲线和幅频曲线，令w=2k/N，分别计算并图示x(n)的8点、16点DFT；验证能量守恒关系 时域能量； K域能量；其中x(n)=sin(n/8)+i*cos(2n) n=0,1,31 m=0,1,31混叠现象衰减正弦信号 x(t)=1+sin(7f0t)cos(2f0t), f0=120Hz,
8、 fs=200Hz,采样点数 N=64，绘出相频曲线和幅频曲线，观察混叠现象；泄露现象x(t)= cos(2f 0 t),f 0 =60Hz,fs=200Hz,采样点数 N=64；哈明窗函数：w(n)=0.54-0.46cos(2n/N),n=0,1,2,N-1 分别图示x(n)的频谱，窗函数频谱以及加窗后的频谱(x(t)*w(n)即为加窗后函数)栅栏效应内容1的x(n)取07记为x(n)，并补零至L点，L分别为16,32,64；计算并显示x(n)的频谱X(k),与x(n)的频谱X(k)比较，观察补零的效果。验证圆周相关定理若则有,其中x(n),y(n)均为复数序列。3结果n=0:1:31;k
9、=0:1:31;N=32;xn=sin(n).*n.*(-1).n;subplot(3,2,1);plot(xn);title();subplot(3,2,2);stem(xn);title();WN=exp(-j*2*pi/N);nk1=n*k;WNnk=WN.nk1;Xk=xn*WNnk;subplot(3,2,3);plot(abs(Xk);title(DFT);subplot(3,2,4);stem(abs(Xk);title(DFT);nk2=n*k;WNnk=WN.(-nk2);xn1=(Xk*WNnk)/N;subplot(3,2,5);plot(real(xn1);title(
10、IDFT)subplot(3,2,6);stem(real(xn1);title(IDFT)图 1N1=1024;x1=(0:2*pi/1024:2*pi);X1=(1-exp(-1i*4*x1)./(1-exp(-1i*x1);N2=8;for i=1:N2; X2(i)=X1(i*N1/N2); x2(i)=2*pi*i/N2;endN3=16;for i=1:N3; X3(i)=X1(i*N1/N3); x3(i)=2*pi*i/N3;endsubplot(3,2,1),plot(x1,abs(X1),title(X1N=1024);subplot(3,2,2),plot(x1,angl
11、e(X1),title(X1N=1024);subplot(3,2,3),stem(x2,abs(X2),title(X2N=8);subplot(3,2,4),stem(x2,angle(X2),title(X2N=8);subplot(3,2,5),stem(x3,abs(X3),title(X3N=16);subplot(3,2,6),stem(x3,angle(X3),title(X3N=16); 图 2clc;clear all;n=0:1:31;xn=sin(n/8)+j*cos(2*n);yn=dft(xn,32);yn1=conj(yn);for n=0:1:31 s1=sum
12、(xn.*yn1);endXk=dft(xn,32);yn=Xk;图 3Yk=dft(yn,32);Yk1=conj(Yk);for k=0:1:31; s2=sum(Xk.*Yk1)/32;endclc,clear all;fs=200;f0=120;N=64;Ts=1/fs;n=1:N;xt=(1+sin(7*pi*f0*n*Ts).*cos(2*pi*f0*n*Ts);Xk=dft(xt,64);subplot(2,2,1);plot(abs(Xk);title()subplot(2,2,2);stem(abs(Xk);title()subplot(2,2,3);plot(angle(X
13、k);title()subplot(2,2,4);stem(angle(Xk);title()图 4clc,clear all;N=64;fs=200;f0=60;Ts=1/fs;n=1:N;x=cos(2*pi*f0*n*Ts); Xk=dft(x,64);subplot(3,2,1)plot(abs(Xk);title() subplot(3,2,2);stem(abs(Xk);title() n=0:(N-1);wn=0.54-0.46*cos(2*pi*n/N); Wn=dft(wn,64);subplot(3,2,3);plot(abs(Wn);title()subplot(3,2,
14、4);stem(abs(Wn);title()x2=wn.*x;X2=dft(x2,64);subplot(3,2,5);plot(abs(X2);title()subplot(3,2,6);stem(abs(X2);title()图 5clc,clear all;n=0:7;N=8;xn1=sin(n).*n.*(-1).n;Xn1=dft(xn1,8);subplot(4,1,1);stem(abs(Xn1);title(N=8);n=0:15;N=16;xn2=sin(n).*n.*(-1).n;Xn2=dft(xn2,16);subplot(4,1,2);stem(abs(Xn2);t
15、itle(N=16);n=0:31;N=32;xn3=sin(n).*n.*(-1).n;Xn3=dft(xn3,32);subplot(4,1,3);stem(abs(Xn3);title(N=32);n=0:63;N=64;xn4=sin(n).*n.*(-1).n;Xn4=dft(xn4,64);subplot(4,1,4);stem(abs(Xn4);title(N=64);图 6clc,clear all;x=1+1i,1-1i,2+1i,2-1i,3+1i,3-1i,4+1i,4-1i;y=1-1i,1+1i,2-1i,2+1i,3-1i,3+1i,4-1i,4+1i;rxy=;f
16、or m=1:8 y1=circshift(y,0,m); y2=conj(y1); z=sum(x.*y2); rxy(end+1)=z; end X=dft(x,8);Y=dft(y,8);Y1=conj(Y);Rxy=X.*Y1;rxx=uint8(idft(Rxy,8);图 74.讨论由能量关系可以看出S1=S2，即能量守恒关系成立；混叠现象中因为f0=120Hz,fs=200Hz,因此会出现图示的频谱因为周期延拓分量相互重叠而导致的混叠失真，如果要避免失真就要使fs2f0;泄漏现象的因为哈明窗函数的加入，截取了原函数，即原函数和窗函数相乘，使窗内数据不变，而窗外的数据丢失；因为时域两
17、个函数相乘相当于频域卷积，卷积后造成频谱的扩散，即变宽，相乘后函数比原函数中间部分变宽，即泄露现象；栅栏效应，因为DFT在计算频谱值计算离散点上的频谱，所以抽样频率过低就会造成谱线的失真，如图所示，导致一部分谱线得不到显示而造成视觉上的误差，要解决栅栏效应，只要使抽样的频率更密集，即增加抽样点数N，正如实验的一样随着抽样点数的增加，图像的失真情况越来越小，图像也越来越接近原函数。5.结论本实验采用matlab工具，对DFT的性质以及DFT应用做出了一系列的研究以及验证，结合所学过的知识，得出以下结论：1. DFT变换对于处理离散信号有着很好的特性；2. DFT在应用中的问题可以利用抽样点数、加窗函数等方法解决；